如图，三圆各种相切，公切线CD、MN，切点为E、F、I、M、N，求证切点I是△ACB内心
以前我编过这题，是根据@448576177 给的哪两种最大切圆组合的
我现在证明出了CD平分∠ACB
证明如下：
解：辅助线：连接DE、DF，与圆O2和圆O3分别交于G、H，连接EH、GF，分别与圆O3和圆O2交于K、J，连接EF，分别于圆O2和圆O3交于X、Y，连接GX、XJ、KY、HY
∵DI为公切线
∴DI²=DG·DE=DH·DF（切割线定理）
∴E、F、H、G四点共圆
∵圆O2与圆O1内切于E
∴根据弦切角相等，得∠EGX=∠EDF
∴GX‖DF
∴∠XGJ=∠GFH ①
又∵∠GEX+∠GJX=∠GEF+∠GHF=180°
∴∠GJX=∠GHF ②
∴由①②得∠FGH=∠GXJ
∴HG为圆O2的切线，切点为G
同理可证GH为圆O3的切线，切点为H
∴GH为圆O2和圆O3的侧公切线，与MN重合
即M与G重合，N与H重合
连接CO1并延长与圆O1交于P，连接PE
∵∠P=∠EFD
∠EFD=∠DMN
且∠P+∠PDE=90°
∴∠DMN+∠PDE=90°
∴DO1⊥AB
∴D为弧AB中点
∴CD平分∠ACB
请@潘氏定理 老师帮我看看我的证明有没有问题，如果老师有更好的方法，请赐教
@448576177 多亏了你那天给我那道你的自编题，才让我产生了解此题的灵感
还有请@潘氏定理 和@bttf 兄帮我证明一下I是那个△ABC的内心
多谢了


实力

多谢 我还没整出内心呢
这是怎么回事，你给我发的回复，百度贴吧居然没通知我

哈哈，没点老田名，就不说话了。简单说一下，反演易证。

哦
我就是不喜欢间接证明，有没有初中纯几何证明方法呢，要直接证明，不要那些生僻的方法
老师您一定有办法吧

哈哈，方法有的。有人说我解几何题就只用三角法，所以现在尽量不用。这题不难。下周一上完课写一下。

第33届IMO预选题？………………………………

下星期看看，这两天课程太多

额
今天上午发现我前面的证明有点繁杂
下面发一个我的简化后的：

这是上面那个题的变式
三圆两两外切，切点为E，F，I，圆O2与圆O3的侧公切线MN与圆O1交于A、B，DI为圆O2和圆O3的公切线，与圆O1交于C、D，求证CD平分∠ACB
其实延长CA与CB与圆O2和圆O3的交点和A构成的三角形的内心也是I，只不过现在我只是证明出了CI是角平分线
这题的证明参考上面那个，辅助线我已画出

沢山定理显然啊
内心就是MI NI的交点 也就是I

我表示头一次听说这个定理，怎么证明呢？

还有。下面那个变式，沢山定理怎么用

其实我只需要史先生告诉我这是哪一届的IMO，而史先生的解答我确实看不懂，您能解释一下复对合CIA是什么吗

曼海姆是他的特殊情况

这张图片来自黑松露粥铺吧？光有辅助线没有纯几何证明，等等潘老师来解答吧

不是 你先找平行
再找鸡爪定理逆定理证明
其中用到线段比的正弦定理转化等等
我去三国杀 明天给你打过程吧

鸡爪定理..........忒有意思了，我土包子，没见识过这么多新鲜玩意儿，还望高手指教啊

多谢啦