插入语：不好意思，只能写一千字，所以在这里再继续:) 这个问题我在博士论坛问了，也许是那边人少的原因，好几天没有人答复。所以我在这儿试一试。从我仅有的一次尝试，我得出了一个很片面的结论，即不会有太多人思考这样的问题，而愿意把思考的结果打出来的人就更少。因此我我倾向认为不会有人抢了你的分:) 我是周日下午发的提问，当时我就看到有一篇答复，可能是系统正在审查你的内容，我没有及时看到。后来我就在火车上了:)所以昨晚才看到了你的答复。抱歉没能及时答复你。恳请谅解。我想了一晚上。以下是我就你的答复的再提问： 你的第一个出发角度：参数式 我可以接受自然角度制，当然我也可以接受不使用单位圆，直接用角的边上一点坐标定义任意角三角函数（可能很麻烦，但是是可行的）。然而在圆的参数式中 x = r * Cos t, y = r * Sin t, 证明正弦与余弦的连续性/可微性，我认为必然用到limsinx/x=1 而这个极限的证明通常都是借助圆周长(或面积，此二者的存在性证明等价，by阿基米德)，起码我不知道其他的证明。所以我对这个答复有本质上的不赞同。 你的第二个出发角度：平面直角坐标式 我直觉感到在用y'的无理表达式(因为不能引入三角代换，否则又出现上面的隐患)求证积分的存在性会有隐性的困难。我目前还不能指出有什么问题，明天等我回复。 你的第三个角度：“回到定义去” 首先再澄清一点：在提问的开头我一共引用了四个定义，你指出“这几个定义都不约而同地选择了正多边形来讨论，这样虽然利用圆的对称性可能有利于简化讨论，但给人以不严密的感觉”，事实上我的后两个定义不是“正”多边形。可能你没仔细看，不过没关系，还是很感激你来回答。 以下是引用： 我们假设圆上已经有了n个分点P0, P1, P2, …, Pn. (其中P0和Pn是重合的) 我们只要再在圆上加上任意一个异于前面n个分点的分点P', 不妨设P(n+1)在P0和P1之间, 显然线段P0-P1短于折线P0-P'-P1(因为三角形一边长不超过两连长之和), 所以加上一个分点后总多边形边长增加. 而圆的任意内接多边形长又显然是小于圆周长的(两点之间直线段比曲线段短). 所以这个多边形长是单调上升有上界的, 极限存在. 问题，我认为在于上界。你不能先引用圆周长的存在性，令它作为上界，因为你还没有证明这个“周长”是收敛到一个实数的，而实数才能作为“界”——万一这个周长有两个以上的不同收敛子列？？对吧。所以我觉得，上界可能得取为外切四边形的周长。这时的问题就是怎么证明内接多边形的周长，小于外切四边形的周长。虽然都是直线形，但是我仔细想了一下，不见得简单呐！！ 其他的，单调递增，和加密使长度递增我都同意。 我想和你以后一块儿讨论数学上的问题。

我现在倾向于用多边形的那个证法。我虽然认为用积分的办法是可以说明的，但可能会有不容易说清楚的地方。抱歉，“P'点在直线P点的上方”，应该说是“P'点在直线OP的上方”——这话是没有错的。它不是借助于几何直观的，你只要把它严格地定义出来就可以了：过P'的平行于y轴的直线交直线OP于Q点，Q点的纵坐标小于P'点的纵坐标。但我不认为我现在的这个证明是不严密的。“而且外切多边形的周长是单调减的(类似于内接单调增）”。这话是不错的，哪里有问题，请明示。我的意思本来就是给定（注意就是给定）了一组分点后，再加分点，周长单调减。我在第一步证明的本来就是只证对任一组特殊的分点，极限存在。这个极限本来就可能是依赖于分点的选取的。至于为什么它事实上不依赖于分点的选取，是在第二步证明了的。如果有疑问，请再看看曲线长的定义。至于“切线”是内切还是外接的问题，可能简单地解析几何的方法，用圆和直线方程来说明，这是很基础的结论：“若圆心到直线的距离等于圆的半径，则圆与直线只有一个交点，且交点唯一（即相切）。”我认为不成为问题。对于积分那个办法，我们证明的是圆的一部分，即一段圆弧是可求长的。适当地选取这一段圆弧，如从-r/2到r/2，我们可以得到1/6圆周的长——说明这个1/6只要从等边三角形这些概念就可以得到。而圆周总长一方面依赖于圆的对称性（定义本来如此），一方面依赖于图形长度的可加性——这一点是测度论的内容，我们定义这种测度时就要求了这一可加性。所以这个方法也是可以严格说明的。最后说点题外话，你自己这样深入思考是好的，但希望你不要把自己限制于自己的一些理论框架内。毕竟一个人独立建立起这些数学理论基石实在太难。这一方面相关的论题属于测度论的内容，更确切地说，是实变函数中勒贝格测度及其推广的内容。建议你能找来看一看（即使是在书店）。推荐的书目：Royden，Real Analysis，机械工业出版社周民强，实变函数论，北京大学出版社徐森林，实变函数论，中国科学技术大学出版社

