作者:朱文芳(首都师范大学数学系 100037) 本世纪以来，心理学家、数学家与数学教育家一直致力于数学能力的研究．但二者的研究目的、观察角度、感兴趣的侧重点有所不同，前者是希望借此来揭示智力的机制，后者是想为数学教育的改革提供依据．为了促进数学能力的研究，本文在对数学能力研究现状分析的基础上，提出进一步研究的方向．1 数学能力研究的基本问题综观数学能力的研究，我们认为它主要涉及三个基本问题：1．1 教学能力的实质探讨数学能力是作为一种特殊形式存在，与一般智力范畴不同，还是一般心理过程中人格品质的特殊化？即智力是与数学能力一起发展的吗？换言之，数学能力是否就是智力加上对数学的兴趣和学习数学的倾向性呢？对这一问题的看法不一，心理学家克鲁切茨基、数学家庞加莱、阿达玛等倾向于承认数学能力是一种特殊能力．但是，心理学家斯皮尔曼指出，不存在一种在一般因素以外，适于从低级到高级的各个数学领域的特殊数学能力[1]．我国学者林崇德(1978)、曹才翰(1990)、丁尔升(1994)等认为数学能力是智力的一种概括化形式．1．2数学能力的组成成分及其结构数学能力作为一种复杂的心理形式，其构成是单一性的(不可再分的独立存在)，还是综合性的？若是综合性的复合物，其组成成分是什么？以怎样的方式组织？即其结构是什么？据不完全统计，目前提出的数学能力已达上百种之多．这表明大多数学者认为数学能力是一种综合性的复合物．但在“其组成成分是什么？”的问题上，有很大分歧．例如，桑代克认为数学能力是算术与代数能力．魏德林认为数学能力是理解、记忆，以及解决问题的能力．克鲁切茨基认为数学能力包括：获得数学信息；数学信息加工；数学信息保持；一般综合性等组成成分[2]．林崇德认为数学能力是以数学概括为基础的运算能力、空间想象能力和逻辑思维能力，与思维的深刻性、灵活性、独创性、批判性和敏捷性品质相互交叉构成的统一整体[3]．王梓坤认为数学能力应包括“直观思维、逻辑推理、精确计算和准确判断．”[4]1．3数学能力的形成与发展数学能力是如何形成的呢？遗传、生理成熟与环境、教育对数学能力的形成与发展究竟起什么作用？数学能力形成与发展的量变与质变规律是什么？这些问题的核心是：生理成熟、遗传和环境、教育对数学能力形成与发展所起的作用．我们对这一问题的看法是，生理成熟、遗传是学生数学能力形成与发展的物质基础(生物前提)，它们提供了学生发展的可能性；而环境、教育则把这种可能性变成了现实性，它们在学生数学能力的形成与发展过程中起决定作用．尤其是教育占有主导地位，因为它决定着学生发展的方向、水平、速度、范围，甚至会影响与改造学生智力发展的遗传素质．许多学者的研究，如皮亚杰、范·海勒夫妇，以及当代许多研究者的研究[5][6]也支持这一论断．2 当前数学能力研究中存在的问题2．1 从研究结论上看对什么是数学能力？数学能力的组成成分及其结构是什么？数学能力是怎样形成和发展的这些基本问题的研究，目前并未有一个明确答案．造成这种局面的原因主要有：(1)心理学家主要对初等数学感兴趣，如：计算、数字、分数、比例、初等几何等．虽然也有心理学家使用现代数学中的一些术语，可是他们所谈的拓扑空间、射影空间、映射、变换群等术语的意义，常与数学上的本意相差很大．许多人只研究了儿童早期的计算能力，初步的数概念和一些朴素的空间观念，就来建构儿童的数学认知结构，描述数学能力发展的一般规律，进一步地推断数学能力的实质．这种研究“实质上是在最低层次上”所展开的研究．例如第尼斯(Dienes)认为“6～12岁的儿童可以掌握二次方程、有限群、同构，以及模等”概念，而这实质上不过是儿童的游戏．把这种“在最低层次上通过操作对概念进行运算”所得到的研究结论，推广到一般的数学能力研究问题上是缺乏说服力的．

