x,y>0,x＋y=1，求1／x^n＋λ／y^n（n≥1，整数，λ>0）的最小值

好吧数学结论加强了，可是本渣只会求n=1的。。

大神们快来哇，这题不算水题吧

大神快来@LuoJi_1995

不要沉哇不要沉QAQ

用Holder不等式，（1／x^n＋λ／y^n）*（1+λ^（1-n））^n>=（x+y）^n=1。（1／x^n＋λ／y^n）的最小值为（1+λ^（1-n））^（-n）其实是柯西不等式的加强，n=2即为柯西不等式。取等条件与柯西不等式一样，当且仅当1／x^n与λ／y^n的比值等于1与λ^（1-n）的比值

取最小值的条件是y^(n+1)=lambda*x^(n+1)
----From Nokia Lumia 928

实际上只要注意
1/x^n≥1/p^n - n(x-p)/p^(n+1)
对x>0,p>0,n>0成立
----From Nokia Lumia 928

（1/x^n＋λ／y^n）*（x+y）^n>=
(((1/x^n)*x^n)^(1/(n+1))+((λ／y^n)*y^n)^(1/(n+1))^(n+1)
=(1+λ^(1/(n+1)))^(n+1).
于是1/x^n＋λ／y^n>=(1+λ^(1/(n+1)))^(n+1)，当且仅当1/x^n比λ／y^n等于x比y。
即λx^n=y^n，x=1/（1+t），y=t/(1+t)。时取等，其中t=λ^-1/(n+1)

用权方和不等式也很容易
1^(n+1)/x^n+[λ^(-n-1)]^(n+1)/y^n
>=(1+[λ^(-n-1)])^(n+1) / (x+y)^n
当1/x = λ^(-n-1)/y的时候等式成立