而且外切多边形的周长是单调减的(类似于内接单调增）”。这话是不错的，哪里有问题，请明示这里我还是隐约觉得有问题。不过天已经不黑了。首先单调递增（递减），是要依据数列或函数的项号或自变量来判断的，这里我们考虑数列——n增（减）时项增大。你的多边形的周长是依据分点数来变化的对吧？你没有给出一个明确的收敛数列。注意，你的证明里至少要保证有一个收敛的数列，然而你没有给出这第一个。要准确的给出一个数列才行啊！比如我问这个多边形的第九项周长值是多少或是哪段线段？第十个分点增加在哪儿？你能告诉我么？其次，由于你没有准确给出你的数列的构造方法，你无法保证多边形的最大边无穷小，或者说分点无限加密。第三，切线可不是很简单就能说清楚的！你如果引用解析几何的方法，用圆和直线方程来说明，我就尝试给予你一个推导：圆方程x^2+y^2=1,直线方程y=kx+b,代入，求得唯一解的条件下表明直线是切线，以上都是对的。然后你怎么判断垂直？？用过切点的半径与直线的斜率乘积为-1？？？请注意，两直线斜率乘积为-1得到垂直这个定理的证明源于cospi=-1!!你犯了循环论证的错误。以下是引文。抱歉，“P'点在直线P点的上方”，应该说是“P'点在直线OP的上方”——这话是没有错的。它不是借助于几何直观的，你只要把它严格地定义出来就可以了： 过P'的平行于y轴的直线交直线OP于Q点，Q点的纵坐标小于P'点的纵坐标。 在这里也许你抱怨我过于苛责。其实我想说的是，对于和小角始边叠合的大角，终边一定在小角终边上。然而与垂直线相交的那个点，是不是也在小角终边与垂直线相交的那个点上？如果从几何观点出发，这是由公理保证的，我只是建议你可以参考那样去证明，不过我不是要求你一定要那样证明；如果从解析几何观点出发，你就有问题了，因为你对于直线的倾斜角的讨论，还是要用到三角函数，因为已知条件是有关几何图形——角的比较，你要转换成解析几何上的比较，就可能会循环论证。对于积分那个办法，我们证明的是圆的一部分，即一段圆弧是可求长的。适当地选取这一段圆弧，如从-r/2到r/2，我们可以得到1/6圆周的长——说明这个1/6只要从等边三角形这些概念就可以得到。而圆周总长一方面依赖于圆的对称性（定义本来如此），一方面依赖于图形长度的可加性——这一点是测度论的内容，我们定义这种测度时就要求了这一可加性。 所以这个方法也是可以严格说明的。 你还是没能证明从r/2到r这段是可求长的。请注意，在此处你引用了对称性。诚然，无论你的对称性是轴对称还是中心对称（关于圆心），我们都能够得到上半段的从-r/2到r/2和下半段的从-r/2到r/2都可求长。而且，任意的c<1，上下半段的从-cr到cr都可求长。我承认这一点。但是无论由轴对称还是中心对称，你无法得到剩下的左右半段可求长。这才是问题的关键！！至于你想用图形的旋转对称性，使得不需要证明可求长，那又会犯了循环论证的错误！！旋转变换的公式有三角函数。你似乎喜欢从解析几何上看问题？纯几何似乎你不太爱讨论。不要对我提出的限制太过于反感，我的经验告诉我，如果不从基础的知识着手，很容易循环论证。不是说不可以用解析几何的知识，而是，我们学习数学的顺序是欧氏几何到解析几何，这样很多解析几何的定理建立在欧氏几何基础上，当你引用的时候，一定要确认有没有循环论证。最后我想说的是，你可能觉得我没有必要对一个肯定的，无疑的结论过于较真。但，这是一个基础问题，无论你得到多少高深的东西，如果这个问题没有真实确认，作为一个研究者，恐怕会寝食难安，因为你不知道地基打好没有。你推荐的书我恐怕没有途径很快看到，没有那么丰富的资源供我使用了已经。但是你无须怀疑我没有资格问这个问题。我毕竟不是那种说自己证明了某著名数论难题的咆哮者。

