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对于二次曲线C：Ax²+By²+Cx+Dy+E=0和一点P（x0，y0）
其中A²+B²≠0，P不在曲线的中心和渐近线上
用x0*x代x²，yo*y代y²，（x0+x）/2代x，（yo+y）/2代y，得到一条直线方程
则称点P和直线l是关于曲线C的一对极点和极线即点P是直线l关于曲线C的极点，直线l是点P关于曲线C的极线。
特殊的，焦点和准线是曲线的一对特殊的极点和极线。
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mpc_killer
楼主
定义：
对于二次曲线C：Ax²+By²+Cx+Dy+E=0和一点P（x0，y0）
其中A²+B²≠0，P不在曲线的中心和渐近线上
用x0*x代x²，yo*y代y²，（x0+x）/2代x，（yo+y）/2代y，得到一条直线方程
则称点P和直线l是关于曲线C的一对极点和极线
即点P是直线l关于曲线C的极点，直线l是点P关于曲线C的极线。
特殊的，焦点和准线是曲线的一对特殊的极点和极线。
2013年06月08日 11点06分
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对于二次曲线C：Ax²+By²+Cx+Dy+E=0和一点P（x0，y0）
其中A²+B²≠0，P不在曲线的中心和渐近线上
用x0*x代x²，yo*y代y²，（x0+x）/2代x，（yo+y）/2代y，得到一条直线方程
则称点P和直线l是关于曲线C的一对极点和极线即点P是直线l关于曲线C的极点，直线l是点P关于曲线C的极线。
特殊的，焦点和准线是曲线的一对特殊的极点和极线。
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mpc_killer
楼主
渐切线（就是个名字而已）那证明一下，防止高一不懂。
切线是x1x+y1y=r2，与x2x+y2y=r2（这个应该易证吧，用向量垂直设点证）
他们都过（x0，y0）则有
x1x0+y1y0=r2，与x2x0+y2y0=r2 ，
而由于两点确定一条直线，则那条过两个点的直线方程就是
x0x+y0y=r2
椭圆证法类似。
2013年06月08日 11点06分
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切线是x1x+y1y=r2，与x2x+y2y=r2（这个应该易证吧，用向量垂直设点证）
他们都过（x0，y0）则有
x1x0+y1y0=r2，与x2x0+y2y0=r2 ，
而由于两点确定一条直线，则那条过两个点的直线方程就是
x0x+y0y=r2
椭圆证法类似。
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mpc_killer
楼主
抛物线（过原点的那种）咱们就可以求导证明，
设切点，在求导，点斜式表示，还是一样的。
要是不嫌麻烦，一般的二次函数也可以弄出来，自己动手。
其实，椭圆与双曲线也可以求导，据说是隐函数还是什么的，我就不细讲了。
2013年06月08日 11点06分
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设切点，在求导，点斜式表示，还是一样的。
要是不嫌麻烦，一般的二次函数也可以弄出来，自己动手。
其实，椭圆与双曲线也可以求导，据说是隐函数还是什么的，我就不细讲了。
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mpc_killer
楼主
极点极线的性质：
一般的有如下性质（焦点所在区域为曲线内部）
①若P在曲线上，则P的极线是曲线的切线
②若P在曲线内，则P的极线与以P为中点弦平行（仅是斜率相等）
③若P在曲线外，则P的极线是过P做曲线的两条切线的切点的连线。
如图：
注：②的用处就是快速求出中点弦的斜率，比点差法求快。但正规告示应使用点差法。
再注：点差法就是求椭圆的中点弦方程，在基础性质那章会有。
2013年06月08日 11点06分
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一般的有如下性质（焦点所在区域为曲线内部）
①若P在曲线上，则P的极线是曲线的切线
②若P在曲线内，则P的极线与以P为中点弦平行（仅是斜率相等）
③若P在曲线外，则P的极线是过P做曲线的两条切线的切点的连线。
如图：
注：②的用处就是快速求出中点弦的斜率，比点差法求快。但正规告示应使用点差法。再注：点差法就是求椭圆的中点弦方程，在基础性质那章会有。
学无余力的到这里就已经能笑傲江湖了。下面就和高中只是没多大联系。继续看唯一的后果就是---尼玛，有时出题人就是叫我们用直角坐标系方程来证明这个..........明知是一步的事却要在那算的昏天黑地，所以建议大家最好不要在向下看了。对数学感兴趣的看看留个印象吧。
2013年06月08日 12点06分
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mpc_killer
楼主
④极点与极线的对偶性
已知P和极线L是关于曲线的极点极线，则L上任一点Pn对应的继续Ln必过点P，
反之亦然，任意过点P的直线Ln对应的极点Pn必在直线L上。
如图
2013年06月08日 12点06分
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已知P和极线L是关于曲线的极点极线，则L上任一点Pn对应的继续Ln必过点P，
反之亦然，任意过点P的直线Ln对应的极点Pn必在直线L上。
如图
L3标错了
2015年02月28日 13点02分
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mpc_killer
楼主
⑤过点P作曲线C的两条割线L1、L2，L1交曲线C于AB，L2交曲线C于MN，则直线AM、BN的交点T，直线AN、BM的交点S必都落在点P关于曲线C的极线L上。
（有一回做到简化一点的题目，我就在那无奈啊）
如图
2013年06月08日 12点06分
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（有一回做到简化一点的题目，我就在那无奈啊）
如图
我一直没弄懂这个，m神。。能解释下么，。
2013年12月26日 02点12分
回复 labcd1987 :这些都是结论，无所谓懂不懂的
2013年12月26日 14点12分
你好厉害![[太开心]](/static/emoticons/u592au5f00u5fc3.png)
2013年12月28日 14点12分
m神 - -本屌只记结论.应该从哪个角度去证明..我想试试证明一下.
2014年01月15日 13点01分
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mpc_killer
楼主
⑥点P是曲线C的极点，他对应的极线为L，则有
Ⅰ.若C为椭圆或双曲线，O是C的中心，直线OP交C与R，交L于Q，则OP*OQ=OR²即OP/OR=OR/OQ
椭圆如图
双曲线如图
Ⅱ.若曲线为抛物线，过点P作对称轴的平行线交C于R，交L于Q，则PR=QR
如图
2013年06月08日 12点06分
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Ⅰ.若C为椭圆或双曲线，O是C的中心，直线OP交C与R，交L于Q，则OP*OQ=OR²即OP/OR=OR/OQ
椭圆如图
双曲线如图Ⅱ.若曲线为抛物线，过点P作对称轴的平行线交C于R，交L于Q，则PR=QR如图
抛物线用过两次，椭圆一次，双曲线没用过。
2013年06月08日 12点06分
但是，反比例函数是特殊的双曲线，反比例函数在我们这届考的很厉害，都是求距离的。比如南通二模，正三角形那题，我就是用此法解得。
2013年06月08日 12点06分
二模那题用此法怎解？
2013年12月28日 11点12分
回复@mpc_killer :你也是南通的？
2015年08月25日 16点08分
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![[真棒]](/static/emoticons/u771fu68d2.png)
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