最近风吧关于FL折算率的关注度和讨论度比较高，故开此贴。
极具争议的高折算率TC多里安VIIRS极轨云图镇楼

感觉帖子比较皮鸭，所以不打算发主吧

前言：
众所周知，FL风速转化为10米海平面风速是分析飞机实测/雷达测风的重要手段。所以最近贴吧内关于折算率的讨论比较多，并流传着“针眼高折算率”、“松菊低折算率”、“高海温高折算率”等观点。并且也对某些TC给出了关于折算率方面的结论（比如著名的Dorian）。通过一些数据拟合也证实了某些说法的适用性。然而拟合法固然存在局限性，对于一个数据丰富的TC而言，我们想要通过某种的方式进一步对垂直结构进行分析。

第一部分：
——给定热力条件下边界层以上的M面半径与斜率，以及物理量在半径-高度场上的分布
我们先从"Kerry A. Emanuel的"An Air-Sea Interaction Theory for Tropical Cyclones. Part I: Steady-State Maintenance 1986"，以下简称E86或热机理论这篇论文入手。
1. 论文基本假设
论文基于以下几个假设进行推导:
热带气旋处于轴对称稳态；
边界层以上为无粘性、热力学可逆；
满足静力平衡与梯度风平衡；
边界层空气沿等角动量面抬升时呈中性广义浮力状态(重力+浮力+离心=0)，即对倾斜湿对流呈中性状态。
需要注意，这里的浮力并不是指绝对的“浮力”，而是眼墙的浮力与离心力之和为0。
论文根据上述条件，证明了不存在环境探空曲线中的对流有效位能(CAPE)，热带气旋也能达到相当高的强度，CAPE对TC降压的影响一般不会超过15mb。

2. 推导的大致思路——M面的斜率
由于这一部分是本理论的基石，我们会尽量给出详细的推导。
斜压湿中性+热力学可逆(压缩膨胀)意味着等效位温(将气块水汽凝结释放潜热后压缩至1000mb时的温度)与气块上升的角动量面重合。这意味着核心区不存在非绝热过程(如风切导致的通量交换，水汽交换破坏饱和)，其适用于较强系统。
我们知道，TC绝对角动量定义为
其中r为距中心的半径，V为切向风速，f为科氏参数。
Eq.2给出了静力平衡方程，Eq.3给出了梯度风平衡方程，并用绝对角动量的形式表示V，带入等式右边得到完整的Eq.3：
其中g为重力加速度，z是高度，p是气压，α是比容(即1/ρ)
用静力平衡(Eq.2)的形式表示dp, 带入Eq.3即得Eq.4，这也是位势高度下梯度风平衡的常见形式：
显然Eq.2可以等价的写为Eq.5:
将Eq.4和Eq.5的等式两边求偏导(把r视作常量，显然可以忽略1/4f^2r这个常数项)，可以消掉z，得到Eq.6，这是径向的热成风平衡:

注意，热成风关系描述的是斜压大气中地转风(梯度风)在气压坐标下的垂直矢量差(通俗的讲就是风切)，而TC存在强烈的等压温度梯度，故热成风不为零。
假设热力学可逆，在饱和大气中，可以定义饱和湿熵s*, 它的定义是给定温度(和压力)下, 处于平衡状态的湿蒸汽(水汽含量等于饱和混合比)单位质量的熵值，其在湿可逆过程中保持不变。
附录I中的Eq.A1给出了热力学第一定律在饱和湿空气下的表达式：
其中q是饱和混合比，L是单位质量汽化潜热。u是内能。
定义焓
对Eq.A2进行微分运算并消项，可得Eq. A3:
那么结合状态方程在虚温形式下的表达式：
α可以表示为仅关于饱和湿熵s与气压p的函数α=f(s, p)，
由偏导链式法则，由于下标p固定，忽略链式法则中的 (∂f/∂p)*(∂p/∂r) 可以得到Eq.7：

现在在A3中忽略偏导常量，可得Eq.A4和Eq.A5:
现在，由于q*仅是温度和气压的函数，h是一个状态变量，可表示为任意两个状态变量的函数，如p和s*，可以有：
将Eq.A4&A5代入上式，可得Eq.A6:
将Eq.A6带入Eq.7，则可以有Eq.8:

此时，我们回顾，假设边界层气块在M面上呈中性浮力，等价于假设抬升气块的（湿）熵等于环境的饱和熵。这意味着，在忽略凝结物负荷和熔化潜热效应的情况下，饱和湿熵沿M面保持不变。既然s*=f(M)，M=g(r, p) 可由(3)得出，那么(8)式可写为(链式法则)：
通过Eq.9除以∂M/∂r, 可以导出Eq.10：
它就是M面斜率的表达式。
接着Emanuel对Eq.10进行了积分处理，求定积分后得到Eq.11:
Eq.11是一个重要结论，是推算的基础。在SN09的推导中它可以直接帮助证明M面半径与斜率的线性关系，并可以用其分析风速垂直衰减系数。