说明这个1/6只要从等边三角形这些概念就可以得到。我还是无法同意这个观点。你尚且无法证明剩下的圆弧是可求长的，怎么能够得到一个“已求弧长/圆周长=1/6”？？如果你愿意多写，我想看看。最后说点题外话，你自己这样深入思考是好的，但希望你不要把自己限制于自己的一些理论框架内。毕竟一个人独立建立起这些数学理论基石实在太难。这一方面相关的论题属于测度论的内容，更确切地说，是实变函数中勒贝格测度及其推广的内容。建议你能找来看一看（即使是在书店）。 推荐的书目： Royden，Real Analysis，机械工业出版社 周民强，实变函数论，北京大学出版社 徐森林，实变函数论，中国科学技术大学出版社 忘了感谢你的诚挚建议。我之所以这样去思考这个问题，不是因为我想独自一人建立什么，而是，我真的找不到一本书能给出一个完整的证明或提供框架！书店现在卖的情感文艺书太多，即使是教科书，多为应景之作，还不如几十年前的经典。（我去书店能看到上述的书么？？Courant和周民强的书我知道重版了，Royden的会有吗？Rudin的会有么？）对于一般曲线我倒没有太大的兴趣，能够有弧微分公式我就满足了，问题是太多知识建立在圆周长的存在性上了！我不能眼睁睁看着它没有证明的存在。并且，我觉得它应该是在很早的知识阶段（比如高中？）就可以证明的，否则后面很多精彩的结论得不出来了！还是很感激你和我探讨。

我还是觉得你曲解的我的证明。我的证明的要害是无论如何取L(n)的分点序列，它都是收敛的。所以才可以说，L''(k)分点的序列可以看成是其中一种分点序列的加细。 并不象你想的那样，是某一个特殊的L(n)收敛。的确，无论如何取L(n)的分点序列，它都是收敛的。但是你证明它们收敛到同一个值的时候，通过含混不清的叙述，偷偷的引用了“它们收敛到同一个值”这个前提，来证明“它们收敛到同一个值”！我再强调一下：L''(k)分点的序列　不　可以看成是其中一种分点序列的加细。这样吧，你把你的证明以及我的评论，拿给你的某个同学仔细看看？或者给你的老师仔细看看？看看他们怎么说？你真的证明错了。

我们这样来证检查你的证明中的错误：L''(k)分点的序列可以看成是其中一种分点序列的加细，但为什么一定是L(m)序列的加细？如果不是，那么它已经和L(m)不收敛到同一个极限了。你就不能说它们的差值无穷小了。假如是，你怎么证明？事实上，我可以证明，无论你怎么选取L(m)的分点序列，一定存在着这样的L’(n)，使得它与L(m)的并，不再是L(m)或是L'(n)中的一项。

给你回复了一封信。虽然和你这段时间的讨论没有取得太多的实质性突破，不过，至少，我们都充分了解到了这个问题的难度。我打算结束问题，把分数给你。你觉得是现在结束呢，还是用增加悬赏的方式继续多挂几天？我觉得多挂几天也不会有太多进展。听听你的意见。希望我们都能继续思考这个问题的答案。也许答案很高深（我开始猜测会不会是等周问题的存在性证明部分那样的难度？），但不思考的人生太没意思。躬谢百忙抽暇一顾。

milksea,很欣赏你对数学的深厚感情，请问有没有适合中文系看的数学书籍？

小朋友，这里是我的贴吧，你要找的人不在这儿，请给他发短信息。

既然你说周长还没有定义那总可以用一个比圆还大的外接正方形的周长来控制他的上界吧？既然单调递增又有上界必然可以达到上确界，我们就可以定义这个上确界为圆的周长！控制的界当你找不到确界时为什么不会试着从我们熟悉的找一个更大的界来呢？脑子阻塞了？