在一张纸上随机画一些点，然后将他们连起来形成随机的多边形。找到多边形所有边的中点并将这些中点连成一个新的多边形，如此重复下去，最终的结果会是一个越来越小的形状，而且会趋向与一个椭圆！

好玩儿~~~~~

matlab代码：
a = rand(50,2);
for i = 1:1000
plot(a(:,1),a(:,2),'*-');
b = [a(2:end,:);a(1,:)];
a = (a+b)/2;
pause(0.01);
end
谁能用mma写得比这个更短（不算空白）？

我感觉这是一个有趣的课题；为什么不做深一点的研究呢？
例如：
1、它面积的改变随着迭代次数的增多而变化的函数曲线？
2、它变为的是一个椭圆吗？（极端假设：若是一个很扁的椭圆，则两端会有多边形效应，则形状会有较大的变化，比周边平滑区域要大，而这些变化却是使其向着圆形方向发展的；而圆形若做此变换，仅仅只有形状缩小的趋势，却无形状的改变；则推断，其变化的最终图形为近似圆形的多边形）
3、这个多边形我看到有一种特征，在奇数次迭代和偶数次迭代有着可以归纳的特性；这里面可以分开提取，然后计算每个点各相邻两种情况之间总的点坐标改变量的函数研究；
4、推至三维曲线，和较差平面曲线的情况全部重新讨论；
最后：
而我感觉这样比单纯的编程玩的更加深入和起劲，可能还会发现新理论成为自己学术生涯的重要一部分也说不定。
祝愉快！

ListAnimate[ Graphics[Polygon@#] & /@ NestList[Mean /@ Join[Partition[#, 2, 1], {#[[{1, -1}]]}] &, RandomReal[10, {20, 2}], 80]]

变小得好快,狠哀伤!

回复 mm_酱 :第二个怎么那么狂乱,好像取的不是相邻点中点,要不就是绘图的时候顺序搞错了.

有意思。

简证：
Sin[x]在（0,pi）极值，最大为pi/2，最小为0，pi。
再加上(内)多边形内角和的约束条件(n-2)pi。
因此，
该问题正过程，是的连续3点间夹角趋于0或pi，即尖锐椭圆，端部顶角趋于0，其余趋于pi。
推论：
该问题逆过程，即反过来构造多边形，使其所有边的中点为现有已知点，其结果趋于圆。
希望
少些口水，多些讨论。

@bobdaft
简要推导：
平铺证据：
1. 您说少些口水，多些讨论（隐含逻辑：在您面前出现；这个逻辑限制）；
2. 这里未曾出现口水战；
3. 我在您面前出现了您标准意义上的口水战的某些特征；
4. 您经常在mathematica吧出没。
逻辑关系：
2+3+4 -->1；
这里面我架一座最简单的逻辑桥，即：
我以后不会再出现本吧-->我的这部分口水的潜在威胁在吧内或您面前去除，而少我这些口水，讨论文字所占的比例上升-->吧内或您面前会少些口水，多些讨论。
证毕
。
但是不可否认，您在上贴发布的是我有待认真考虑的问题的解答。

数学水平有限，这帖我就纯围观一下吧。

2D,3D都可用版本
myLine[pts_List] := Line[Append[pts, First[pts]]];transform[pts_List] := Partition[pts, 2, 1, 1]animate[pts_List, times_Integer] := ListAnimate[ If[Length@#[[1]] == 2, Graphics, Graphics3D][{myLine[#], {Red, PointSize[Medium], Point@#}}] & /@ NestList[Mean /@ transform[#] &, pts, times]];animate[RandomReal[1, {50 , 3(*维数*)}], 1000]

我找到了规律：
满足：
其中相同颜色的线平行，这些线还与多边形的一边平行即可稳定；
@mm_酱

忘记贴图了

搜到一份不错的资料，我英文水平有限，没有细看，
http://www.cs.cornell.edu/cv/ResearchPDF/PolygonSmoothingPaper.pdf

三维结论与二维一致，即尖锐椭圆的结果容易理解。
如果仅有一个点c与其他点非共面，如图，其它点均在abc’面。则如图所示，非共面三点间夹角/theta 小于该点c移至共面时c'夹角/phi，
同样对于稳定凸多边形时，必须三角函数Abs[Sin[x]]极小，即三点夹角趋于pi（0只在端点成立），在给定约束条件下夹角越大越好，故系统演化至更大夹角/phi，即c会演化至共面c',同理所有点趋于共面。