一道关于几何的概率计算题（几何概型）证明 - 几何吧

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不知道3254 楼主

已知△ABC三边长分别为4、根号13、根号21，在△ABC内部随机取一点，若设其中一点P满足∠APB、∠BPC、∠CPA都为钝角，试证明这样的P点在△ABC内部取到的概率大于【18/91】
特邀
@448576177
@bttf
其他朋友也来做一下吧，这是我很早以前编的一道综合性概率计算（证明）题，已给让一位老师成功证明出来，命题的正确性应该是可靠的，所以大家请放心享用

2012年04月13日 11点04分 1

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不知道3254 楼主

我之所以特邀@448576177 和@bttf 就是因为两位兄弟的代数功底很好，所以......，也给我点自信

2012年04月13日 11点04分 2

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天马__行_空

显然18/91是高足三角形占的比例 [打酱油]

2012年04月13日 14点04分 3

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不知道3254 楼主

真厉害，一眼就看穿了，真是太感谢你对我的支持了，您能把推导过程写一下吗

2012年04月13日 14点04分 4

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天马__行_空

这都要过程?冏..
先口算高足三角形占的面积..发现确实是18/91..就完了..

2012年04月13日 15点04分 5

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bttf

概率不好吃，还不如出道组合几何

2012年04月13日 17点04分 6

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不知道3254 楼主

兄弟，这是你熟悉的三角函数的应用啊！！！！！！

2012年04月14日 00点04分 7

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不知道3254 楼主

当然了，我要看的是您的证明方法，如果就像上次那个面积题您的证明方法秒杀我的笨方法，自然要向您讨教了

2012年04月14日 00点04分 8

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不知道3254 楼主

我特邀你和@448576177 就是因为你们俩三角函数那么好，我只是没直接说要用到三角函数，我只说代数，怕像上次那样露馅了，给个面子写下过程，让我对比一下我的方法，好的话借鉴借鉴

2012年04月14日 00点04分 9

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天马__行_空

我只是不知道你要问我为啥算高足三角形的面积还是问我怎么算..
前者显然,后者也显然..

2012年04月14日 00点04分 10

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不知道3254 楼主

哦那您就写一下计算高足三角形面积占比例18/91的推导过程

2012年04月14日 00点04分 11

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天马__行_空

余弦定理算下sigma(cosA)就是了..
别说麻烦..我反正是口算的..

2012年04月14日 00点04分 12

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天马__行_空

笔误..是sigma(cos^2 A)..

2012年04月14日 00点04分 13

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不知道3254 楼主

表示见过sigma但是不知道怎么算，我三角函数以及这种高级计算只有初中水平，我是用面积比转三角函数的方法求出来的，您的sigma(cos^2 A)表示不会算，并且不知道这么个计算方法是怎么推导出来的，为什么它就能表示高足三角形占的比例

2012年04月14日 01点04分 14

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天马__行_空

应该说是1-sigma(cos^2 A)..
cos^2 A神马的就是挖掉高足三角形后剩下的那三个..

2012年04月14日 01点04分 15

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不知道3254 楼主

我题设给的这个锐角三角形是由倍长含三十度的直角三角形的直角顶点到斜边的距离所得到的三角形，我本来想编一个三边全是整数的锐角三角形，但是未遂，为了方便计算，我就编了一个好算的数据，平方的时候根号可以弄掉

2012年04月14日 01点04分 16

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不知道3254 楼主

sigma好像是求和，要分别求三个角的余弦有点麻烦，感觉不如【（a²+b²+c²）/4R² -2】好算，这个一算出来就是18/91，或者是晚辈愚昧，没有弄明白您的方法巧妙所在

2012年04月14日 01点04分 17

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天马__行_空

R怎么算?

2012年04月14日 05点04分 18

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不知道3254 楼主

就是外接圆半径，用一个边除以一个角的正弦即可得2R

2012年04月14日 13点04分 19

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天马__行_空

那你正弦怎么算..

2012年04月14日 13点04分 20