第七章 微分几何杂谈 （1） 据说几何学起源于丈量大地，微分几何学里有一个词语，"测地线",测地线在黎曼几何中是是2点之间最短的线，但时空具有非正定的号差，是伪黎曼几何，或者说是lorentz几何，所以，测地线是时空2点之间最长的类时线。当一开始，古代的人们发明平面几何的时候，也同时撞见一些问题，比如，能不能把用尺规作图把一块圆的土地等面积地变换成一个正方形的土地，化圆为方一直困绕着古代数学家，后来这个问题被证明是不能实现的。另外一个问题是这样的,给你一根长度一定的绳子，叫你去圈一块土地，怎么样子圈地，才能够得到最大面积，这就是等周问题。如果这条曲线不是平面曲线，这个等周问题更加复杂，所谓Plateau问题或者极小曲面问题，其实就是一个非线性偏微分方程。等周问题和最速降线问题一样,促使变分方法的诞生，在物理学上，这就是人们津津乐道的真理之一，“对作用量变分为零得到Euler-lagrange方程”。因此，几何学的这些问题非常朴素，但背后包含了巨大的玄机，其中lagrange的分析力学的思想，区别与牛顿，lagrange曾经写了一本书，这本书是讲力学的，但全书没有一个图，lagrange非常自豪。 古代的人不知道大地其实是一个2维球面。后来，航海家麦哲伦环球航行，他是一个无比成功的冒险大王，他当然知道，假如大地是一个正方形，那么，可能有一天，他麦哲伦会走到大地的尽头，然后扑通一下掉进无底的深渊。历史总是垂青少数幸运的青年,后来，麦哲伦成功地回到了原来的出发点，大家才知道，原来真相只有一个，是这样的：我们居住在一个球面之上。但如若事后诸葛，仔细看一下，人类的武断似乎让人苦笑，其实，麦哲伦能够环球航行，不足以证明大地是一个球面，因为，还有其他的可能，比如环面，柱面,Mobius带，Klein瓶。其实要发现大地是一个球面，是一件很麻烦的事情。我们可能不得不站在高处，比如卫星之上，向下俯瞰，才能得到一个初步的结论，这是一种把流形嵌入在高维空间的方法。 2维球面具有很多性质，在拓扑的意义上，它的欧拉数为2。在几何上，它可以是最大对称空间，处处具有同样的曲率。在纤维丛上，2球面上的2形式张量场不可能整体是恰当的，也就是不可能存在单一的电磁势A使得处处满足F=dA，这就是poincare引理，于是我们得到chern示性类。 在19世纪末，美丽法国的小城南锡。poincare小的时候，就是高度近视眼。所以他上课全靠听力。由于运动神经的不协调他从小就不能与小伙伴一起玩，童年非常之不幸。在数学上，他后来做出了伟大的贡献。懂数学的全知道，在三维空间，标量场的梯度取旋度为0，矢量场的旋度的散度为0，这其实可以用外微分的语言表达为poincare引理。 poincare引理认为，假如流形可缩为一点,假如它上面的一个微分形式是恰当的，那么它必定是闭的。这个断言非常之强，可算是当时数学上的颠峰之作。poincare是数学物理的最后一个全才，他研究3体问题，在这个问题上,有一个poincare-birkhoff定律，这个定理是关于不动点问题的，据说在保面积映射中,如果出现在相空间的环面上的两个周期P,Q的比例是有理数,那么上面的流转过有限周以后必定回到原来的点,如果用poincare截面来描述的话就是在poincare截面上出现了点的回复,从而实际的映射点是离散分布在圆周上的有限点。poincare于1912年猜测,这种情形下的映射有2kQ个不动点,一半稳定,一半不稳定,这被称为"poincare最后猜想",在Harvard大学的Birkhoff证明了这个猜想,声名鹊起。这一映射模型是poincare在研究限制性三体运动中抽象出来的数学模型，如果在相空间的环面上的两个周期P,Q的比例是无理数(不是有理数),那么环面上的流就是拟周期运动,永远无法在poincare截面上出现点的回复,从而实际的映射点是连续分布在圆周上的无限多个点,这个情形就要用Moser定理来解决。现时代要培养全才，已经没有可能，因为pioncare是断后的那一个人。 

