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集合论, ZF(C)公理在19世纪, 数学家希望给数学分析建立一个十分强大的基础. 这个时期的数学家问了一个非常经典的问题: 无穷的本质是什么? 它们只是 "有限" 的反面而不能加以细分吗? 它们可以有不同的 "大小" ("阶") 吗? 在1871-1883年间, 康托尔 (Georg Cantor) 利用基数 (cardinal number), 序数 (ordinal number) 和良序集 (well-ordered set) 的语言对这个问题作了回答. 观察, 如果两有限集合A, B中的元素可以一一对应, 也即A与B之间存在双射, 那么A的元素个数等于B的元素个数. 基于此, 康托尔定义等势 (equipotence) 的概念: 如果两集合之间存在双射, 那么成这两个集合等势. 在这个视角下, 无穷被分成很多阶, 这些阶都具有不同的 "大小". 例如, 最 "小" 的无穷集合是自然数集. 与它等势的有整数集, 有理数集, 和 (有些反直觉的) 代数数集. 比它 "大" 的集合有例如实数集, 复数集. 为了证明实数集与自然数集不等势, 康托尔利用了著名的对角线证法: 假设存在自然数与[0,1)内实数之间的一一对应, 例如i对应到x_i, 取x_i的二进制展开, 然后写下一个新的实数: 小数点后第i位与x_i的第i位不同. 这个实数没有被任何一个自然数对应上! 事实上, 可以看出: 康托尔实际上证明了一个集合的幂集总是比原来的集合 "大", 即, 不存在A到P(A)的双射, 但存在A到P(A)的单射. (注: A的幂集P(A)为A的所有子集构成的集合.) 现在出现了一点... 小问题. 如果是这样的话, 我们取M为包含所有集合的集合, 那么当然M包含于P(M). 但是P(M)比M要 "大", 矛盾! 为了解决这种矛盾, 数学家决定把集合的概念严格地公理化, 防止悖论的产生. 下面是这个帖的重要部分. (译名可能不标准, 请谅解.) 着手干这件事情, 而且十分成功的人是Ernst Zermelo. 他的公理系统现在被称为ZF公理系统 (ZF代表Zermelo-Fraenkel). 首先, 我们要定义一些必要的符号. 一个公式可以包含一些变量, 例如x, y, z, u, v, x_1, y_1, 等等; 和一些逻辑符号, 例如↔, →, ∨, ∧, ¬, ∀, ∃, (, ); 还有谓词等号=和属于∈; 还有描述算子ι, 表示 "满足...的东西". I. 若s, t为项 (term), 那么(s∈t)和(s=t)都是公式 (formula). II. 若A, B为公式, 而x为变量, 那么(A↔B) (等价于), (A→B) (推出), (A∨B) (或), (A∧B) (且), ¬A (非), ∀xA (任取), ∃xA(存在) 都是公式, 而x是项. 上面的两条规则描述了所有可能的公式; 例如, "x是y的子集" 可以描述为 "∀z(z∈x→z∈y)", 以下把这个公式记为x⊆y. "z的幂集是w" 可以描述为 "∀y(y∈w↔y⊆z)". III. 空集的存在性. ∃∅∀y(¬y∈x). 在集合论中, 可以把无条件的 "∃x" 理解为 "这样的x是一个集合", 因为不是所有东西都是集合 (罗素悖论警告). IV. 无序对 {x, y}. ∃u∀z((z∈u)↔((z=x)∨(z=y))). V. 并集∪z (理解为 "z中所有集合之并"). ∃y∀x(x∈y↔∃t(t∈z∧x∈t)). VI. 幂集P(z). ∃y∀x(x∈y↔x⊆z). 从III, IV, V, VI我们已经能构造出一些集合了, 例如∅, {∅}, {∅, {∅}}等. 值得注意的时, IV还保证了: 若x存在, 那么{x}也存在. 我们经常用描述法构造集合, 但是众所周知这样容易出问题 (罗素悖论). 所以我们有必要加以限制: VII. (separation axiom scheme) 描述法{x∈z: A(x)}. 对公式A(x), ∃y∀x(x∈y↔x∈z∧A(x)). 根据VII, 我们就不能写下{x: x不属于x}这种东西了, 因为它要求我们在使用描述法时都事先框定一个范围z. VIII. (axiom of infinity) 自然数集的存在性. ∃z(∅∈z∧∀u(u∈z→ ∪{u,{u}}∈z)). 说人话: 存在一个集合z, 满足∅在z里, 而且每一个z中的元素u都有后继数u∪{u} (注意, 我们还没有A∪B的记号, 只能写∪{A, B}). 如果我们把∅看成是0, 那么1={∅}, 2={∅, {∅}}, 3={∅, {∅, {∅}}}, 以此类推. 把这样的集合放在一起, 得到的z就是自然数集, 记作N. IX. (axiom of foundation) 没有无限递降链 (x2∈x1, x3∈x2, x4∈x3, ...). ∀x(¬x=∅→∃y(y∈x∧y∩x=∅)). 从IX可以推出 "包含所有集合的集合" 不存在; 否则如果它存在, 记为M, 那么 ...∈M∈M∈M∈M, 无穷递降! 同时, 它也推出了自然数集中的最小数原理. X. (replacement axiom scheme) 理解为: 把z中的每个元素v用一个对应法则A(x,v)替换成x, 可以得到新的集合y. ∃y∀x(x∈y↔∃v(v∈z∧A(x,v))), 其中对每个v, 都只有一个t满足A(t,v). I ~ X构成了ZF公理系统. XI. (axiom of choice) 著名的选择公理. 理解为 "给你一堆集合, 你可以从每一个集合中挑一个元素出来, 构成一个新的集合". ∀z∃w(Fnc(w)∧∀x(x∈z∧¬x=∅→w′x∈x)), 其中Fnc(w)定义为∃v(w⊆v×v)∧∀uv1v2(⟨u,v1⟩∈w∧⟨u,v2⟩∈w→v1=v2), w′x定义为满足⟨x,y⟩∈w的唯一的y, ⟨x,y⟩定义为{{x},{x,y}}, x×y定义为{z:∃uv(z=⟨u,v⟩∧u∈x∧v∈y)}. (说人话: Fnc(w)定义为 "w是一个函数".) I ~ XI构成了ZFC公理系统. 值得注意的是XI等价于Zorn引理, 良序化公理, 等等, 而且无法用I ~ X证出. 这些ZF(C)公理完美地解决了各种罗素式的悖论, 应用也十分广泛. 例如, 我们定义整数集为Z={0,1}×N, 就是给每个自然数n加上一个标记(0或1), 如果是1, 就可以理解成正n, 如果是0, 就理解成-n-1 (-1是为了防止0被定义两次). 有理数集就直接定义成互素整数对. 实数集就有很多定义方法了, 这里不再赘述. ------------------------ 所以以后再有人纠结公理什么的就把这个帖子拍他脸上.

