为什么吧里会有人说无限趋近却不等于？
有些趋近取不到等号（例1/x≠0,(这似乎没争议了吧)
lim(x→∞)1/x=0 下面给个严谨的证明:
对于给定的任小ε>0,总存在N(不妨取[1/ε]+1),令x>N时有|1/x|<ε所以lim(x→∞)1/x=0
如果对极限定义不熟悉,请不要说我在诡辩.也不要举生活中例子,更不要以有限类比无限!)
但是,定义x=y，则|x-y|<ε(显然),所以limx=y,那你能说x≠y?
这里你会说0.(9)≠1,那么请注意,你并没有证明,只是先入为主而已,而我也没证明,我只是指出了一个证明(观点)的错误,但是命题本身,要换方法证.
等比数列,实数完备性证明太多,我都懒得引用了.
所以说,思而不学则殆,至于坚持小学算法的同学吗,只能说要接受这个观点有难度.

对于0.（9）=1吗，
我喜欢用实数理论而非极限（无限等比数列求和）说明问题,
因为虽然基于ε-N的极限十分严谨，但是普及得不好，高中数学书（我是浙江的，今年9月高一吧）中又不严谨，所以个人觉得说不清。
至于3*1/3=1的论证么,只适于自娱自乐吧，首先这潜移默化用了不动点法，必先证0.（9）收敛才可以认为极限是不动点，不然这儿运气好，如果改为1+1-1+1-1。。。这种发散级数，就会推出一大堆悖论.极限论证是我看过最严谨的一种，上法归根到底是极限。
下面介绍一种实数理论方法：
引理一：a＜b，则存在c∈（a，b）
证明：c=a+k（b-a），k∈（0,1）。
设0.（9）＜1，存在c=0.（a1）（a2）（a3）。。。，找到c的第一个非9位（an）则（an）＜9，若找不到，c=0.（9）所以c≤0.（9），矛盾！同理0.（9）＞1也是错的，故0.（9）=1
对于强调无限接近而不相等的朋友，我认为有两种：
1.不了解芝诺悖论与第二次数学危机的朋友，思而不学则殆啊。
2.深刻了解现代极限论并认识到现代基于不严格不等式的ε-N理论有重大失误，并将提出一个更严密的极限概念，那么他（她）的名字会像非欧几何创始人一样载入史册！

支持

强烈建议研究此问题的先去补习一下分析学再来讨论……

我只认为1/无穷收敛到0

0.9循环是动态数和无穷小相同，拿非固定数比较，无脑。

我特别赞成木瓜之王的观点：强烈建议研究此问题的先去补习一下分析学再来讨论……
如果证明有错误，请用数学分析的观点来驳斥，不要自己想当然（尤其不要乱下定义），我的数学分析学的也不是很好，与学得好的大学生没法比，因为我高一数学竞赛不用太多，物理竞赛会一点常微分方程与偏微分方程就够了，但我至少学习了他的体系。可有的同学（也许称呼不当）没学过分析，自以为是，有的同学以为分析就是几个名词，微积分就是会算极限，导数，会算面积，体积而已，殊不知《几何原本》精髓不在几个命题与成果本身，而在它严谨的公理化体系。

对了，我是浙江的，现在竞赛取消保送了你们还花多少时间弄？（顺便吐槽CCF今年联赛一等浙江发了200+）

看看标题还真有点被唬住了，然后看到那句定义X=Y...则limX=Y