既然
@ KOF2002FANS 要写相量法，那我就不写了~
我写的很简洁，不过下面还是尽量少插楼吧~

电路在现实生活中应用极为广泛，这一个世纪以来人类对电路的探索研究一直都没有停止过，就是这个初中课本里的电路牵引出了许多规模庞大的学科，而这一切的开始就是最基础的电路理论。这里我打算尽量浅显而宽泛地介绍一下电路基础知识，但不完全是科普，这次我不会介绍任何技巧性或是繁琐的内容，也不会给太多推导。另外，我主要是写给有一点微积分基础的中学生的，对电路完全没有概念的大学党也可以看看。
以下所说的电路都是是集总参数电路，即电路尺寸远小于电路工作时产生电磁波的波长，如果电路特别大或者频率特别高的话，那就需要另外一套方法来分析电路了。
一、理想元器件
实际电路中的元件是多种多样的，往往一个元件呈现出多种物理特性，比如导线绕成的线圈不仅有电感性质还有电阻和电容性质。为了方便理论分析，我们在电路中使用理想模型，即就是理想元器件，我们会用足以表征一个实际元件主要特性的模型（理想元件及其组合）来代表该电路元件。下面我们就来介绍几个常见的理想元器件。
1.
电阻元件
这个大家初中都学过了，废话就不说了，在这里我们关心的电路元件的特性只有一个，那就是伏安关系，很多时候简记为
VCR(Voltage Current Relationship)
。电阻元件的伏安关系很简单，那就是欧姆定律：
U=IR
我们可以看到欧姆定律中没有时间项
t
，即伏安关系与时间无关，所以我们称电阻元件是一种“无记忆”元件。另外电阻也分为线性电阻和非线性电阻，我们这里讨论的都是线性电阻。这就是电阻的电路图：

2.
电容元件
电容
C
是一个物理量，它的定义式是
C=Q/u
，单位是法（拉）
F
，
1F=1V/C
，一般用的比较多的是微法和皮法，我们把电容器也简称电容。对于电容器来说
u
是电容器两端电压，
Q
是电容上所带的正负电荷，关于电容器是怎么一回事，还有电容器种类什么的就不多讲了。我们现在来看看电容器的
VCR
，在这之前，我们先定义电流
i=dq(t)/dt
，即单位时间通过某截面的电荷量，然后结合电容的定义我们很容易得到：
这里我们发现通过电容电流（或者说电容所在支路上的电流）与电容两端电压呈正比。对上式两边同时积分就可得到：
上式表明电容电压的数值并不取决于该时刻的电流值，而与电流全部过去历史有关，所以我们说电容是一种“记忆元件”。
这就是电容的电路图：

3
电感元件
电感
L
是一个物理量，也称为自感系数，其定义式是：
L=
Ψ
/i
，Ψ是磁链即通过线圈的磁通量乘以匝数，
i
是通过电感元件的电流。电感的单位是亨（利）
H
，
1H=1Wb/A
。电感两端的电压满足
u=d
Ψ
/dt
。这里有的同学会说：“乱讲，有电磁感应的时候根本不能定义电压！”那我就稍微提一下，电路中的电压和电磁学中的并不完全是相同的概念，电磁学中的电势是用电场定义的，只有保守场才能找到势函数，而电路中基本没有电场的概念，电压可以看做是从能量的角度定义的，即
u=P/i
，而实际上你用电压表测的话，它会很精确的告诉你电路中定义的电压（电压表才不知道有没有涡旋电场！）。
扯远了，我们要迅速回到
VCR
的推导上来，其实结果已经很明显了，只要把上面两个式子联立就能得到：
我们发现电感的电压与电流的变化率成正比，将上式两边积分就得到：
我们发现电感的电流取决于其初值与
[t0,t]
区间所有的电压值，也是记忆元件。另外电容和电感都是能储存能量的元件，其本身不消耗能量，而是通过电磁场把它储存起来，电容电感的能量这里就不说了，有兴趣的同学可以用
p(t)=u(t)i(t)
去推推看。
这就是电感元件的电路图：

4.
理想电源
电路理论中主要用到的理想电源有电压源、电流源和受控源，受控源这里就不讲了，它在有晶体管的电路中用处很大。
我们先来看看电压源，顾名思义，电压源就是电压确定的电源，初中碰到的电池其实就是理想电压源，没有特殊说明的话电压源的端电压是定值，即
U=Us
。
以此类推电流源就是电流确定的电源，其端电压可以是任何值，同样，没有特殊说明的话电流源的电流是定值，即
I=Is
。
实际的电源则有很多种模型，最常见的有电压源串联电阻（就是高中里碰到的电池了）、电流源并联电阻。另外，理想电压、电流源的电压电流并不都是定值，可以人为定义，不过在这里我们默认它们是定值了。
左边是电压源，右边是电流源：

