连续型随机变量的相关系数和协方差 - 数学吧

level 13

国安名侦探楼主

两个连续型随机变量至少一个方差为0，此时相关系数一定为0，怎么证明协方差一定为0？会不会出现协方差不为0的情况？

2025年10月08日 14点10分 1

level 13

国安名侦探楼主

顶

2025年10月08日 14点10分 2

level 13

国安名侦探楼主

再顶

2025年10月08日 14点10分 3

level 1

wuuw👀

按定义不就行了

2025年10月08日 14点10分 4

定义是如果方差乘积为0，相关系数的那个公式的分母为0没法用，所以相关系数直接规定为0，但是没说明此时的协方差是否为0

2025年10月08日 14点10分

wuuw👀

@国安名侦探首先协方差是先于相关系数定义的，EXY-EXEY，压根不涉及分母为0点问题。其次VarX=0已经说明X作为一个可测函数是P-ae为常数的，把这个常数直接代到前面这个表达式就得到0

2025年10月08日 14点10分

level 11

不妨设X方差为0，则X几乎必然为常数，设为c，且E(X)=c。所以由协方差定义cov(X，Y)=E((X-E(X)(Y-E(Y)))=E(0·(Y-E(Y)))=0

2025年10月08日 14点10分 5

几乎必然为常数也不一定是常数，比如存在有限个间断点不为常数的情况

2025年10月08日 14点10分

@国安名侦探协方差要取期望啊，几乎必然为常数已经够用了。X-E(X)几乎必然为0，所以E里面的那个随机变量几乎必然是0，所以期望是0

2025年10月08日 14点10分

@印尼日利亚道理是这样，但是这样说不严谨，有没有更严谨的数学描述？

2025年10月08日 14点10分

@国安名侦探？哪里不严谨

2025年10月08日 14点10分