求一道不等式反证法，有陷阱。 - 数学吧

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773377 楼主

a1,a2,...an是实数，n>3
a1+a2+...+an>n
a1^2+a2^2+...+an^2>n^2
求证，a1,a2..an中至少有一数大于等于2

2013年03月17日 02点03分 1

level 1

773377 楼主

用上下标符号重新打过。
a₁,a₂,...an是实数，n>3
a₁+a₂+...+an>n
a₁²+a₂²+...+an²>n²
求证，a₁,a₂..an中至少有一数大于等于2

2013年03月17日 03点03分 2

level 5

gaogaogaocc

假设没有一个大于2，原式小于4n，即4n>n^2,4>n矛盾

2013年03月17日 03点03分 3

Zerg234

嗯，本来我也以为好简单，其实我们都忘了考虑a[n]是可以小于0的

2013年03月17日 03点03分

习惯性暴走

活捉

2013年03月17日 03点03分

773377

回复 Zerg234 :即使不全为正数，平方平均数大于算术平均数还是成立的吧？

2013年03月17日 03点03分

gaogaogaocc

回复 773377 :那应该不成立吧，这些都是对于正数来说的

2013年03月17日 04点03分

level 5

gaogaogaocc

可以这样，先证明只有一个负数的时候平方和是最大的。可以这样证明，考虑所有正数不变，添入一个负数使两负数和不变，这时其实是对添入一个负数平方和的放大。然后考虑一个负数的极限情况，其他都为2。。可以证明

2013年03月17日 04点03分 4

773377

这句话没看懂，什么叫“添入一个负数使两负数和不变”？

2013年03月17日 11点03分

gaogaogaocc

回复 773377 :就是先假设有一个负数，然后假设有两个负数，但是负数的和不变(可能已经不符合前面的条件了)

2013年03月18日 09点03分

level 1

773377 楼主

或许可以设有i个负数，把正负数分开再证？

2013年03月17日 14点03分 6

level 1

773377 楼主

你妹啊，原来简单到爆，想通了就三步搞定。高中的时候被折磨得思维复杂了。
证明：
1.由反证法可得，若要a₁+a₂+...+an>n，则必至少有一个a>1。
2.同理，若要a₁²+a₂²+...+an²>n²，则必至少有一个a²>n²/n=n,即a<-√n 或a>√n
3.由于n>3,n是整数，所以n最小取4，√n>=2, 所以至少有一个a>=2

2013年03月19日 21点03分 7