一、知识要点： 　　1.一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的判别式Δ=b2-4ac。 　　Δ>0时，方程有两个不相等的实数根。 　　Δ=0时，方程有两个相等的实数根。 　　Δ<0时，方程没有实数根。 　　以上定理也可以逆向应用。在应用判别式之前，要把方程化为一般形式，以便正确找出a、b、c的值。 　　注意：（1）根的判别式是指Δ=b2-4ac，不是Δ= 见图 ，（2）使用判别式之前一定要先把方程变为一元二次方程的一般形式。 　　2.根的判别式有以下应用： 　　①不解一元二次方程，判断根的情况。 　　②根据方程根的情况，确定待定系数的取值范围。 　　③证明字母系数方程有实数根或无实数根。 　　注意：①如果说方程有实数根，即应当包括有两个不等实根或有两相等实根两种情况，此时b2-4ac≥0，切勿丢掉等号。 　　②根的判别式b2-4ac的使用条件，是在一元二次方程中，而非别的方程中，因此，要注意隐含条件a≠0. 

一元二次方程的根的判别式 　　中考考点: 　　1．理解一元二次方程的根的判别式的概念. 　　2．能用判别式判定根的情况。 　　考点讲解: 　　1．一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的判别式：△=b2-4ac， 　　当△>0时方程有两个不相等的实数根； 　　当△=0时方程有两个相等的实数根； 　　当△<0时方程没有实数根。 　　2．根的判别式应用极为广泛，主要有以下几方面： 　　（1）不解方程，判断根的情况，步骤是：①化方程为一般形式，确定a,b,c的值；②计算b2-4ac，并确定它的符号；③用定理判断根的情况。 　　（2）给出根的情况，求方程中字母系数的取值范围。解题步骤是：①化方程为一般形式，确定a,b,c的值；②求判别式，它是含有未知数的代数式；③根据题目所要满足的条件列出方程或不等式；④解方程或不等式，确定字母取值范围。当方程有两个实数根时，应结合二次项系数不等于零加以考虑，这一点往往容易忽视，应特别小心。 　　（3）利用根的判别式证明方程根的情况。此类题比较综合，运用配方法和因式分解技巧，结合非负数的有关性质进行推导才能奏效。

．（贵阳市）已知关于x的一元二次方程mx2-2(3m-1)x+9m-1=0有两个实数根，则实数m的取值范围是　　　　　　　 . ．（长沙市）关于x的一元二次方程x2-4x+a=0有两个相等的实数根，则a=　． （安徽省）关于x的一元二次方程3x2-2x+k-1=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是：（　　 　A、k<4/3　　　B、k<4/3且k≠1　 C、k≤4/3 D、k>4/3 .（河北省）在一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)中,若a与c异号,则方程[　 ] 　　(A)有两个不相等的实数根　　　　　(B)有两个相等的实数根 　　(C)没有实数根　　　　　　　　　　(D)根的情况无法确定 　真题实战 　　1．（青岛市）已知x2-2mx+1是完全平方式，则m的值为（　　 ） 　　A、1　　　 B、－1　 C、±1　　 D、0 　　答案：C 2．（常州市）一元二次方程x2+x+1=0的根的情况为（　　 ） 　　A、有两个相等的实数根。　　 B、没有实数根。 　　C、有两个不相等的实数根　　D、有两个不相等的实数根，且两根积为1 答案：B已知：关于x的一元二次方程x2+2x-k+1=0有两个实数根，试求实数k的取值范围。 　　[解]：　　∵方程有两个实数根，　　∴Δ≥0 　　又∵Δ=22-4×(-k+1) 　　　　　=4+4k-4=4k 　　∴4k≥0，即k≥0。 　　∴实数k的取值范围是k≥0。