反证法我从未想过这种东西还需要科普. 反证法. 利用如下原理进行证明: ~(p&~p). 说人话: 同一命题不能同时成立与不成立. 一般写过程的时候, 用的是如下形式: 假设A不对, 利用该假设推出A对, 矛盾, 所以A对. 这种论述的正确性有如下的形式推理保证: ~(A & ~A); ~((~A→A) & ~A); ~(真 & ~A); ~(~A); A. 或者: 假设A对, 利用该假设推出A不对, 矛盾, 所以A不对. 举例: 自然数集没有最大元. 证明: 假设有最大元a, 则a的后继数比a大, 从而a不是最大元, 矛盾! 所以没有最大元. 常见错误: 误以为反证法是: 假设A对, 利用该假设推出A对, 所以A对. 这是典型的循环论证. 假如这是对的, 那么我可以说, 假设1>1, 那么1>1, 所以1>1, 这不瞎扯吗. (很有意思的是上一段话本身使用了反证法hhh)

很符合我对民科的想象

我个人了解的也并不深入, 但是既然有民科跟我扯起这个来了我就把基本常识发一下. 主要参考Steve Awodey的Category Theory. 译名可能不标准, 请谅解. 一. 范畴的定义一个范畴 (category) 包含 1. 一些对象 (objects). (就是, 额, 一些东西, 随便什么东西都行) 2. 一些态射 (arrows, morphisms). (可以理解成对象之间的函数) 每个态射f都有两个对象cod(f)=A, dom(f)=B (分别是陪域 (codomain) 和域 (domain)), 记为f: A→B. (A, B可以相同). 3. 如果f: A→B, g: B→C, 那么态射的复合 (composite) g◦f: A→C也是态射. (可以理解成函数的复合) 4. 每个对象A都有一个态射1_A: A→A. (可以理解成恒同映射) 5. 复合要满足结合律: 若f: A→B, g: B→C, h: C→D, 那么必有h◦(g◦f)=(h◦g)◦f. 6. 1_A要满足: 任何f: A→B, 有f◦1_A = f = 1_B◦f. 任何满足1, 2, 3, 4, 5, 6的东西都是范畴. 这里的东西也是... 任何东西, 甚至不必要是集合 (可能是proper class). 举几个很简单的例子: 1. 以所有集合为对象, 集合之间的任意函数为态射构成的范畴, 态射的复合就是函数的复合. 2. 一些 "有结构的集合", 例如 2.1 以所有群为对象, 群之间的同态为态射. 2.2 以所有线性空间为对象, 空间之间的线性映射为态射. 2.3 以所有图为对象, 图之间的同态为态射. 2.4 以所有实数为对象, 定义在实数集上的连续函数为态射. 2.5 以所有拓扑空间为对象, 空间之间的连续映射为态射. 2.6 以所有偏序集为对象, 偏序集之间的单调映射为态射. 3. (这个例子很不同) 以所有集合为对象, **集合之间的二元关系为态射**, 也就是说, 对集合A, B, A×B的任意子集f都是A→B的态射. 复合定义为: 若f: A→B, g: B→C, 有(a,c)∈g◦f当且仅当存在b使(a,b)∈f而(b,c)∈g. 1_A定义为: {(a,a): a∈A}. 例3揭示了态射不一定要是映射或是这类东西, 它真的就是任何东西, 只要满足3, 4, 5, 6的条件. 4. 一些有限范畴 (1_A省去):可以看出范畴论研究的重点对象就是态射, 一种 "映射", "同态" 这些东西的一般化. 所以自然地范畴之间也应该有类似于 "态射" 的东西. 于是, 人们引入函子 (functor) 的概念. 设C, D都是范畴, 则一个函子F: C→D是这样的一个... "东西": 1. F(C中的某个对象)=D中的某个对象. 2. F(C中的某个态射)=D中的某个态射. 3. F(f:A→B)=F(f):F(A)→F(B). 4. F(1_A)=1_F(A). 5. F(g◦f)=F(g)◦F(g).所以函子就是保持范畴结构的某种映射.

怼民科从来没有笑得这么开心过哈哈哈哈哈哈哈哈哈哈哈哈哈哈哈哈哈哈哈对自己有十分清晰的认知