根据Eq.11也可以简单推出

其实完全可以发风吧了

接着，2009年的"Reexamining the Vertical Structure of Tangential Winds in Tropical Cyclones: Observations and Theory", SN09这篇论文给出了两个结论的证明，它们分别是：
CW2：M面斜率与RMW大小呈线性关系
CW3：M面可近似视为RMW面
首先，我们回顾，Emanuel(E86)的Eq.10为
E86的Eq.11是用于确定高度M面半径的方程。它通过对公式10向上积分而得：
提取Eq.11的ds*/dM，代入Eq.10得(4.3) 这一步可以用初等代数去推导，感兴趣的可以手算一下：
也可以通过附录用Log-P将其转化为高度坐标，具体过程参见附录I：
以下是M面斜率的示意图：

论文同样给出了CW3的证明，
定义3个绝对角动量面M如（图9所示），中间一个M面起于任意下边界Z0处的RMW，M1和M-1分别位于内侧和外侧。沿着M0面上任意一点的切向风速为V0=M0/R0-(1/2)fR0，V1以及V-1同理。我们知道任意一个高度上M1>M0且R1>R0，因此要使得沿M0和M1上任意高度上有V0>V1，必须满足以下两个不等式其一：
也可以改为R1/R0>m1/m0 (5.3)（其中m=rv是相对角动量）
由于M面上m的值的变化可以忽略不计，可以将(5.3)的右侧近似为常数M1/M0。若保证R1/R0处处大于M1/M0，R-1/R0处处大于M-1/M0，则能确保RMW面不会向内/外穿越M面。

回顾方程(4.4)，该方程显示了M面的斜率与半径之间存在近似线性关系。
根据反复提到的E86中的Eq.11，可以得到：
其中Eq.(5.6)也是E86中的Eq.49。
从上述过程可以看出，假设Tout保持不变，沿着M面的斜率关于高度的N阶导数也是半径的精确线性函数，在任何高度，斜率从其初始值（Z0处）的变化率在所有半径上都相同，即任意两个M面的斜率比值随高度恒定。那么任意两个M面的半径比值就是r1/r0 = slope1/slope0。因此，如果上述假设成立，那么这些半径比值将随高度精确恒定。如果这些比值随高度精确恒定，那么RMW就不可能跨越角动量面移动，因为R1 / R0将始终大于M1 / M0，并且R1 / R0将始终大于M-1 / M0。
尽管有时Tout并不严格守恒，然而通过数值计算，仍然印证了RMW与M面近似重合这一观点。

讲了这么多，我们总结一下目前的结论：
1. M面的斜率与RMW呈正比，与T-Tout呈反比；
2. M面可以近似视为RMW面。
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接下来我们展开下一内容的探讨。
3. 二维结构结论与其它结论
首先，E86论文推导出了潜在中心气压的预测方法：
注意：以下凡是带下标a，表示环境值，凡事带下标s，表示海平面z=0的值。
θe的定义是气块内的水汽全部凝结释放潜热后绝热压缩至常压(通常是1000mb)得到的温度。
首先根据
和
重写了梯度风方程(3)
并将其和Eq.14代入13，得到π与θe的关系：
请注意，Tout是加权流出温度：
在TC中心，(18)意味着
尝试展开自然对数，并使用π的定义提取气压，得：
这表明，相当位温随半径减小而增大是很有必要的，注意带撇号的变量表示偏离基本状态的值。在θea=345K，p0=1015mb，TB=295K，Tout=200K，则上式可写为 p'cs≈3.30θ*ec'，这表明，若存在30K的θe内外差，则降压就会逼近100mb。
我们也可以用相对湿度来表示。
假设 θe从混合层顶部到近地面层顶部在垂直方向是均匀的(湿绝热)，并使用 θe的定义：
其中下标 s 表示近地面层顶部的值，L 是汽化潜热，q 是混合比。假设 T_s 为常数，并用相对湿度来表示，则：

利用定温饱和比湿q*的公式，有：
由于 ln πs 很小(其绝对值应小于0.001)，所以得到了最后一个关系。将（24）代入（23）得到近地面层顶部 θe、气压和相对湿度之间的关系：
最后，我们注意到，由于边界层的绝对温度几乎不随半径变化，可以使用静力方程证明
使用上述和（25）式以及（21）式，得到中心海平面气压与核心区和环境之间表面相对湿度增加之间的关系：
这个中心气压表达式表明，维持热带气旋需要传输超过等温膨胀相关的热量。这种额外的等温传输反映在相对湿度的向内增加，以及暖心上。与等温感热和潜热通量相关的项出现在（26）式的分母中。从这个模型得出的一个显著推论是，对于流入和流出绝对温度之间的温差足够大和/或边界层空气绝对水汽含量足够大的情况，（26）式的右侧会变得非常大且为负，因此海平面气压会变得非常小。
虽然公式很复杂，而其函数图像却很简明扼要。它画出的函数图像长这样：