富里哀的个人资料

从科学守恒到数学不变量——一种数学文化的视角大千世界在不断地变化着。世间万物经历着历史的变化，承受着地域的变化，既有质的变化，更有量的变化。变化是绝对的。但是，看到变化更要把握变化，人们需要找出事物变化中保持不变的规律。无论是社会科学还是自然科学，都会寻求某种不变性，在科学上称之为守恒，在数学上就是不变量。中国在不断发展进步，一切事物都在与时俱进。但是，在巨大的社会变革中，有些是不变的。例如，中华民族的文化传统，民族精神；热爱祖国，崇尚和平，寻求大同，宣扬美德等等，都是不变的。在改革开放的今天，在与时俱进的变化中，从实质上保持这些传统的精华，是一种文化的守恒。文学中也有守恒：对仗。试看王维的名句：“明月松间照，清泉石上流”，具有自然意境之美，也有文字对仗工整之美。诗句中的对仗，正是把“明月”变换到“清泉”，其中不变的是语词的性质。形容词“明”对形容词“清”，名词“月”对“泉”。同时不变的还有：二者都是自然景物。这种保持着意境、语词的某种不变性，正是“守恒”。文学通过这样的“守恒”，体现着人类的睿智和均衡之美。在物理上，有能量守恒定律。在保守力场里，一个运动着的物体，它的动能和位能的总和是一个不变的常量。动能多了，位能就少了，反之也是这样。守恒定律是力学真理，有了它，人们对运动着的客观事物有了更深的认识。总之，守恒是客观规律，发现守恒是科学的胜利，认识守恒是美的享受。那么，数学又是怎样和守恒连在一起的呢？从小学起，我们就在和守恒打交道。数字相加和相乘的交换律就是一种守恒定律。两个数交换了，次序变化了，但是它们的“和”与“积”不变： a + b = b + a，a·b = b·a。再如分数，1/2 =2/4=3/6=…，这些分数的形式各不相同，面貌变了，但是它们表示的大小数值没有变，都是0.5。这当然也是守恒。利用分数表示的守恒规则，可以通分，进行分数的加减乘除。在几何上，大家熟知图形的“全等”，它是指把一个图形通过“运动”（指移动、旋转、折叠）之后，可以和另一个图形“重合”。两个全等的图形经过运动之后，它们的长度、角度、面积等等都不变。这就是说，全等图形的长度、角度、面积是守恒的。至于相似，也是一种守恒。不过它只有角度不变，完全守恒，而长度和面积变了，不能有“相等性”的守恒了。但是，还可以用“长度之比”是一个常数（相似比）来说明它的守恒特征。对称是美丽的。所谓对称，指相对又相称。这在人类早期文明中就有体现。《易经》中的太极图，何等对称！对称，又是生活中常用的概念。服装设计、室内装潢、音乐旋律都有对称的踪迹。数学上，轴对称是沿对称轴翻折以后图形的形状不变，旋转对称就是以旋转中心转动以后图形的形状不变。这种“变化”之下的不变性质对称，本来只是几何学研究的对象，后来数学家又把它拓广到代数。比如二次式X2 +Y2，现在把X变换为Y，Y变换为X，原来的式子就成了Y2 + X2，结果仍旧等于X2 +Y2，没有变化。由于这个代数式经过变换之后，形式上完全和先前一样，所以把它称为对称的二次式。韦达定理中的两根和，两根之积可都是对称的代数式；高次方程也有韦达定理，仍然是高度对称的。最后，要说到方程。解方程的过程，就是将等式不断变形，使得方程的根保持不变。例如，一元一次方程，就是通过合并同类项，移项，两边同乘一个数，同除一个不为零的数等方法，把方程变形为 ax=b的形状。在这个过程中，x的值没有改变。这种变形是守恒的：保持等式不变，从而x的值不变，最后得到x=b/a（a≠0）。