二、基尔霍夫定律、戴维南与诺顿定理
1.
基尔霍夫电流定律（
KCL
）
讲基尔霍夫定律之前先要明确两个概念：节点、支路和回路。每个二端元件可以构成一条支路（
branch
），两条或两条以上支路的连接点叫做节点（
node
），这样其实根本没说清楚对吧？
其实可以这样理解：在同一时刻，同一支路上的电流是唯一的，同一节点上的电位也是唯一的。这虽然是描述性的语言，把它反过来作为定义也未尝不可，支路和节点的这两个性质也是电路分析的基础。电路中的任一闭合路径叫做回路（
loop
）。在下图中共有
a,b,c,d
四个节点，
R1,R3,
都可以看成是支路，
Vs1
和
R1
在一起也可以看成是一个支路，回路一共有
3
个：
dabcd
、
aR3cba
、
daR3cd
。
现在我们来说基尔霍夫电流定律，即
KCL
（
Kirchhoff current law
）：在任一时刻，流入一个节点的电流总等于从这个节点流出电流的总和。用数学形式表达就是：
在上图中，考虑节点
c
的电流，可以得到
i3=i1+i2
。
另外，
KCL
不仅适用于节点，对于任意一个多端网络，其流入电流之和也等于流出电流之和。

2.
基尔霍夫电压定律（
KVL
）与支路电流法
基尔霍夫电压定律，即
KVL
（
Kirchhoff voltage law
）就是：在任一时刻，在电路的任一闭合回路中，各支路电压的代数和为零。用数学形式表达就是：
同学们肯定会问，各支路电压是怎么定义的呢？一般书上都会说参考方向的一些规定，但其实没什么必要，说了也未必记得住，其实只要举几个例子就可以讲清楚。所以现在我要介绍一个求解电路的方法：支路电流法。支路电流法是最基本的求解电路中电流、电压的方法，除此之外还有网孔电流法、节点电压法，其本质都是一样的，都是应用
KVL
和
KCL
。
我们还是看上面那个电路，
R1
，
R2
，
R3
，
Vs1
，
Vs2
都是已知量，现在求
i1
，
i2
，
i3
，注意图上电流的方向未必是真实方向，只是人为规定的方向。当解出的电流为正，则电流方向与规定方向相同，若解出的电流为负，则相反。先用
KCL
列出
i3=i1+i2
，然后根据
KVL
，按
cbadc
可以列出：
i2R2-Vs2+Vs1-i1R1=0
，按
cbaR3c
可以列出：
i2R2-Vs2+i3R3=0
，仔细看一下同学们就发现了，其实
KVL
等号左边的是沿绕行方向电压下降的量求和！当然，你要是对电压上升的量求和也是没问题的。在这个电路中确定每项电压的正负是很容易的事，不过在电压电流都有规定方向的时候（比如电路中有电容电感），搞错正负号的事情还是时有发生，总之记住求绕行方向的压降之和就对了。

现在我们回到对
i1
，
i2
，
i3
的求解过程上来，上面我们利用
KCL
和
KVL
列出了
3
个独立的方程，即
三个未知量，三个线性方程，就可以把
i1
，
i2
，
i3
都解出来了。事实上，用支路电流法求解电路时，若电路中共有
n
个节点，则其中任意的（
n-1
）个节点的
KCL
方程是互相独立的，余下那个节点的
KCL
方程则是不独立的。在一般情况下，
KVL
能够提供的独立方程个数总等于支路数
b
与独立的节点数
(n-1)
的差值，即
KVL
提供的独立方程数
l=b-(n-1)
。未知量的个数是
b
，所以对于任何电路，支路电流法都可以求出唯一解。

今天先更新到这里了，后面开始讲一阶电路的完全响应。。。本来还打算讲讲相量法啊，阻抗啊什么的，不过@KOF2002FANS 要写，那我就不讲了，那一阶电路稍微写详细一点吧，心情好的话我说不定把二阶电路也一起写了。。。

