问一个奇丑的数列通项…… - 数列吧

level 12

爨爨爨好楼主

竞赛题中看到的，原题是证单调性和一个不等式，请问它的通项能求么？
X[n+1]=X[n]^3/(3X[n]^2-6X[n]+4)

2011年10月15日 01点10分 1

level 14

rugals

如果设An=1/Xn
那么A(n+1)=4An^3-6An^2
+3
An
3次一阶递推
没什么可通用的解法但是可以拿三角函数3倍角公式凑凑
凑不出来估计就没别的招了

2011年10月15日 02点10分 2

level 12

爨爨爨好楼主

谢了，试一下……

2011年10月15日 02点10分 3

level 14

rugals

试了一下差一点就能凑出来真可惜……

2011年10月15日 02点10分 4

level 11

plu_icesheep

可以做啊， wolfram 给出答案了：X[n]=1-itan(C*3^n),C 为任意常数

2011年12月06日 18点12分 5

level 14

rugals

wolfram还有求解数列的功能？头一次听说……
既然它能解就说明这数列能求。

2011年12月07日 02点12分 6

level 14

rugals

囧了……当初做的时候直接考虑的三倍角公式换元，没换出来不说。
居然用线性代换就能解决，它能化成完全立方的形式。把它给想复杂了。
教训啊……本来不很难的题，想复杂了反而解不出来。
这应该说也是一个极为特殊的例子，不过以前没有见过，就没敢尝试化为完全乘方。
(看来能不能解先得拿mathematica试一下？)

2011年12月07日 02点12分 7

level 14

rugals

注意到初值A1-1/2可能小于等于0，不能取自然对数的问题，
这个可以通过将ln推广为复变域的Ln来解决。
或者干脆用不着取对数，直接迭代得结果。

2011年12月07日 02点12分 8

level 15

米尔寇

原来能求通项，老道今晚正好拿其练练手……

2011年12月07日 07点12分 9

level 12

爨爨爨好楼主

巨神啊！我都已经放弃想这题了。这种方法太好了，铭记一下……

2011年12月11日 06点12分 10