大家熟知的求解一元二次方程，也是通过配方、因式分解的方法将方程变形，保持等式不变，x的值不变，最后得到了求根公式。还须注意到，分式方程的变形，如果处理不当，就会失根，那就是不守恒了。当代物理学和守恒连在一起。对称是在某种群作用下的不变性。诺贝尔物理学奖获得者杨振宁回忆他的大学生活时说，对我后来的工作有决定性影响的一个领域叫做对称原理。杨振宁和李政道获得诺贝尔奖的工作——“宇称不守恒”的发现，是一种特殊的“不对称”。守恒是合理的，不守恒反而成了新发现。另外一个被称为“杨振宁-米尔斯规范场”的著名成果，更是研究“规范对称”的直接结果。杨振宁在《对称和物理学》一文的最后这样写道：“在理解物理世界的过程中，21世纪会目睹对称概念的新方面吗？我的回答是，十分可能。[1]” 对称图形是美的，对称观念是美的，对称理论更是美的。大自然的结构是用对称语言写成的。研究各种对称中的不变量，是数学物理研究的中心课题。从某种意义上说，现代数学就是研究各种不变量的科学。20世纪最重大的数学成就之一——阿蒂亚-辛格(Atiyah-Singer)指标定理，就是描述某些算子的指标不变量。影响遍及整个数学的陈省身示性类（Chern class），正是刻画许多流形特征的不变量。一些代数不变量、几何不变量、拓扑不变量的发现，往往是一门学科的开端。数学思想的建立离不开人类文化的进步。在本原的思想上，例如守恒，许多学科之间都彼此相通。发现守恒，永远是美丽的。数学的不变量，正是数学文化和社会一般文化彼此互动的结果。

时间和历法时间有两层含意：一是给出某一瞬间在时间流程中的位置，二是给出两个瞬间之间的时间长度，又称时间间隔。由于后者涉及人类在地球环境中的生活和社会活动，因此比较复杂。当然，两者并不能完全割裂开来，而有着密切联系。为了生活和生产的需要，人们早就开始制订各种历法，并不断地加以完善。制定历法的基础就是时间，主要是如何恰当地选择一些时间间隔，如年、月、日等，使其既能反映基本自然规律，又能满足人类生活和工作的需要。量度时间的基本单位地球绕轴旋转，自转轴过南、北两极。地球自转是造成昼夜交替的原因，自转一周就是1日。同时，地球又绕太阳公转。地球自转轴与公转轨道平面交角为66.5°，地球公转和自转轴的倾斜是造成四季变化的原因，公转一周就是1年。因此，地球的运动规律构成了时间单位的自然基础。任何运动都是相对的，转动周期的确定需要有一个参考系。以太阳为参考系所确定的地球自转周期称为太阳日，以恒星为参考系所确定的地球自转周期称为恒星日。由于地球一面自转，一面又绕太阳公转，因此，太阳日比恒星日长约3分56秒。此外，地球绕太阳的公转周期称为回归年，1回归年＝365.2422太阳日＝366.2422恒星日，即在1年时间内，太阳日数比恒星日数多1日，这多出来的1日就是因地球公转引起的。仅规定年和日，对日常生活和工作仍是不够的，于是人们又引入了“月”的概念，这就是月球绕地球公转的周期。同样，这里也有参考系问题。以太阳为参考系所确定的月球绕地球的公转周期称为朔望月，1朔望月＝29.5603日，它是月球圆缺变化（月相）的周期；以恒星为参考系所确定的月球公转周期称为恒星月，1恒星月＝27.3216日。以地球和月球的运动规律定义的年和月都不是日的整倍数，不能简单用于日常生活和社会活动。此外，四季变化规律取决于回归年的长度，月相变化规律取决于朔望月的长度，它们也都不是日的整数倍。如何做到既不违反自然规律，又能很方便地用于生活和工作，是编制一部好的历法的关键。阴历历法中的年称为历年，历法中的月称为历月，它们都是日的整数倍，但可以不是常数。