level 10
有点难啊
2013年12月06日 01点12分
level 13
2
容易的话我也不会想很久啊~~~~~~~我虽然知道要把不等式降次还是没解出来
2013年12月06日 01点12分
回复 雪狼冥灵 :不好意思，帮不了你了
2013年12月06日 01点12分
回复 浩浩570827792 :呵呵，我有答案，只是看看吧友们有没有好方法
2013年12月06日 01点12分
level 15
![[冷]](/static/emoticons/u51b7.png)
这个做法好像坑了。。还是构造局部不等式吧。。
![[黑线]](/static/emoticons/u9ed1u7ebf.png)
快来人啊
level 13
![[咦]](/static/emoticons/u54a6.png)
04年亚太的
level 15
吧务
level 16
level 13
level 3
level 13
将两边看成关于a的多项式。于是欲证不等式变为关于a的二次不等式。
为了证明这个二次不等式成立，只需证明其判别式小于等于0，即
81(b+c)^2+36bc(b^2+2)(c^2+2)≤8(b^2+2)^2(c^2+2)^2 ......(1)
记p=b+c, q=bc, 则不等式(1)可以化为
0≤8q^4+32p^2q^2-100q^3+32p^4-200p^2q+336q^2+47p^2-400q+128 ......(2)
由于b, c均为实数，故可令p^2=4q+δ，其中δ≥0.
于是不等式(2)可以化为
8q^4+32q^2(4q+δ)-100q^3+32(4q+δ)^2-200q(4q+δ)+336q^2+47(4q+δ)-400q+128≥0 ......(3)
将(3)的左边看成以q为参变量的关于δ的二次函数。对δ求导得
d(......)/dδ=(288q^2-200q+47)+64δ
不难验证288q^2-200q+47>0恒成立，因此在q不变的情况下，(3)式左边是关于δ的严格递增函数（这是因为δ≥0）
因此只需考虑δ=0的情形。此时(3)式化为
8q^4+28q^3+48q^2-212q+128≥0
然而
8q^4+28q^3+48q^2-212q+128=4(q-1)^2(2q^2+11q+32)≥0
故命题得证。
等号成立等价于q=1, δ=0，即a=b=c=1.
2013年12月06日 14点12分
15
为了证明这个二次不等式成立，只需证明其判别式小于等于0，即
81(b+c)^2+36bc(b^2+2)(c^2+2)≤8(b^2+2)^2(c^2+2)^2 ......(1)
记p=b+c, q=bc, 则不等式(1)可以化为
0≤8q^4+32p^2q^2-100q^3+32p^4-200p^2q+336q^2+47p^2-400q+128 ......(2)
由于b, c均为实数，故可令p^2=4q+δ，其中δ≥0.
于是不等式(2)可以化为
8q^4+32q^2(4q+δ)-100q^3+32(4q+δ)^2-200q(4q+δ)+336q^2+47(4q+δ)-400q+128≥0 ......(3)
将(3)的左边看成以q为参变量的关于δ的二次函数。对δ求导得
d(......)/dδ=(288q^2-200q+47)+64δ
不难验证288q^2-200q+47>0恒成立，因此在q不变的情况下，(3)式左边是关于δ的严格递增函数（这是因为δ≥0）
因此只需考虑δ=0的情形。此时(3)式化为
8q^4+28q^3+48q^2-212q+128≥0
然而
8q^4+28q^3+48q^2-212q+128=4(q-1)^2(2q^2+11q+32)≥0
故命题得证。
等号成立等价于q=1, δ=0，即a=b=c=1.
