话说，今天我看到一个帖，标题为「0.9999……等于1吗？为什么？」。
我觉得很有趣，就出了下面三个题，放心，我心中已经有答案……
定理一： √2 是无理数
定理二： 有些无理数 a 和 b 是这样的：a^b是有理数。
定理三： 对任何自然数 n ， 0+1+2+...+n = n(n+1)/2

定理一： √2 是无理数
对无理数的规定是无限不循环小数。如果数学的古籍没有记错的话。
如果说根号2是无理数，必须证明它是无限不循环小数。
那么如何证明根号2是无限不循环小数。

1用反证法，设根2=p/q p,q互质，两边平方后化简得p方=2q方 得p是偶数，令p=2k,4k方=2q方，得2k方=q方，得q是偶数，p、q均是偶数与p、q互质矛盾。所以根2不能写成分数形式，即是无理数
2。e^(ln2)=2
3。倒序相加法，数学归纳法都能证，高中数学课本例题

定理三. 对任何自然数 n ， 0+1+2+...+n = n(n+1)/2
证明：（使用数学归纳法）
(i). Base Case:
　　当 n = 0 时， n = 0 = 0(0+1)/2 = n(n+1)/2 。
(ii). Inductive Step:
　　假设 0+1+2+...+n = n(n+1)/2 。
　　故，0+1+2+...+n+(n+1)
　　　　= (0+1+2+...+n) + (n+1)
　　　　= (n(n+1)/2) + (n+1)
　　　　= [n(n+1)+2(n+1)]/2
　　　　= [(n+1)((n+1)+1)]/2

定理三错误，应该是n(n+0)/2，等差数列相加或相减…小学生都会…

上完数学分析第一课就什么都懂了