这一概括,依据于
@ww5736659 的如下阐述:
1
,量子力学假定一个纯(pure
)的系统可以用一个希尔伯特空间的态矢量|f>
来表示。|f>
表示一个矢量,这是狄拉克发明的符号,它的共轭写成<f|
。
2
,态矢量的线性叠加还是态矢量,|g>=c1*|f1>+c2*|f2>+....
,如果系统处于|g>
态,那么系统还是纯的。
3
,量子力学的基本假设之一:任何一个可以观测的物理量都可以表示成一个厄米算符(也就是矩阵),例如能量,位置,动量,角动量等等。
4
,厄米算符A
有本征值a
和本征态|k>
,(|k>
也只是一个特殊的态矢量)
,满足A|k>=a|k>
。A
可以有不止一个本征态,简单起见,每一个本征态对应一个不同的本征值。
5
,一个算符(矩阵)如果是厄米算符,即满足AA+=I
,则它的所有本征值都是实数。所以由此推论,任何一个可观测的物理量都是实的物理量。
6
,两个算符可对易指的是 [A,B]=AB-BA=0
,即它们可以交换顺序。
7
,只有可对易的算符才有共同的本征态(本征值可以不一样,否则就是同一个物理量了),不可对易的算符没有共同的本征态。这都是数学结论。
8
,如果我们测量一个物理量A
,假设A
的本征值和本征态有a1,|k1>,a2,|k2>, a3,|k3>
……(本征值和本征态是一一对应的,在这里表现为数字编号相同的本征值和本征态相对应),vonNeumann
测量(理想测量),分两种情况:
⑴系统在测量前处于其中一个本征态上,那么测量的结果一定是该本征态对应的本征值,测量以后系统的状态不变。
⑵系统在测量前处于几个本征态的叠加态上(参见第
2
条),那么测量的结果可能是这几个本征态对应的本征值中的任意一个。
例如系统的初态是
|g>=c1|k1>+c2|k2>+c3|k3>
,其中|k123>
都是A
的本征态。那么测量的结果可能是a1,a2,a3
中的任何一个,测到其中特定一个的概率正比于对应的叠加系数的模的平方。例如,测到a2
的概率正比于|c2|^2
。
当测量结果得到以后,系统的态就变成了测量结果对应的本征态上,例如如果结果是
a2
,那么测量过后系统的态就变成了|k2>
,不再是原先的|g>
。这个过程我们成为波包塌缩,即塌缩到一个本征态上。
9
,正因为如果系统不在一个本征态上,其测量结果就不确定。所以如果有两个物理量A
,B
,不对易,根据6
,它们没有共同的本征态,所以一个系统不可能同时处在A
,B
的本征态上,所以A
,B
的测量结果不可能同时确定。比较经典的例子就是位置和动量,因为位置算符和动量算符不可对易,所以它们的不可能同时有确定值。
10
,一般的,我们有海森堡不等式,公式就不贴了,自己百度去吧。
11
,不确定性和测量误差的区别。由上述可见,测量结果的不确定性来源于态的叠加,而非测量手段,实际上von Neumann
测量已经是完美测量,只存在于理论上。