阴历又称太阴历，是以月球绕地球的公转周期为基础而制订的，其基本原则是：每一历月的长度接近朔望月（29.5603日）；历月的平均长度等于朔望月；历年的平均长度尽可能接近回归年的长度（365.2422日）。在服从上述基本原则的前提下，阴历中历年和历月设置的规则是：一个历年含有12个历月，历月中的大月为30日，小月为29日，大月和小月尽可能交替安置；在360个历月（30个历年）中，大月占191个，小月占169个，以满足在一段较长的时间（39个历年）内历年的平均长度尽可能接近回归年的长度；设置闰年：平年354日，含六个大月和六个小月；闰年355日，含七个大月和五个小月，其中12月末增加1天。阴历的优点是，历月中的日期大体上与月相保持一致，即阴历每个月的初一大致为新月（朔），十五前后为满月（望），其他月相情况也是如此。尽管阴历有上述优点，但它却存在着严重缺点：由于阴历历年长度只有354～355日，与回归年长度相差11～12日，因而与四季变化规律不符，不适用于农业生产和日常生活。例如，阴历的某一年在隆冬过春节（就像现在一样），那么按照阴历，经过15～16年后，人们就会在盛夏过春节了。这是因为每经过15～16年，阴历历年的总长度会比同样年数回归年的总长度短约180天，即相差约6个月。这种寒暑交替规律与月份不一致带来的不便显然令人难以接受，因而现在已很少有人采用纯粹的阴历了。阳历阳历又称太阳历，是以地球绕太阳的公转周期为基础而制订的。制订阳历的基本原则是：每一历年的长度都非常接近回归年的长度；历年的平均长度等于回归年；参照朔望月的长度把历年分为若干历月，其长度尽可能接近朔望月。

数论密码数论密码，顾名思义，就是基于数论的密码。密码是相对于明码而言的。这是一个矛盾的两个方面。所谓明码（plaintext），就是人们可以直接识别或使用的代码（也就是人们通常所说的信息，如文字、声像等）；所谓密码（ciphertext），就是将明码经过了一定处理，变换成一种外人（与此无关的人员）无法直接识别或使用的信息。比如在军事上，上级首脑机关向部下发布军令时，就往往需要将军令的原文（明码）变换成密码之后再发布（比如通过无线电台或计算机网络等向外发布）。这样，即使敌方能够截获到这些密码，也无法直接辨别出这些密码的原意。当然，对于自己的部下而言，由于他们事先已经拥有解开这些密码的钥匙，所以能够正确地将密码再变换回明码，从而可以执行军令。密码学就是一门研究信息的加密（encryption）与解密（decryption）技术（统称为cryptography），以及密码破译（cryptanalysis）技术的学问。密码学有两个显著特点：一是历史悠久（事实上，密码学的历史几乎与人类文明史一样长），二是数学性强（几乎所有的密码体制都程度不同地使用了数学的方法，尤其是代数、几何与数论的方法）。本文着重介绍基于数论的密码方法。数论：从纯粹走向应用数论是数学中最古老、最纯粹的一个重要数学分支。素有“数学王子”之称的19世纪德国数学大师高斯就曾说过，数学是科学的皇后，数论是数学的皇后。数论的一个主要任务，就是研究整数（尤其是正整数）的性质（包括代数方程的整数解）。由于在研究这些整数的过程中，人们往往要用到别的数学分支的知识与技巧，这样就诞生出了解析数论、代数数论、组合数论、概率数论、几何数论甚至计算数论等分支学科。由于整数的性质复杂深刻，难以琢磨，因此数论长期以来一直被认为是一门优美漂亮、纯之又纯的数学学科。美国芝加哥大学著名数学家迪克森（L.E.Dickson）就曾说过：感谢神使得数论没有被任何应用所玷污。