@ alrigz 你居然自己把楼给删了。。。其实我打算后边再继续更新的，现在插一下应该也没什么关系吧。。。

虽然一直想再写电路的过渡过程，不过一直没时间写。。。看样子今年是写不了了，还是等明年慢慢写吧~

昨天晚上终于考完了,明天更新,写过度过程

三、过渡过程
前面已经讨论了一些简单的电路，对于已知的条件，我们可以通过基尔霍夫定律来求出电路的其他参数，然而前面所讨论的电压、电流都是定值，而在现实生活中更多的情况是电流电压都会改变。这里我们要讲一讲“从打开电灯开关，到电灯稳定发光”这一类过程，可能有人会问：不就是打开开关，电灯就亮了吗？非也，白炽灯不仅有电阻的特征也有电感的特征，其电流不能突然从零变到一个很大的值，而且一般照明电路中还有电容，那么情况就更加复杂一点。当我们在t=0的时刻合上开关，当t→∞时，电路中的电压电流处于稳定状态（为定值或周期函数），我们称之为稳态。从一个突变（比如合上开关）到稳态的过程，我们称之为过渡过程。一般线性电路的过渡过程都可以由若干个微分方程描述，从而解出电路参数，我们把这种求解方法叫做“经典解法”，这里我们就来讨论几个简单的经典解法。另外，正弦交流电路的稳态可以用复数（相量）来描述，@KOF2002FANS 已经写过它的科普贴，有兴趣的童鞋可以去看： https://tieba.baidu.com/p/2020803878
(1)电容是怎么充电的由于在物吧看到很多童鞋问电容充电的问题，所以我就先来讲讲电容充电，电容的伏安特性我们在前面已经讲过，即i=du/dt ， 现在我们来看下面这个电路
K1，K2都断开，电容两端电压为零。现在把K1合上，则中间的电容充电，充完电后电容两端的电压即为Vo，也就是达到了稳态。那它的过渡过程怎么求呢？很简单，只要一个KVL（基尔霍夫电压定律）方程就行了：
uc就是电容两端的电压，其正方向如图中所示。我们知道微分方程的解不是唯一，我们需要一个定解条件:uc(0)=0，表示t=0时电容上没有电压。

现在我们把电容的伏安关系代入方程：
（记作①）
这是一个一阶非齐次常微分方程，其解法很简单，考虑到本文读者对微分方程可能会不太熟悉，这里就稍写下解的过程。①的通解可表示为：①的齐次方程的通解+①的一个特解。显然，①有特解u=Vo；现考虑齐次方程
它是一个变量可分离的方程，
于是可得①的通解即为
现在把初值条件u(0)=0带入，可得k=-Vo
好了，我们现在就求出电容两端电压，它是关于时间t的函数，想要知道电流的话，根据电容伏安关系，只要对u(t)求导就行了。我们可以发现，其实u永远也不能达到Vo，所以说要是电路达到稳态只能在t→∞的时候，不仅这个电路是这样，任何实际电路都是如此，不过只要电路接近稳态，我们就认为它是稳态了。
如果取Vo=1V，C=100μF，R=4Ω的话，u(t)的图像就如下所示：

（2）一个稍微复杂一点的问题
本来想写写高中生熟悉的LC振荡的，不过又听说很多地方都已经不学了（反正我高中就没学过这个），而且这东西确实没什么意思，所以就不讲了。又鉴于我还没写过交流电和戴维南定理的应用，于是就在这里把它们介绍一下。不过这样就免不了例子相比之前会有点复杂，大家看的时候就耐心一点吧。
我们现在来看下面这个电路（手绘勿喷），还是来研究这个电容的充放电过程：
电路中左边那个是交流电压源，其输出电压为Vm*cosωt，右边有两个直流电压源和一个直流电流源。如果我们现在想知道当K合上的时候电容的电压变化，右边的电路是怎么样其实都无所谓，根据戴维南定理，只要是有源线性二端网络都可以用一个电压源串联一个电阻来等效。为了简化电路，我们先来做一次戴维南等效。
这是AB端右边的电路网络：
先来复习一下戴维南定理：对于线性有源二端网络，均可等效为一个电压源与电阻串联的电路。等效电压源Uoc数值等于有源网络N的端口开路电压。串联电阻Ro等于N内部所有独立电源置零时网络两端之间的等效电阻。

我们可以通过之前介绍过的支路电流法来求出AB开路电压，现I1已知（电流源电流），我们设另外4个支路的电流分别为I2，I3，I4，I5可列出两个KVL和两个KCL方程：
大家是不是已经在计算了？其实这是个很愚蠢的方法，因为仔细观察一下，你就会发现这里的开路电压其实就是I1R！
我把KVL,KCL方程写出来的目的是告诉大家，在求戴维南等效的时候，二端网络的开路电压都可以通过这种方法来求得，并不是所有情况的开路电压都可以一眼看出来的。
好了，我们现在来求等效电阻，把电源置零（电压源变导线，电流源变断路）后，电路就是这个样子：
很显然，AB两端的电阻就是R
于是我们就可以得到原电路的戴维南等效电路：
这样的电路看起来是不是就简单多了？好现在我们开始正式求解！

