若gcd(p,q)=1，方程p^3+q^5=x^2的正整数解，存在？

仅仅（2，1，3），这一组解吗？

这个方程存在无穷多组本原解

当p，q皆是素数时，有解p=259805303706675383,q=5438954377时，x=
13244359110
2433709291677612。

这个方程本身有无穷多组本原解
.
甚至该方程直接加强为p,q都是素数，也是有解的
注意到：
当p=259805303706675383,q=5438954377时，x=
13244359110
2433709291677612
.
但是加强为p,q都是素数的话，不太清楚是否有无穷多组解

其实比较常见的问题是，(a，b)=1时，
a^5+b^2=c^3是否有无穷解。
如果楼主题是无穷解，那么这也应是无穷解。

在Darmon与Granville的文章中介绍过一个恒等式
(a^6 + 522*a^5*b - 10005*a^4*b^2 - 10005*a^2*b^4 - 522*a*b^5 + b^6)^2
= (a^4 - 228*a^3*b + 494*a^2*b^2 + 228*a*b^3 + b^4)^3 + 1728*ab*(a^2 + 11ab - b^2)^5
其中如果整数a,b 满足gcd(a, b) = 1, a≠2b(mod 5), 并且存在整数t使得ab = 144t^5, 就能给出 X^2 = Y^3 + Z^5 的一组本原整数解
比如取 a = 1, b = 144, 可以得到一组本原解
X = -27706937933663
Y = 1120996801 (这是一个素数)
Z = -229812
关于方程 Ax^2 + BY^3 + CZ^5 = 0 的全部通解应该怎样确定, 可以参考Beukers (1998) 和 Edwards (2004) 的文章
其中Beukers (1998) 证明了以下定理:
设A, B, C为非零整数, 正整数p,q,r满足1/p + 1/q + 1/r > 1 并且 min{p,q,r}>1. 若关于x, y, z的不定方程
Ax^p + By^q = Cz^r
存在一组满足gcd(x, y, z) = 1 的整数解, 则这个方程存在无穷多满足gcd(x, y, z) = 1 的整数解
可参考:
H. Darmon, A. Granville. (1995). On the equations z^m = F(x, y) and Ax^p + By^q = Cz^r. Bulletin of the London Mathematical Society, 27, 513-543.
F. Beukers. (1998). The Diophantine equation Ax^p + By^q = Cz^r. Duke Math. J. 91(1), 61-88.
J. Edwards. (2004). A complete solution to X^2 + Y^3 + Z^5 = 0. J. reine angew. Math. 571, 213-236.