记△ABC内一点P，使得∠APB=∠BPC=∠CPA=120°，AP=195，BP=264，CP=325时，三角形三边长度分别为AB=399，BC=511，CA=455，像这种三角形三边长均为整数，并且像这样的点P到三个顶点距离均为整数的△ABC称为“完美三角形”，
像这样的AP，BP，CP长度组合还有AP=384, BP=805, CP=1520，对应三边长分别为AB=1051, BC=2045, CA=1744，像这样的组合还有很多，16384以内互质的（不是两两互质）总共有这些（Python程序代码以及运行结果如下）
那么，像这样的AP, BP, CP（gcd(AP, BP, CP)=1）长度组合是否存在通项公式

内切圆半径或外接圆的半径，是否为整数呢？

相当于要求a,b,c，使a^2+ab+b^2,b^2+bc+c^2,a^2+ac+c^2都是完全平方数。
x^2+xy+y^2=z^2的通解是x=d(m^2−n^2),y=d(2mn+n^2,z=d(m^2+mn+n^2).
我们可以根据这个通解构造原问题方程组一个备选的参数解：
a = (m^2 -n^2) (2 p q + q^2);
b = (2 m n + n^2) (2 p q + q^2);
c = (2 m n + n^2) (p^2-q^2);
这样a^2+ab+b^2,b^2+bc+c^2已经都是完全平方数了，只要a^2+ac+c^2是完全平方数，这个待定解就变成一个确定的解。
这等价于下面的式子是一个完全平方数：
(2 m n + n^2)^2 (p^2 - q^2)^2 + (m^2 - n^2) (2 m n + n^2) (p^2 - q^2) (2 p q + q^2) + (m^2 - n^2)^2 (2 p q + q^2)^2
我们只要遍历一定范围内的m,n,p,q,使得上面的式子是一个完全平方数即可。这个式子是完全平方数的情况还是挺多的,最后约掉a,b,c的最大公约数即得到一个解。