设函数f(x)在(0,+∞)上有二阶导数，又知对一切x>0,有|f(x)|≤A,|f''(x)|≤B,其中A，B为常数证明:|f'(x)|≤2√AB，x∈(0,+∞)

记(0,+∞)上，|f'(x)|最大值为M，则要证明:M^2≤4AB由泰乐公式有：f(y)=f(y0)+f'(y0)(y-y0)+(1/2)f''(ξ)(y-y0)^2，ξ∈(y0,y)令y=x+2h,y0=x,h>0得到：f(x+2h)=f(x)+2hf'(x)+(1/2)f''(ξ)(2h)^2,ξ∈(x,x+2h)f'(x)=[f(x+2h)-f(x)]/2h-hf''(ξ)。两边取绝对值，有：|f'(x)|≤|f(x+2h)|/2h+|f(x)|/2h+h|f''(x)|　　　≤A/2h+A/2h+Bh　　　=A/h+BhM^2≤(A/h)^2+(Bh)^2+2AB=(A/h-Bh)^2+4AB,取A/h=Bh证明完毕

M^2≤(A/h)^2+(Bh)^2+2AB=(A/h-Bh)^2+4AB这部怎么得的

A/h)^2+(Bh)^2+2AB=[A/h)^2+(Bh)^2-2AB]+4AB=(A/h-Bh)^2+4AB

是我问的有问题我是说|f'(x)|≤A/h+Bh,怎么会有M^2≤(A/h)^2+(Bh)^2+2AB直接得到|f'(x)|≤(A/h)^2+(Bh)^2+2AB不行吗

可以不过是是|f'(x)|^2≤(A/h)^2+(Bh)^2+2AB≤4AB所以f'(x)|≤2√AB