首先我们来学一条线性电路的重要性质：叠加定理
独立电源代表外界对电路的输入，统称激励。电路在激励作用下产生的电流和电压称为响应。
叠加定理的内容是：在任何由线性电阻、线性受控源及独立电源组成的电路中，多个激励共同作用时，在任一支路中产生的响应等于各激励单独作用时在该支路所产生响应的代数和。
在这里当K闭合时，电容两端电压u(t)就等于只有左边回路时的电容电压u1(t)，加上只有右边回路时的电容电压u2(t)。u2(t)的情况我们在上面讨论电容充电时已经求解过了，即为：
现在我们来求u1(t)。
我们列出左边回路的KVL方程和电容、电感的伏安特性方程
现在只需对①求导，再将②，③代入即可得到：
同时在t=0时电容上电压为0；从电感的伏安特性中可以看出通过电感电流可导，也就是说电流i是连续的，不能突变，所以t=0时，有i=0。这样我们就得到两个定解条件：
方程④是一个二阶非齐次线性方程，它同样可以用齐次方程的通解+一个特解来求出通解。
（这里我依然讲一下解的过程，至于为什么这么解就不细说了，若有童鞋对微分方程不太熟悉可以去看“常微分方程”或者“高等数学”的相关章节）
我们先来看④的齐次方程：
其特征方程为
解得其特征根为λ1，λ2。为了不把问题搞得太复杂，我们这里就当λ1，λ2是不相等的实数。
于是齐次方程的通解为
k1,k2为任意常数。
虽然我们没有把λ1，λ2算出来，但是可以肯定λ1λ2都小于零，因为在特征方程中Lλ^2和1/C都大于零，要是等式成立，必然λ1，λ2都是负数。这点很重要，后面我们分析稳态的时候有用。

好吧，我突然改变主意了。我打算重新解方程④
我们已经解出方程④的齐次方程通解，现在应该找一个特解了，别看它只是个常微分线性方程，非齐次方程的特解找起来也不是太容易。这种方程大多可以用变动任意常数法找出特解，可是非常复杂。因此“常微分方程”里也有介绍带三角函数的非齐次方程的特殊解法，虽说比较简单，但实在是有点“非主流”了，有兴趣大家可以去看看，不过估计都是看了就忘。
所以，我觉得与其用那个套公式般的“非主流”方法来解这个方程，不如用一些正常的方法，我打算用“拉氏变换法”来解它。这是一个比较常用的方法，但是要用到拉普拉斯变换和一些复变函数的知识，大家要是看不懂的话就当我自娱自乐好了，解方程的过程不是重点，我们后面会重点分析一下这个方程解的形式。
我们把方程④再写出来:
方程两边Laplace变换得到：
整理得
用Laplace变换反演公式可得
为了防止与电流函数i(t)混淆，我们这里用j表示sqrt(-1)

从L [i]表达式中我们发现上式的被积函数有四个单极点，根据公式可以求其留数。
为了形式上的方便，我们这里设R^2>4L/C,其实它并不影响结果。
将s1,s2,s3,s4带入计算可得
好了，这样我们就写出了i(t)的形式解。

抱歉，我前面算i(t)的最后一步写错了，漏了一个初相位φ，我们把前面解出的i(t)再写出来
虽然我们没有具体解出这个解（其实我们已经做了求解，但解的形式实在太复杂，写成形式解反而看起来比较清楚），但是已经可以知道在开关闭合后电流的大致情况了。
当t→∞时，G(t)→0，有i(t)=H(t)，因此我们称H(t)为“稳态分量”，它就是电路的稳态电流，而G(t)则称之为“暂态分量”，可以说G(t)才是关闭开关这个动作所引起的电流改变。
我们可以发现稳态分量H(t)也是一个正弦函数，且频率与交流电源相同，但是与电源间有一个相位差φ，其系数h(ω)是与正弦交流电源角频率相关的常数。
H(t)的形式非常简单，G(t)则相对复杂。显然，如果在一个正弦交流电路中，用解非齐次微分方程的方法求电路的稳态是很不划算的，其副产品G(t)就要比稳态分量H(t)复杂的多。于是聪明的人类就发明了一种比较简单的正弦交流电路分析方法——相量法，通过复数来进行计算并引入阻抗。这种方法只关心稳态电路，因此它并不关心时间，但却很关心频率，我们称之为频域分析。根据正弦交流电的频域分析方法，阻抗有两种：电阻和电抗，分别是对应着阻抗的实部和虚部，电阻会产生焦耳热，电抗则会使电流与电压间出现相位差，其中电容电抗为负，电感电抗为正，若两者抵消则没有电抗。
因此，若在例子中感抗容抗相等,则电流初相φ=0，同时系数h(ω)也达到最大，此时的频率2π/ω就是电路的“谐振频率”。是不是很神奇？这里我就不细讲了，对“相量法”感兴趣的同学可以去看：https://tieba.baidu.com/p/2020803878