j=(18x+7)、k=(36x^2
+3
0x+7)、l=(324x^3+396x^2+168x+25),当j、k、l都是素数时，它们乘积便是Carmichael数，算是构造出(ax+b)(cx^2+dx+e)(fx^3+gx^2+hx+i)形式的Carmichael数了

我记得有一个关于3-Carmichael数的Beeger定理:
如果三个素数p,q,r的乘积是一个Carmichael数, 并且p<q<r, 则q<2p^2, r<p^3, 特别地, 这说明能被给定素数整除的3-Carmichael数只存在有限多个
这个结论应该可以说明, 如果能用于构造Carmichael数的3个不可约多项式j(x), k(x), l(x)其中一个次数为1, 那剩下两个的次数分别不超过2和3
不知道可不可以证明, 如果j(x), k(x), l(x)其中一个给定, 另外两个多项式只存在有限多种可能取值

这个被证明了吗

Beeger(1950)证明了对每个给定的奇素数p, 只存在有限多个Carmichael数恰含有3个素因子且被p整除
Duparc(1951/52) 推广了Beeger的结论, 证明对任给的若干奇素数的乘积m, 只存在有限多对素数q,r使得mqr是一个Carmichael数, 相当于说在恰含n个素因子的Carmichael数中(n>=3), 如果n-2个素因子被确定, 剩下的2个素因子只有有限多种可能
这两个结论的证明可以在Pinch(1993)的文章里看到, 方法是初等的。McIntosh(2014)对满足p+1 | n-1的Carmichael数n 推广得到了类似的更强结论
N.G.W.H.Beeger, On composite numbers n for which a^(n-1) = 1 mod n for every a prime to n , Scripta Math. 16(1950), 133-135.
H.Duparc, On Carmichael numbers, Simon Stevin 29 (1951-1952), 21-24.
https://ir.cwi.nl/pub/6931
R.G.E.Pinch, The Carmichael numbers up to 10^15, Math. Comp.,61, 203 (1993), 381-391.
https://www.ams.org/journals/mcom/1993-61-203/S0025-5718-1993-1202611-7/
R.J.McIntosh, Carmichael numbers with (p + 1) | (n - 1), Integers,14 (2014) #A59.
https://math.colgate.edu/~integers/o59/o59.pdf