20世纪世界级数学大师、剑桥大学的哈代也曾说过：数论是一门与现实、与战争无缘的纯数学学科。哈代本人也则因主要从事数论的研究而被尊称为“纯之又纯的纯粹数学家”。当然，上述两位大数学家所说的并不完全符合今天的现实。事实上，在计算机科学与电子技术深入发展的今天，数论已经不仅仅是一门纯数学学科，同时也是一门应用性极强的数学学科，比如在今天，数论已经在诸如物理、化学、生物、声学、电子、通讯，尤其是在密码学中有着广泛而深入的应用。大家知道，密码设计长期以来一直是困扰军方的一个问题。要保证军方的密码不被敌方破译，不是件容易的事情。比如在第二次世界大战期间，德军设计了一种性能优良的编制密码的机器，称之为爱尼格玛（Enigma）机器。德军指挥机关向其部队发布的军令都是通过爱尼格玛机器加密之后再往下发布的。当时英军就想到，要打败德军，就必须要破译德军的密码，掌握德军的军事动向（即所谓的知彼知己）。因此，英军迅速在伦敦北边不到一百公里处征集了一块空旷的土地（该地名为布莱克利公园，后也成了该秘密机构的名字），并在那里集结起一大批杰出的数学家、语言学家和象棋大师等，包括现代计算机科学的开山鼻祖图灵和后来在爱丁堡大学创办世界上第一个人工智能系的米基（D.Michie）。他们专门负责截获、破译爱尼格玛密码。由于这个组的努力，特别是图灵出色的工作，他们掌握了破译该密码的一整套方法，从而了解德军的军事动向，掌握了战争的主动权，为英美联军击败德军作出了突出的贡献。有人估算，如果没有图灵等人的贡献，第二次世界大战至少还要再打十年。 DHM 的提出目前，由于商用计算机网络的广泛应用，尤其是电子商务的普及与深入，密码设计在民间也大有用武之地。传统的密码体制，称之为“密钥密码体制”，在加密、解密的过程中都采用同一个钥，简称为“密钥”(secret key)。所谓同一个钥，就是说知道了其中的一个钥，另一个钥就可以很容易地计算出来。具体到军用通讯，就是军事指挥机关要事先用密钥把军令加密，之后再下达到部队，与此同时（甚至是事先）还要将密钥也下达到部队，否则其部下解不开其军令。显然，密钥的管理与保护是个问题。一般而言，密钥比密码本身还重要，因为一旦敌方掌握了密钥，那么所有用此密钥加密的密码就成了人所皆知的明码。因此，在军事与外交等部门，都是不惜代价而派专人专管专送密钥。显然，这在电子商务方面是行不通的，因为代价太高。

PCR的故事末代沙皇尼古拉二世、1918年的流行性感冒病毒、电影《侏罗纪公园》，以及辛普森杀妻案，这四件事情到底有什么相关？答案是没有。只不过近十几年来生物技术的一项新发明，把它们给连在一块了。这项技术就是“聚合酶链反应”（polymerase chain reaction，PCR）。 PCR的最大特点，是能将微量的DNA大幅增加。因此，无论是化石中的古生物、历史人物的残骸，还是几十年前凶杀案中凶手所遗留的毛发、皮肤或血液，只要能分离出一丁点的DNA，就能用PCR加以放大，进行比对。这也是“微量证据”的威力之所在。 PCR的原理及做法其实不难，它利用DNA双链复制的原理，将一条DNA序列不断加以复制，使其数量以几何级数方式增加，就可用来做定性的分析及各式各样的应用。DNA双螺旋结构于1953年发现，自此确立了它就是细胞里携带遗传信息的分子。第一个细胞内用来复制DNA所需的聚合酶（polymerase，即PCR之P），也早在1956年分离成功。几十年来，在试管内复制DNA已是许多实验室的例行工作，但就是没有人想到以PCR方法大量复制DNA，就算想到也不认为可行，直到1983年。 