天天在那极限来无限去的多没意思, 来点有意思的问题吧 ( 是否存在有理数x, 使得不存在有理数a, b, c, d满足a^4 + b^4 - c^4 - d^4 = x?

良序与实数系最近被一些人逼急了. 在此讨论一下这些东西. 1. 良序和良序化定义在集合S上的良序<应满足如下条件: S的任何非空子集在<下均有最小元. 举个例子, 正整数集上的 "小于" 序关系就是一个良序 (这通常被称为最小数原理). 然而, 实数上的 "小于" 不是良序 (例如集合 {x∈R : x > 2} 就没有最小元). 在ZF公理系统下, 集合之间的∈关系也是良序 (由Axiom of Foundation保证: ∀x((¬x=∅)→∃y(y∈x⋀∀z(z∈x→¬z∈y))).). 良序化, 顾名思义, 就是说给一个集合配备一个良序. 正整数集可以被良序化. 整数集也可以, 但不能用通常定义的序 (例如, 可以定义x<y当且仅当|x| < |y|或(|x| = |y| 且 x > 0 > y), 这个<是良序). 那良序化原理是什么呢? 它说, 任何一个集合都可以被一个合适的序给良序化. 这在ZF中和著名的选择公理等价. 例如, 虽然在实数集中通常意义下的 "<" 关系不是良序, 但是一定可以找到另一个序, 它是实数集上的良序. 2. 实数系实数系是任何满足如下几个条件的集合. 1. 序条件 1.1 对任意a, b, a<b, a=b, a>b中必有一个成立. 1.2 若a<b, b<c则a<c. 2. 加法 2.1 ∀a, b, 它们的和a+b唯一存在. 2.2 a+b=b+a. 2.3 a+(b+c)=(a+b)+c. 2.4 ∃唯一的0, a+0=a. 2.5 ∀a, ∃唯一的-a, a+(-a)=0. 2.6 若a<b, 则∀c, a+c<b+c. 记a+(-b)为a-b. 3. 乘法 3.1 ∀a, b, 它们的乘积ab唯一存在. 3.2 ab=ba. 3.3 a(bc)=(ab)c. 3.4 ∃唯一的1, a1=a. 3.5 ∀a, ∃唯一的1/a, a(1/a)=1. 3.6 若a<b且c>0则ac<bc. 记a(1/b)为a/b. 从现在起, 1+1记为2, 2+1记为3, 等等; 1, 2, 3, ...称为正整数; 0, 1, 2, ..., -1, -2, ...称为整数. 4. 分配律: (a+b)c=ac+bc. 5. Archimede性质: ∀a, 存在整数n, 使n>a. 6. 连续性, 即闭区间套定理, 不再赘述. 在此基础之上有若干种实数系的构造方式. 最有名的应该是Dedekind分割. 若有理数集的划分(A|B)满足对每个a属于A, b∈B均有a<b, 则将(A|B)称为一个Dedekind分割. 所有的Dedekind分割可以构成一个实数系. 当然也可以用Cauchy序列定义实数系: Q上所有Cauchy序列商去等价关系 "|an - bn|的在Q中极限为0" 后构成一个实数系. 甚至可以直接用十进制小数定义.将 a . a1 a2 a3 ... an ... 称为一个十进制小数. 将以下两个十进制小数视为相等: a . a1 a2 ... an 9 9 9 ... a . a1 a2 ... (an+1) 0 0 0 ... (十分有趣的是这个定义一上来就摆明了0.999...=1, 哈哈哈.) 简单来说, 这样的十进制小数也构成一个实数系. 限于篇幅, 如何基于以上定义定义加法和乘法就不再叙述, 自行查看 http://tieba.baidu.com/mo/q/checkurl?url=https%3A%2F%2Fencyclopediaofmath.org%2Fwiki%2FReal_number&urlrefer=4f525332537a55877e4c03b00f6caed8 或 http://tieba.baidu.com/mo/q/checkurl?url=https%3A%2F%2Fncatlab.org%2Fnlab%2Fshow%2Freal%2Bnumber&urlrefer=fbdbda0fe217db434845f9b61c74cd2a . -------------------------------------------------------- 没有啦.