事实上，大多数比较复杂的数学概念，并未从心理学角度加以充分的研究．例如：人类所形成的用字母表示数的概念，方程的概念等，表明了代数方法代替算术方法的思维改向；人类所形成的函数、微积分的概念，使得人类的思维找到了驾驭变量、无限的工具，数学也因此实现了由常量数学向变量数学发展时期的转变．象这些曾在数学发展过程中具有里程碑意义，使得人类思维发生重大转折的关键性概念，个体是怎样形成与发展的？个体获得了这些概念之后，是否导致其数学能力发展质的飞跃？等等，对这些问题我们还未给予全面深入的研究，因此目前“对数学领域中高级能力的发展的重要意义，至今还没有很明确的描述”[2]，是非常自然的．(2)虽然我们都承认对数学能力的组成成分及其结构的分析，有助于探究数学能力的实质，但这种研究结论的众说纷纭，莫衷一是，难以达成共识的结果，应使我们反思这种“模式”研究的意义所在．因为这种研究要么是假设的结构，主观的推测；要么是通过因素分析得到的，而因素分析的实质在于从各种测验结果的相关中找出共同因素，它通过相关系数的计算，揭示了不能即刻明了的和以隐蔽形式存在的测验分数之间的相互依赖关系．但对于这些共同因素是如何产生的？单凭因素分析是不能解释的．也就是说，对数学能力的组成成分及其结构的研究，不能说明不同的数学心理过程所导致相同结果的原因．特别是，为进行数量化的分析研究，人为地将数学活动这一有目的、有意义的整体结构，分解为许多孤立的元素的做法，应当引起我们对其研究结论有效性的思考，应用这些结论时应考虑到它的局限性．通过这种研究，我们究竟能否揭示出数学能力的本质？(3)对数学能力的形成与发展的研究，主要是由心理学家来进行的．由于其目的是想揭示智力发展的机制，因此为了控制无关变量，研究者往往将研究对象局限于年幼儿童，特别重视对儿童数学能力发生过程的研究．例如，皮亚杰等人主要针对11～12岁以前的儿童进行了大量研究，对11～12岁以后的学生有代表性的研究则很少．林崇德等所进行的中小学生心理能力发展与培养的研究，涉及到中小学生数学能力的发展问题，但对中学生数学能力发展的研究，还需要做大量精细的工作．2．2 从研究方法上看概括各种数学能力的研究方法，主要分为两类：(1)采用实验法、测验法、统计分析等手段，来证实某种理论存在的定量分析研究．对数学能力组成成分及其结构的研究，多是采用此类方法．这种研究追求可证实性与精确性．研究者认为只有定量化的、可证实的经验事实才具有科学价值；认为数学能力可以根据其外在的表现来测定和度量，即可通过量上的分析来把握质的特征．这种研究将人的数学活动分解为许多要素，特别重视研究完成特定任务的结果，忽略得到结果的过程的描述．它的致命弱点是“不分析过程”，因而“就没有希望发现测验结果的心理本质，也就无法描述各种能力的质的特征．”[2](2)采用谈话法、个案法、口头报告法，以及考察传记、文献等历史方法．研究者通过对自己或他人解决问题思维过程的心理观察和实验性内省分析，对其进行特定的解释，这种研究属于定性分析研究．这种研究把假设经验作为研究对象，强调如实描述经验，强调数学活动的整体性，认为质的分析应先于量的分析，但它们的研究结论具有较大的主观随意性，缺乏一致性和严格性，因而存在难以保证材料的真实性、可靠性，以及结论的客观性和普遍性的不足．3 数学能力未来研究的方向通过上述分析，不难看到数学能力研究的未来，仍是对上述三个基本问题(数学能力的实质；数学能力的组成成分及其结构；数学能力的形成与发展)的研究．特别地，考虑到要为数学教学提供理论依据，我们认为对数学能力形成与发展的研究意义更加重大．为此我们提出未来数学能力研究的方向应是：3．1 从研究角度上看