DNA在复制时，其中两条以氢键结合的互补链必须先行分开，才能各自作为复制的模板；而打开双螺旋的最简单方法就是加热。在高温下，双股DNA链会分离成单股，等温度降低后，互补的两条DNA链又可以恢复成双股。虽然DNA分子能耐高温，但进行DNA复制所需的聚合酶是蛋白质，在高温下会失去活性。这也是之前的研究人员不认为这种方法可行的原因之一。再有，要在千万条DNA当中，以一小段已知序列制成的引物，“钓”出所需的片段，进行复制，也跟大海捞针差不多，这是另一个让人却步的理由。 PCR的发明人，一般公认是穆里斯（K. Mullis），他也因此获得了1993年的诺贝尔化学奖。穆里斯在好些写作中，包括1990年在《科学美国人》上的一篇文章，及1998年的自传《心灵裸舞》（Dancing Naked in the Mind Field），都曾提到PCR这个构想的起源。然而，PCR从构想到实现，真的就是穆里斯一人之功吗？PCR究竟是在什么样的环境下诞生的呢？穆里斯的出身是生物化学家，1972在加州大学伯克利分校取得博士学位，专长有机合成。一早他就表现出桀骜不驯的性格，在那嬉皮的年代，吸食自制的迷幻药不算太稀奇，穆里斯也乐于此道。更让人难以想象的是，他在经历迷幻药之旅的过程中，居然想出了某个解释大爆炸宇宙学的理论，写了出来投稿到《自然》周刊，居然登了出来。他也因此通过了博士资格考，因为有文章发表在《自然》周刊的教授已然不多，学生更是少见。至于他的博士论文，也是用“带点幽默的口语化写成”（穆里斯自己的说法），要不是宽容的指导老师帮他讲话，只怕要重写。穆里斯另一个毫不掩饰的爱好是女人，这也给他的生涯带来许多转折。博士学位到手后，他随着新婚的第二任妻子来到堪萨斯州，因妻子的关系进了该州的医学院就读，他也在那儿的心脏科找到与其学位并不相称的工作。不久他就感到厌恶，因为实验需要宰杀许多老鼠。1975年，他与妻子仳离，又与后来的第三任妻子回到加州湾区，在第一任妻子所有的一家糕饼店当了近两年的经理。1977年，才又回到旧金山加州大学医学院的药物化学实验室，走的仍然不是学术的正途，也同样在不久以后，对新工作感到厌烦。 1979年，穆里斯进了湾区一家名叫“西特斯”（Cetus）的私人生物技术公司任职。当年，生物技术公司还处于萌芽阶段，很少学术界人士愿意离开象牙塔的庇荫到私人企业工作。就算是到有规模的大药厂，同样也得不到多数同行的认可与祝福，认为是学术生涯的终点。然而西特斯却是一个极为特殊的所在，这家公司集结了一批有能力、有梦想的科学家，在自由开放的风气下，共同朝既定的目标前进。这和一般学院里各大教授及实验室的主持人关起门来各行其是的做法，相当不同。西特斯聘用穆里斯，是想借重他有机化学合成的专长，负责合成寡核苷酸（短链的DNA分子），以供实验所需。

史前巨兽的起源霸王龙是如何演变成庞然大物的？研究人员认为，霸王龙和其它一些食肉恐龙长成庞大身躯的原因有两个：一是保持冷血；二是拥有足够大的陆地生活区域，在这些区域内，没有其它大型竞争者。对于在电影《侏罗纪公园》熏陶下成长起来的一代人及其后代来说，霸王龙将成为一个家喻户晓的名字。这种庞大的、长有锋利牙齿的怪物完全就是童话故事里面令人恐惧的吞火巨龙，人们对它极为憎恶。但鲜为人知的是这种巨蜥之王其实进化的谱系并不长，实际上，在出现银幕上的那种后期的霸王龙之前，一般的霸王龙体形相对较小，体重有1至2吨，身高仅有几米，人们既不会在漆黑的小巷里遇到它们，也不会将它们当作宠物豢养。