数学中的两种无穷看到有一些人, 似乎包括民科和反民科, 都把两个无穷有点混为一谈. 例如我经常看到有人说 "无穷不是一个数", 但另一个人反驳说 "那 '无穷位小数' 这种说法是怎么来的?" 于是用这个帖子简述一下. 一种无穷, 也是 "无穷位小数", "希尔伯特旅馆" 这些东西里的无穷, 是由集合的基数定义的. 也就是说, 这种 "无穷" 事实上意味着 "和某个无穷集中的元素个数一样多". 例如 "无穷位小数" 指的是 "小数点后的位数和整数的个数一样多", 就是小数点后的每一位可以用整数标号, 和我们的直觉是相符的. 值得注意的是, ZF的一条公理指出自然数集ω存在, 且将自然数集定义为一个序数. 所以这种意义上来说, ω其实是一个 "数", 而且也不是 "最大的数", 例如还有ω+1, ω+2, 2*ω, 3*ω, ω*ω, 甚至ω^ω和ω^ω^...(重复ω次) 这种东西. 另一种无穷是数学分析中常见的无穷, 也是 "无穷小" 中的无穷, 它不是真正的无穷, 而是对一个逼近过程的简写, 所以说它不是一个数. 当然还有一些其它的无穷, 例如闭复平面上的无穷远点, 那又是另外一回事, 这里不赘述. ---------------------------------------------------- 和往常一样我不指望任何民科能有耐心看这些东西, 就当给不知道的人科普, 防止被带歪吧.

其实很不理解为什么有数学民科数学的东西都是经过严格定义的, 你当然可以用自己的定义做出一种全新的数学, 但仍然有一个前提, 就是它对现有的数学有用. 对我们正常认知中的数学无用的定义根本不应该被发明. 举点例子. 伽罗瓦发明 "域论" 这种新玩意是因为它确确实实可以解决大量疑难杂症, 包括三等分角问题什么的. 亨塞尔发明了无穷位的整数 (当然只是从形式上) 这种东西 (p-进数), 但是它真的能解决不定方程和整系数因式分解, 和费马大定理. 我不知道把0.9999...踢出实数系对数学有什么用. 如果有请让我开开眼.

7175 水一个题大概有联赛难度吧

应付20关随便设计的机器如图，中间那个是主要的组成单元，可以左右方向重复放置以增加速度，第一个和最后一个需要特殊结构。为了空间更小一点设计成了上一个单元的某些输出会在下一个单元使用，所以第一个单元和最后一个单元只有一半的效率最上面两行是两个输入，第一行输入左下角是正方形的、只有上方两小块的图形（即**----Rw，**可以是任意图形），第二行输入左上角是圆形的任意图形，输出会是 ****--Cw:--**Rw--再进行切割就得到了20关图形的左半部分

个人制作的做的混色模块萌新，刚刚玩到17，让大佬们见笑了混色的等级太低了，一秒才0.8个，所以做得很大，个人感觉效率还行，主要是建起来很方便，而且这个结构换其他的机器可以套用

请问如何检测玩家退出游戏？突然想实现一个功能，当玩家退出游戏是执行某命令，不知道要怎么实现。要求：Java 1.16版本；支持任意多（可默认不超过10个）玩家；最好全数据包实现（/forceload很烦人，不要问为什么）；检测后需要执行一个其他命令（最好是任何命令）。

5405自己命的小题