poincare与klein研究3维的空间。这个3维的空间是深山老林，很少有人能进去以后不迷路。这个Felix·klein是德国人，因为研究瓶子而闻名世界。说到klein瓶已经高度抽象，它是2个mobius带子粘起来的结果，但它不能在3维空间中被粘起来。poincare的问题是是不是任何3维的流形都同胚于3维球面？这个问题成为亘古难解的poincare猜想。Yau.s.t认为人类连poincare猜想也搞不清楚，那就是连司空见惯的3维空间也没有真正研究好。可是,历史总是猛烈发展,相对论已经在另外一个来自瑞典的物理学家Oscar·klein启蒙下进入高维度研究。这个启蒙运动叫做“卡鲁扎——klein理论”。 （2） 微分几何大致分为三种，黎曼几何，辛几何，复几何。这是根据微分流形上的度量来分类的。在相对论看来，黎曼几何不是最好的，最好的是伪黎曼几何，上面有因果结构；辛几何是有用的，但可是描述哈密顿系统，现在最流行的圈量子引力，就是从哈密顿系统里开始做量子化的；复几何与彭罗斯一直推销的扭量理论相关。陈省身考虑了复示性类，明显区别与庞德里亚金和惠特尼的示性类不同，但取得最大的成就。因为复数比实数要优越，要自然，正如任何多项式方程在复数范围里全有解。 杨振宁写了一首诗歌，来赞美陈示性类。 "天衣岂无缝，匠心剪接成。浑然归一体，广邃妙绝伦。造化爱几何，四力纤维能。千古寸心事，欧高黎嘉陈。” 最后一句，欧高黎嘉陈。这一句话里面，包含五位杰出的几何学家。按照我第一次读到这个诗歌的经历，我有点吃不准，那个欧字，是欧拉还是欧几里得，欧拉在几何学上的贡献我不是很清楚，因此是欧几里得。欧拉是18世纪的数学巨匠,据说在他临死之前,他说了一句话:"我死了"。说完他就死去，很是神奇。数学大家的情操，表露无疑。欧拉生前，是处理无穷级数求和的专家，自然数倒数的平方和是一个难题，当时欧拉的老师John.伯努利也弄不出来，但欧拉算出来了，答案是pi的平方除以6。其证明过程相当于把n次多项式方程里的韦达定理推到n等于无穷。 高斯从小就是是一个神童，他10来岁的时候就会做等差数列求和，1加到100等于5050。这个故事现在家喻户晓，不少家庭用这个来检验自己家的小孩子是不是有数学天分。他青年的时候做17等分圆周的时候,后来就完整地研究了曲面和曲线,还得到很多重要的微分几何里的定理,其中一个叫"高斯绝妙定理",这个定理说明2维曲面的黎曼内禀曲率与外部空间无关。 黎曼1854年的那个著名演讲的题目是《几何学基础之假设》，微分几何学开始研究内禀曲率。 嘉当是法国数学家，是陈省身的导师。 陈省身是中国数学家，2004年12月在南开大学去世，标志一个数学时代的结束。丘成桐先生题写挽联寄托对陈省身老师的哀思。 “ 呜呼，大厦倾矣，二千年勾弦求根，割园三角，终不抵陈氏造类， 孤学西传，置几 何于大观，扬华夏于世界。 哀哉，哲人萎乎，卅五载提携攻错，赏誉四方，犹未忘柏城授业，中土东归，传算学 之薪火，立科学之根基。 弟子 成桐 敬挽 2004年12月4日” （3） 陈省身年轻的时候，推广了微分几何学上很重要的Guass-bonnet公式。Guass-bonnet公式具有非凡的影响，因为它联系了局部几何性质与整体拓扑性质，把看上去很不显然的两个东西联系在一起了，数学的统一性，变的非常明显。 他在1980年访问中国科学院理论物理研究所，写了一个诗歌，表达了更深的意思，数学和物理，具有统一性。这个诗歌高屋建瓴，人间难得几回闻： 　　“物理几何是一家，共同携手到天涯。黑洞单极穷奥秘，纤维联络织锦霞。进化方程孤立异，对偶曲率瞬息差。筹算竟有天人用，拈花一笑不言中。 ” 早期的相对论，因为没有用到整体微分几何，数学看上去有一些麻烦，数学技巧也显得不是很高，Hawking写道，费曼曾经描述过1962 年的一次华沙召开的引力会议，对当时的相对论研究者的低能表示了一定的轻视，到了1960年代，彭罗斯(R.Penrose 