但事实上，后期的霸王龙突破了一般霸王龙的传统体形，在体重上是其祖先的3倍。进化生物学家长期以来对可能导致兽脚亚目食肉恐龙、两足动物以及食肉恐龙巨大体形的因素进行了研究。（除霸王龙之外，属于鲨齿龙科（carcharodontosaurs）和棘背龙科（spinosaurs）的4种恐龙也进化成为同样庞大的巨兽。）近几年出现了几种原动说，这些学说将恐龙体重的剧增归因于大气二氧化碳含量增加等因素（二氧化碳含量增加导致植物产量大增，从而能够供养更多的食草恐龙，而兽脚亚目食肉恐龙就是以食草恐龙为食物的。）2003年10月份在巴西圣保罗举行的脊椎古生物学协会年度会议上，美国犹他大学的Scott Sampson及其同事简述了一种有细微差别的进化学说，该学说将众多影响因素考虑在内。通过对现有食肉动物的研究，Scott Sampson研究小组发现了一些可使庞大兽脚亚目食肉恐龙繁衍生存的合理先决条件，从这些恐龙股骨周长估算，它们的体重高达3吨甚至更多。首先，与许多研究人员的假设不同的是，这些恐龙可能是冷血动物，因为如果它们是温血动物，如此庞大的动物要保持恒常体温，需要异乎寻常的捕猎成功率（相当于狮子的10倍），并且还应该具有降温能力，以避免体温过热。其次，研究人员通过观察发现，食肉类动物比食草类动物活动范围更广，种群密度更低，而且大型食肉动物的活动范围大于小型肉食动物。研究人员指出，巨型兽脚亚目食肉恐龙要想生存下去，必须拥有辽阔的生活区域，以维持足够多的同类种群数量，避免灭绝。再次，形成中的巨型动物必须消除来自其它大型动物争夺食物的生态压力，如通过竞争对手的灭绝或捕食不同的猎物。批评人士认为，有些结论很难让他们接受。加州大学伯克利分校的Kevin Padian指出：骨组织结构研究结果间接表明，与冷血爬行动物相比，恐龙在新陈代谢方面与温血哺乳动物更为相似；而且要确定灭绝动物的种群规模是不可能的。在没有活生生的恐龙的情况下，科学家可能永远不会知道它们属于生物进化代谢谱系中的哪一部分。然而迄今为止，化石记录支持该研究小组学说的其它预测。五种众所周知的庞大动物只在辽阔的北美洲、南美洲和非洲大陆上出现过。这些动物在生存期间从未遇到来自其他庞然大物的竞争。（棘背龙和鲨齿龙均生活在非洲，它们在时间和空间上有过重叠，但前者似乎以捕食鱼类为生，而后者则生活在陆地上。）有关霸王龙起源的研究结果对兽脚亚目食肉恐龙巨型学说提供了最强有力的支持。在这种庞然大物出现前的2500多万年中，从今天墨西哥湾流向北极的西部内陆海道（Western Interior Seaway）将北美洲一分为二。在这两部分陆地上，有3种恐龙彼此孤立地生活着，它们的体重只有1至2吨。当海水在大约6900万年以前退潮之后，可居住的陆地面积增长了一倍，而只有一种恐龙生存下来，并进化成为体重高达5.5吨的霸王龙。马里兰大学的Thomas R. Holtz, Jr在谈到这一学说时指出：“这为我们提供了思考的素材，但我们需要更多的验证性实例。”

魅影脑细胞越来越多的证据表明，被忽略了近半个世纪的胶质细胞，在思维和学习过程中扮演着几乎和神经元一样重要的角色。新近出版的《走进爱因斯坦先生》一书，讲述了病理学家Thomas Harvey的真实故事，他曾在1955年对爱因斯坦进行过遗体解剖。在完成工作后，Harvey似乎很不敬地将爱因斯坦的大脑带回了家中，在接下来的40年中，爱因斯坦的大脑就被保存在一个塑料容器中。Harvey不时地将这些脑片像施舍一样分给世界各地的科学家和伪科学家，供他们从这些组织中找到爱因斯坦的遗传线索。