未来的研究应该：扩大研究的视角——既要研究数学能力活动的结果，也要分析数学能力活动的过程．因为活动是主客观间的相互作用，如果我们不分析学生是如何进行数学活动的，就不可能认识学生数学能力发展的全貌．例如，如果我们只研究学生解数学题的结果，那么就无法发现学生解题过程中的思考、对各种不同可能性的比较、选择等环节上的差异．学生获得相同的结果，但其心理过程是极不相同的情形是经常发生的．显然，这样的学生数学能力的发展是有差异的．但是，我们如何来解释导致这一现象的原因呢？看来，只有深入研究数学能力活动的过程，才能揭示出数学能力这种复杂心理现象的质上的特征．3．2从研究对象上看未来的研究应该：扩大研究的对象——要研究所有儿童和青少年，特别是年龄较大的(11～12岁以上)学生的数学能力发展的规律．因为大多数人的数学能力都不是“自然”形成的，而是通过环境和教育来实现的．“由学校教学实际所引发的”学生数学能力的培养问题，越来越迫切地要求我们要研究学生数学能力的发展规律．这不仅仅是为数学教学提供依据，而且也是探讨数学能力的实质，以及进行数学能力形成与发展研究所不可缺少的．因为只有这样，我们才能避免从不完整的、局部的信息得出的结论的肆意推广；才能更深入地解释数学能力的形成与发展性问题；按照有利于学生数学能力发展的方式来完善数学教学．3．3 从研究内容上看未来的研究应该：扩大研究的内容——要从初等的数学概念扩大到较复杂的、关键性数学概念．我们要深入研究像函数、概率、组合、极限、无穷等这些更高层次的数学概念，是怎样被学生个体所认识的？研究学生对数学概念的认知过程，是否等同于人类数学思维的发展模式？研究学生通过一些关键性数学概念的形成与掌握，能否引发其思维水平上质的飞跃？等等．只有这样，我们才能对数学能力的组成成分及其结构有更清晰的认识；才能用已经积累起来的大量事实材料，为更准确地揭示数学能力的实质作出更有价值的分析和说明．3．4 从研究方法上看现代科技(特别是计算机)的发展，对各种研究方法在数学能力研究中所起的作用都产生了深刻的影响．过去用相关分析、因素分析等统计方法进行定量分析研究时，遇到的庞大繁杂的、非人力所及的计算，今天可以由计算机来完成；缺乏客观、严格的指标，缺乏量化的定性分析研究，也可以借助于计算机科学的发展，开辟一个新领域，如用信息加工方法来研究数学认知过程．不仅如此，现代科技的发展还为定量与定性分析相结合提供了可能性．我们未来对数学能力的研究，需要对事实进行观察和描述、为理论的建立积累材料的定量分析，但决不应局限于把整体的数学活动分解为所谓“适于研究”的元素，而片面追求证实，尤其是证实别人的结论．我们未来的研究应该寻求发现，追求创建，探索关于数学能力问题的一般性理论框架．要做到这一点，未来的研究必须要运用定性分析的研究方法．因为“积累了如此庞大数量的实证的知识材料”，必须要依据其内在的联系，将它们加以系统地整理，而“建立各个知识领域相互间的正确联系，……只有理论思维才能有所帮助．”[8]所以，未来对数学能力的研究，应该既有定性分析的理论探讨，也要有不可缺少的定量分析．只有这样，我们才能更全面、更深入地把握数学能力的性质，真正为数学教育改革提供心理学上的依据．同时，又能通过对数学能力问题的研究，阐明智力的形成机制，为智力心理学的理论建设作出贡献． 参考文献1 陈琦，D．B．Kaye，V．L．Bonnefil．论数能力的研究与认知理论的关系．心理学报，1984，3．2 克鲁切茨基著．中小学数学能力心理学．北京：教育科学出版社，1984．3 林崇德著．学习与发展．北京：北京教育出版社，1992．4 王梓坤．今日数学及其应用．数学通报，1994，7．5 皮亚杰著．儿童是怎样形成数学概念的．心理学文选．北京：人民教育出版社．1986．6 理查德·莱什，玛莎·兰多著．数学概念和程序的获得．济南：山东教育出版社，1991．7 弗赖登塔尔著．作为教育任务的数学．上海：上海教育出版社，19958 马克思恩格斯选集．第二卷．北京：人民出版社，1972．