黑洞一出现，人们普遍认为，这几乎就是世界末日的真实体验，以史瓦西黑洞为例，当观察者进入到离黑洞中心距离为R=2M的时候，他就会在人类的世界里消失。道理是很简单的，在R小于2M的时候，每一个等R面全是同时面，也就是说，坐标R在那个时候，已经不是空间，而表示时间了，所以，观察者不可能在同一时间出现在相等的R处，于是，时间流动，这个观察者必然要沿着R单调变化的方向前进，于是，它必然要撞上R=0的那个可怕的地方，这个地方，是这个观察者时间的终点，被称为奇点。 美国康奈尔大学的研究者Rindler，他给R=2M的那个地方取了一个名字，叫做地平线，英文是Horizon，原始的意思是说，这个观察者掉进了R=2M这个曲面之后，黑洞外面的人再也见不到他了，就好象太阳在地平线之下，地球上的人就看不见了。后来，Horizon被翻译为一个更加学术化的名词“视界”。 如果说有什么记号能够表示黑洞，最简单的数学可能是： 奇点+视界=黑洞。 （3） 黑洞，就好象是达芬奇的《梦娜丽莎的微笑》这样的历史名画，或者是贝多芬的《命运》这样的交响乐章，它充满了美，同时充满了对人生命运的无情嘲弄。在1970年代以前，人们开始接受一个这样的观念，黑洞，是恒星演化的终结。黑洞是一个完全黑色的东西， 但是，在1974年2月，在牛津大学有第一次的量子引力会议，这样的会议在6年以后还有一次，会议的组织者是该校的爱沙姆，西阿玛和彭罗斯等。在这个会议上，霍金报告了一个惊人的消息，黑洞不是完全黑的，它会向外发出辐射，并且，这个辐射是热辐射，也就是说，它不会带出什么有意思的信息。当然不排除霍金在这个回忆之前已经吐露了这个研究结论。 霍金的这个发现，给他引得了世界性的声誉。这个时候以后，大众的视线，开始聚焦在这个在轮椅上的严重失声肌肉严重萎缩的英雄人物身上，历史显得疯狂起来。因为，霍金传递了一个讯号：黑洞，不是恒星演化的终结，而只是一个中间过程，我们人类，似乎还有希望。 相对论比较成熟的学问包含了宇宙学和黑洞。相比较来说，宇宙学和天文学的关系密切。宇宙学它的历史悠久漫长，在这个历史过程中，爱因斯坦引入了宇宙学常数，修改了他的引力场方程。他的这个举动，使得整个宇宙学的历史跌宕起伏。黑洞理论和宇宙学一样，给相对论以一个应用的舞台。在某个时候，爱丁顿和钱德拉塞卡有过著名的争论，相对于沉默的钱德拉塞卡，爱丁顿这样尖锐地说：“你是以恒星的角度看问题，而我，是从大自然的角度看问题。”也许，这句话在这里显得荒诞。对于宇宙，要从大自然的角度去看，但对于黑洞，也许要从恒星的角度去看，这是钱德拉塞卡的梦开始的地方。 第十三章 钱德拉塞卡 （1） “我不知道风/在向那一个方向吹/我是在梦中/在梦的轻波里依洄/”中国的徐志摩乘船离开剑桥大学以后几年，另外一个来自东方文明古国印度的学生乘船来到了剑桥大学。他的名字是钱德拉塞卡。他想跟爱丁顿研究天体物理。爱丁顿当时是世界上一流的相对论学家，在第一次世界大战中他率领一群人开了船来到巴西某个岛屿发现了引力场确实能让光线偏折，证明了爱因斯坦广义相对论的正确性，而被人们看好。 爱丁顿年轻的时候就很聪慧，并且骄傲过人。这个人与女朋友谈恋爱，研究天象很有成功，刚刚推导出氢核反应，一天晚上草地上躺满了情侣，一对一对地看星星。