但是当Harvey 80岁时，他把剩余的大脑装进了箱子，为了把它还给爱因斯坦的孙女，他开始了穿越整个国家的公路旅行。 Marian C.Diamond是位于伯克利市加利福尼亚大学的一位受人尊重的科学家，她曾研究过Harvey给她的脑片。在神经元（神经细胞）数量和大小上，她没有发现任何异常。但在负责高级认知功能的联络皮层中，她发现了异常丰富的非神经元细胞，也就是已知的胶质细胞，该脑区的胶质细胞分布要远远多于整个大脑分布的平均数量。这是偶然的怪现象吗？也许不是。越来越多的证据表明胶质细胞所发挥的功能要远远大于历史曾给予它的定义。几十年来，生理学家把焦点集中在了神经元上，认为它是脑内主要的信息传递者。尽管胶质细胞的数量超过神经元的9倍，但人们认为它仅发挥一种保护功能：从血管中携带营养物质供给神经元，维持脑内离子浓度的正常平衡状态，防止逃逸免疫系统检测的病原体的攻击。在胶质细胞的支撑作用下，神经元可以自由地通过称为突触的精细接触部位传递信息，建立连接网络，并在此基础上形成了我们的思维、记忆以及兴奋时的跳跃动作。如果关于胶质细胞的新认识成立的话，那么长久以来被人们认可的脑功能模式将发生巨大的变化。在过去的几年中，高敏感的成像技术已经证实，从胚胎发育阶段直到老年，神经元和胶质细胞参与了一种双向对话。胶质细胞影响突触的形成，帮助筛选哪些神经联系随时间而增强或减弱；这些变化对于学习和长期记忆的储存是很关键的。更新的研究表明，胶质细胞之间也可以一种独立的，并且和神经元网络相平行的网络结构进行信息传递，影响脑功能。神经科学家很谨慎，他们不急于赋予胶质细胞新的重要性，但他们兴奋地看到了脑功能研究的前景。人类大脑的大半部分还是未被开发的处女地，关于脑功能的研究将会包含大量的信息宝藏。听一听，看一看在我们的神经系统内，大多数人都拥有一副类似由杂乱无章的电线将神经元连接起来的思维图。每个神经元都有一个伸展着的长分支（轴突），它携带电信号到轴突末端的发芽处。每个发芽处都可以释放神经递质（化学信号分子），通过很短的突触间隙到邻近神经元的树枝样受体或树突上。但围绕神经元周围的是各种各样的胶质细胞。在爱因斯坦去世的那个年代，神经科学家曾怀疑胶质细胞可能参与信息的加工，但因为没有确凿的证据而放弃了这一想法。他们最终转移了在胶质细胞研究上的兴趣，使胶质细胞的研究很长一段时间内陷入了停滞状态。以往神经科学家没有检测到胶质细胞间的信号联系，一方面可能是技术原因，更主要的还是注意力没有放在关键问题上。他们错误地认为，胶质细胞间的相互交流，也需采用与神经元同样的电学模式，即产生动作电位，最终使神经细胞释放神经递质，从而激活与之形成突触联系的其他神经元。因为胶质细胞缺乏传播自身动作电位所需的膜结构，科学家通过检测装置虽然发现胶质细胞突起上有许多能产生电信号的电压依赖性离子通道，但他们猜测这些通道仅仅能间接地改变周围神经细胞的兴奋性。现在利用先进的成像技术，揭示了以往无法证实的现象，即胶质细胞是依赖化学信号而不是电信号来传递信息。关于神经胶质细胞如何感知周围神经细胞的活动，直到1990年代中期才取得一些有价值的进展。神经科学家发现，在胶质细胞膜上有各种各样的受体，能够对一系列的化学物质起反应，其中也包括神经递质。这一发现显示胶质细胞间可能是利用化学信号进行交流，而神经元并不能识别这些化学信号。而且，胶质细胞可能对神经元释放的神经递质有直接的应答。

