如图，四边形AEBF和DGCH都是正方形，F、G在四边形ABCD的内部。设四边形ABCD的面积为S。
求证：EH^2-FG^2=4S

1953 关联正方形 定理2-1.8

简单向量绕个圈就行了。

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以BH为对角线作正方形
以DF为对角线作正方形
AQ和BF旋转45°角关系，旋转点D
KE和BF旋转45°角关系，旋转点H
AQ//KE
同样KA//EQ
KAE和QAE等面积
同样NCG和PCG等面积
KEH和PGH全等
KE=PG
同样KA=CP
导角∠AKE+∠CPG=180°
KAE和PCG等面积
以上这四个三角形面积相等，记为m
ACGE的面积记为s
ABCD边长为a
EFGH边长为b
S=多边形KABCPGHE面积-a²/2 -b²/2 -2m
=正方形KBPH面积-a²/2 -b²/2 -2m
=BH²/2-a²/2 -b²/2 -2m
同样
S=ACD面积+ EFG面积+ ADFE面积+ CDFG面积
=a²/2 + b²/2 + QAE +QDA +QFE -QDF + NCG -NDC -NFG -NDF
=a²/2 + b²/2 + 2m-DF²/2
两式相加
4s=BH²-DF²

是不是叶中豪老师出的那道