女朋友望着美丽闪烁地星光出神，对爱丁顿说：“看，闪烁地星星好美啊！”爱丁顿说：“是啊，可是此时，我是这个星球上唯一懂得为什么那些星星是如何闪烁发亮的人。”语气里充满了无比的孤独感。 钱德拉塞卡来自英国的殖民地，1929年钱德拉18岁（当时还在印度读书），就写了两篇有份量的论文。其中一篇题为《康普顿散射和新统计学》的论文递交给剑桥大学三一学院的富勒（RalphH．Fowler）教授，富勒将论文推荐给《皇家学会会报》。第二篇论文刊在《哲学杂志》上。 后来经过漫长的海上航行， 钱德拉塞卡来到了英国，他当上了剑桥大学富勒教授的研究生。这奠定了他一辈子成功的基础。很多时候，我想起钱德拉塞卡的青年时代，感受到一个第三世界的青年的滚烫的胸膛，以及那里面流淌着的岩浆般对数学和物理的热血。从而想起自己的青年时代。下面的文章以博一笑。 

当然，一直到现在，我对吴振奎的书最后的完美矩形与电路的基尔霍夫定律的关系没有把握。高中时代的我还不晓得自己等上了大学要学什么专业，似乎我的文科比理科要好一点。英语是最好的，写作文也是老气横秋，跟那些新概念的人不相伯仲。我已经忘记什么时候我有一个penfriend，那人与我写信，说我文笔出众。后来我在大街的电线杆上看到一行别人写的字：我的文笔出众。 可见文笔出众的人真是多如春天的绵绵细雨啊。文笔出众在某个时间的我我看来似乎有点小儿科，我觉得一个人幺麽物理出众要么数学出众，电脑出众也行，你要说自己文笔出众，我觉得那很正常。当时我们高中学校有个毕业的人，成为当地的小作家了，来春晖中学讲文学，坐在讲台上冷酷地抽烟，思索人生，谈论文学，我一点也不觉得人家有多了不起。后来有科学院的院士来春晖中学风光讲演，我惊为神人。 高中时代是稀里糊涂的，要学的东西很多，我们为了准备奥林匹克竞赛还读过大学的《细胞生物学》那样的高级书。 20岁那年，我要考大学了，填报物理系显得是越来越确定的事情。在浙江大学与北师大之间我琢磨了一下，填了北师大。当时压根没有想到的是，北师大的广义相对论，在国内是一面迎风招展的旗帜。 到了大学，第一年真是散漫到了极点，未来似乎很遥远。我做的最多的事情是上网和看电视，拿一点时间来写小说，我有某一天去自习教室写10个小时的小说，然后叫打印店的小姐帮忙打字。当时的思想是认为写小说就是设计一个一个场景拿人性做试验。我在高三开始疯狂研究徐志摩，大一的暑假去了徐志摩在浙江海宁的老家，人去楼空后我再次感怀，爱美自由，我想以后有钱了要去他家隔壁造一楼房，他的故居边上的新华书店，是我考虑拆迁的对象。 徐志摩的作品我从来没有从文学的意义上去想。但他的那种爱美自由的风格，在当时我的心里是最重要的，这表明我那个时候是一个理想主义的青年。我看陆小曼给《云游》写的序文，说徐志摩云游去了，现在她很后悔当时自己的淘气，写着写着再没有人去执她的手了……我似乎突然明白了很多事情，当时我对爱情有极度虚幻地追求，套一句话恐怕是丫想在茫茫人海中访我灵魂之唯一伴侣。 徐志摩的离婚与梁启超给他的证婚词，让我记忆深刻。 他是永远只有36岁的。这个在我看来是重要的，一个人居然不曾老过，是不是一件极度潇洒的事情？ 大一的散漫使得我开始接受一点后现代的思想。在大学里几乎所有的人都会后现代，但重要的是一个人不能永远停留在后现代。大二上学期我的性情还是散漫的，我还是写一点小说和文字，来慰藉自己。当然思想是不深刻的，正如鲁迅是深刻的。有一门课程叫数学物理方法，上这课程的事情我开始跟不上老师的思路，我的面前出现的第一本超级难懂的书是梁昆淼写的，那时候也不想听课，看了那书就想撕了，数学物理，我一直是在叶公好龙吗？我压根不知道这本书是要干什么？解决什么问题。当时脑子里还没这些东西。 

VERY GOOD SIR