（事实上就是想要的经验）
为了缓解一下情绪，我找了一张相当温和的镇楼图

不等式都可以化成这样的结构：
P(x(i)),F(x(i))≥0
所以我们增量代换证明不等式的基本思路如下：
1. 进行预处理（化为整式，移项至大的一侧。）
2. 乘以一个非负系数（一般是条件），进行齐次化操作。
3. 不失一般性，设一个排序，大的量用相邻小的量和一个正增量的和表示。
4. 暴力破拆，化成非负和的形式
增量变换一般来说处理非负实数的不等式问题，最好是R+上，否则需要后续判断。
昨天做了一道题，最后证不出来了，于是想起了增量代换，花了我好长时间才拆完括号呀！！！所以翻出了尘封的Mathematica，好一顿复习才想起来那些命令。。。
相信你已经对不等式有了基本的了解，然后我们看几个简单的例子:

前排听讲

46届IMO第三题
据说得分率非常低，好像平均分不足1分。

计神的配方>:-<成千上万≥﹏≤

一道四元轮换式：

四元的式子已经超乎想象了。。。。。

五元就是燃烧似的计算了……

可♂爱的证明
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上面那个证明的txt文件：
[无效] http://pan.baidu.com/s/1o6yOmLW

一般来说，这么用Mathematica。
预处理和齐次化是你自己的功夫，我教不了你。
整理成F(a,b,c)>=0的形式，例如证明：
(a,b,c belong to R+), Sigma(cyc){(a^2+b^2)/c^2}>=Sigma(cyc){(a+b)/c}
转化为F(a,b,c)=Sigma(cyc){(a^2+b^2)/c^2-(a+b)/c}
工程如下：
令F(a,b,c)=a^4b^2-a^3b^2c-ab^3c^2+b^4c^2-a^2bc^3+a^2c^4
然后算出F(a,a+s,a+s+t)并化简：
显然结果是恒大于0的。
（注意，请使用这一组命令“Expand[Simplify[Expand[不等式]]]”，否则化简不出来。）

这是小说吗？

这么证明真是一点美感都没有，所以经典的SOS之类的证法才是不等式的艺术性所在。。。
这种方法只适用于有限个变量的函数，想用这招证明米尔黑得定理啦之类的，您省省吧。。。
对于分式处理，这种方法很容易，不用经过大脑；但对于根式处理，就需要一定的处理技巧（如三角换元等）。
毕竟不等式是代数学里面屹立百年不倒的内容吗，不会让你这么轻松的。
还有，如果你想考试用，那你就……用吧。。。

经验来了

这个早就有人做过了

这种证明不经大脑的原因是：
对于定义在R+上的函数F≥0,取等条件当且仅当a=b=c，则增量s=t=0
F的形式必然是每一项包含st的，所以F的每一项系数都是正的。
只要你敢拆就行。。。

有何用处？