Golbez Golbez
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科学杂志文章! 数论密码 数论密码,顾名思义,就是基于数论的密码。密码是相对于明码而言的。这是一个矛盾的两个方面。所谓明码(plaintext),就是人们可以直接识别或使用的代码(也就是人们通常所说的信息,如文字、声像等);所谓密码(ciphertext),就是将明码经过了一定处理,变换成一种外人(与此无关的人员)无法直接识别或使用的信息。    比如在军事上,上级首脑机关向部下发布军令时,就往往需要将军令的原文(明码)变换成密码之后再发布(比如通过无线电台或计算机网络等向外发布)。这样,即使敌方能够截获到这些密码,也无法直接辨别出这些密码的原意。当然,对于自己的部下而言,由于他们事先已经拥有解开这些密码的钥匙,所以能够正确地将密码再变换回明码,从而可以执行军令。    密码学就是一门研究信息的加密(encryption)与解密(decryption)技术(统称为cryptography),以及密码破译(cryptanalysis)技术的学问。密码学有两个显著特点:一是历史悠久(事实上,密码学的历史几乎与人类文明史一样长),二是数学性强(几乎所有的密码体制都程度不同地使用了数学的方法,尤其是代数、几何与数论的方法)。本文着重介绍基于数论的密码方法。    数论:从纯粹走向应用    数论是数学中最古老、最纯粹的一个重要数学分支。素有“数学王子”之称的19世纪德国数学大师高斯就曾说过,数学是科学的皇后,数论是数学的皇后。数论的一个主要任务,就是研究整数(尤其是正整数)的性质(包括代数方程的整数解)。由于在研究这些整数的过程中,人们往往要用到别的数学分支的知识与技巧,这样就诞生出了解析数论、代数数论、组合数论、概率数论、几何数论甚至计算数论等分支学科。    由于整数的性质复杂深刻,难以琢磨,因此数论长期以来一直被认为是一门优美漂亮、纯之又纯的数学学科。美国芝加哥大学著名数学家迪克森(L.E.Dickson)就曾说过:感谢神使得数论没有被任何应用所玷污。20世纪世界级数学大师、剑桥大学的哈代也曾说过:数论是一门与现实、与战争无缘的纯数学学科。哈代本人也则因主要从事数论的研究而被尊称为“纯之又纯的纯粹数学家”。    当然,上述两位大数学家所说的并不完全符合今天的现实。事实上,在计算机科学与电子技术深入发展的今天,数论已经不仅仅是一门纯数学学科,同时也是一门应用性极强的数学学科,比如在今天,数论已经在诸如物理、化学、生物、声学、电子、通讯,尤其是在密码学中有着广泛而深入的应用。    大家知道,密码设计长期以来一直是困扰军方的一个问题。要保证军方的密码不被敌方破译,不是件容易的事情。比如在第二次世界大战期间,德军设计了一种性能优良的编制密码的机器,称之为爱尼格玛(Enigma)机器。德军指挥机关向其部队发布的军令都是通过爱尼格玛机器加密之后再往下发布的。当时英军就想到,要打败德军,就必须要破译德军的密码,掌握德军的军事动向(即所谓的知彼知己)。因此,英军迅速在伦敦北边不到一百公里处征集了一块空旷的土地(该地名为布莱克利公园,后也成了该秘密机构的名字),并在那里集结起一大批杰出的数学家、语言学家和象棋大师等,包括现代计算机科学的开山鼻祖图灵和后来在爱丁堡大学创办世界上第一个人工智能系的米基(D.Michie)。他们专门负责截获、破译爱尼格玛密码。由于这个组的努力,特别是图灵出色的工作,他们掌握了破译该密码的一整套方法,从而了解德军的军事动向,掌握了战争的主动权,为英美联军击败德军作出了突出的贡献。有人估算,如果没有图灵等人的贡献,第二次世界大战至少还要再打十年。
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