已知函数f(x)在区间[a，b]上单调，并且f(a)>=a;f(b)<=b，
求证：在区间[a，b]上，必存在常数c，使得f(c)=c。

考虑 f（x）-x 。零点。

题目没说f(x)是连续函数呀。怎么做？

用闭区间套定理，保证f(an)≥an,f(bn)≤bn。

5楼正解

那f(x)单调这个条件没用呀，用闭区间套定理。这题够唬人的。给了个没用的条件

不好意思7楼说错了。要用单调这个条件。先用区间套定理套出该点后。再利用单调性证明该点满足f(x)=x

还有。楼主的题应该是单调递增才对
如果单调递减，令f(x)=-x(-1<=x<0) f(x)=-1(x=0)
则f(x)在[-1,0]上不存在满足f(x)=x的点

回复：9楼
只要函数连续 是无所谓单调的 结论依然成立 三楼方法即可
而你举例的f(x)不连续啊 不连续的话 这题就是个错误命题

回复10楼。题目没说函数连续，只说单调

回复：11楼
我知道啊

单调递减的话，9楼列出了反例不对。
如果说单调递增的话，该题目是可以证明出来的。先用闭区间套出该点。
首先考虑点集A={x丨x=a+m(b-a)/(2^n),n是大于等于0的任意整数，m是小于等于2^n的任意非负整数}
若点集A中有满足f(x)=x的点，则命题得证
以下讨论A中任意点都不满足f(x)=x的情况
令a1=a,b1=b
考虑[a,b]的中点c=(a+b)/2，c点属于A,所以f(c)>c或f(c)<c,
若f(c)>c,令a2=c,b2=b1
若f(c)<c,令a2=a1,b2=c
然后再考虑[a2,b2]的中点d，该点还是属于点集A，所以f(d)>d或f(d)<d
然后一下步骤和上面类似
这样构造出一系列闭区间[an,bn]
满足f(an)>an,f(bn)<bn
lim(n---无穷)bn-an=0
所以根据闭区间套定理套出该点
再根据函数的单调增加性以及f(an)>an,f(bn)<bn来证明该点满足f(x)=x