level 9
木瓜之王
楼主
设x=0.999...，那么10x=9.999...，所以10x-x=9
于是9x=9，x=1。
这个证明法很多人都不承认，说是错的。实际上这很对，没什么错。
下面举一些不承认它正确的理由：
理由1·少了一位。
0.999...乘以10，比原来少了一位，于是10x-x≠9。
实际上，0.999...有无限位（更准确说是
位），而无限-1=无限。（扩充实数系）
不存在“无限减1就不是原先的无限了”的问题，因为无限是确定的一个数（在扩实中）。
实际上这样来看：0.999... + 9= 9.999...
0.999... × 10 = 9.999...
于是9.999... = 9.999...
而9.999... = 9.999... ，所以0.999... + 9 = 0.999... × 10
即有9 × 0.999... = 9，0.999...=1。
这就又出现了一个新问题：9.999... 真的= 9.999...吗？
理由2· 9.999... ≠ 9.999...
这个理由确实是来的莫名其妙，我不知道为什么有人会对这里发生疑问。
一个解释是，9.999...是个“动态”的数，其值不确定。
……这可是毫无根据，9.999...里面，连个变量x，y什么的影子都没看到，怎么能说变化？
如果连0.999...这样的数都动态了，那根号2，π，不都成了不定数了？
这样一来连运算都成问题，数学就垮掉了……
相比较而言，0.999...=1不会引发任何矛盾（虽然看上去很怪）。
理由3·无限小数没有最后一位，不能运算
这理由还靠点谱，没有最后一位是没错，但无限小数有自己的运算法则。
之前有人说过从前向后算的方法，这不错。还有一种方法是，取小数前n位计算，然后令n→∞求极限。
再有一种方法是，将小数看作级数(比如把0.9999...看做0.9 + 0.09 + 0.009 +……)
显然这级数绝对收敛(收敛于0.9999... )，于是可以使用级数重排，柯西积等计算两个级数的和或积。
实际上想一下，无限小数不能运算的话，连圆的周长2πr什么的都算不了。那就数学不就完蛋了……
2012年07月27日 08点07分
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于是9x=9，x=1。
这个证明法很多人都不承认，说是错的。实际上这很对，没什么错。
下面举一些不承认它正确的理由：
理由1·少了一位。
0.999...乘以10，比原来少了一位，于是10x-x≠9。
实际上，0.999...有无限位（更准确说是
位），而无限-1=无限。（扩充实数系）不存在“无限减1就不是原先的无限了”的问题，因为无限是确定的一个数（在扩实中）。
实际上这样来看：0.999... + 9= 9.999...
0.999... × 10 = 9.999...
于是9.999... = 9.999...
而9.999... = 9.999... ，所以0.999... + 9 = 0.999... × 10
即有9 × 0.999... = 9，0.999...=1。
这就又出现了一个新问题：9.999... 真的= 9.999...吗？
理由2· 9.999... ≠ 9.999...
这个理由确实是来的莫名其妙，我不知道为什么有人会对这里发生疑问。
一个解释是，9.999...是个“动态”的数，其值不确定。
……这可是毫无根据，9.999...里面，连个变量x，y什么的影子都没看到，怎么能说变化？
如果连0.999...这样的数都动态了，那根号2，π，不都成了不定数了？
这样一来连运算都成问题，数学就垮掉了……
相比较而言，0.999...=1不会引发任何矛盾（虽然看上去很怪）。
理由3·无限小数没有最后一位，不能运算
这理由还靠点谱，没有最后一位是没错，但无限小数有自己的运算法则。
之前有人说过从前向后算的方法，这不错。还有一种方法是，取小数前n位计算，然后令n→∞求极限。
再有一种方法是，将小数看作级数(比如把0.9999...看做0.9 + 0.09 + 0.009 +……)
显然这级数绝对收敛(收敛于0.9999... )，于是可以使用级数重排，柯西积等计算两个级数的和或积。
实际上想一下，无限小数不能运算的话，连圆的周长2πr什么的都算不了。那就数学不就完蛋了……