基因兴奋剂由于衰老和疾病，骨骼肌会丢失，一种修复或重建的基因疗法已准备进入临床，但某些优秀运动员也期待用它来提高成绩。基因兴奋剂使竞技体育变质的日子不远了。2004年8月，全世界的优秀运动员将参加2000多年前起源于希腊的传统奥运盛会。作为世界上最健康的榜样，他们将挑战人类力量、速度和灵敏度的极限。但其中某些人也极可能卷入急功近利和有悖奥运会传统精神的活动——使用提高运动成绩的药物。尽管服用兴奋剂的丑闻屡有揭露，但若仅仅密切跟踪、检查使用过兴奋剂的运动员，对许多人而言，兴奋剂仍是难拒绝的诱惑。因为当获得冠军成为至高无上的目标，运动员将抓住任何机会以提高零点几秒的速度或增加些许的耐力。竞技运动管理当局担心：一种新型的检测不到的兴奋剂的出现，将使预防更加困难。再生成骨骼肌并增加其力量和防止退化的疗法将很快进入临床试验，其中包括将合成的基因导入患者体内。这个基因可存活数年并产生大量正常的建造肌肉的化学物质。这种基因疗法可改善老年人和肌肉萎缩症患者的生活质量。令人遗憾的是，对那些专门依靠兴奋剂提高成绩的运动员来讲，简直是天赐良机。这些化学物质与正常的体内固有基因产物完全一样，仅在局部肌肉组织中合成，不进入血液循环，兴奋剂检测人员在血和尿中什么也检测不出。世界反兴奋剂组织已请求科学家帮助找到防止基因疗法成为新型兴奋剂的手段。但考虑到这些基因疗法即将进入临床试验，最终将广泛应用，阻止运动员使用这种兴奋剂的可能性几近于零。基因疗法将成为竞技体育高科技欺骗的基础吗？这是完全有可能的，当基因疗法在治病方面普及后，公众会接受用它来提高运动员的成绩吗？也有可能吧。不管是这两种情况的哪一种，恐怕世界要面临最后的几届没有遗传强化运动员参加的奥运会了。先失后得用遗传学手段增强肌肉的研究，初衷并非为了优秀运动员。我发现我家族中八、九十岁的老人尽管总体情况良好，但由于肌肉的衰老萎缩，生活质量下降了。为此我开始了这项研究。实际上与30岁相比，80岁的老年人无论肌肉力量还是重量都减少了1/3。我们体内有3种肌肉：平滑肌（衬垫中空器官如消化道），心脏中的心肌以及多数人一想到肌肉就认定的那种肌肉——骨骼肌。骨骼肌构成最大的人体器官，正是它（特别是其中最强的所谓快纤维）随着年龄的增长而萎缩。由于肌肉力量的丢失，人的平衡能力相应下降，在摔倒之前控制住自己很困难。而一旦摔跤引起髋骨骨折或其他严重损伤，人体的活动能力就完全丧失了。所有哺乳动物骨骼肌，都会随着衰老而发生萎缩，这可能是多年正常使用时引发的损伤未能及时修复的积累结果。有趣的是，与衰老相关的骨骼肌的变化，与一组称为肌萎缩症的疾病引发肌肉功能和身体运动的改变相似，只是前者进展较为缓慢而已。最常见也是最严重的一种肌肉疾病——假肥大性肌营养障碍（MD）——是由遗传性基因突变导致缺少一种称为抗肌萎缩蛋白所致，后者可保护肌纤维避免肌肉规律性的收缩-舒张运动产生的张力引起损伤。肌肉有很好的自我修复功能，但对于MD患者，肌肉正常再生能力跟不上过度受损的速度，而对于衰老的肌肉，损伤速率正常但修复机能变得迟缓。两种情况最终的结果是一样的：老年人的和MD病人的肌纤维死亡，由浸润的纤维组织和脂肪替代。与上述情况相反，处在微重力环境中的宇航员和因伤残不能行动的病人发生的肌肉丢失，似乎是由修复和生长机制全部关闭引发的。凋亡式程序性细胞死亡的速度加快，这种称为废用性萎缩的机理仍未充分阐明。但从进化的观点看还是合理的，维持肌肉的正常活动要消耗大量能量。所以要保持肌肉体积和活动之间的紧密联系，还要能够精确调节以适应功能上的需要。正如废用引起萎缩一样，肌肉对重复性收缩——舒张的反应是体积增大（肥大）。增加肌肉负荷可激活一系列细胞内的信号传导通路，导致单个肌纤维（肌细胞）内添加新的细胞成分和改变纤维种类，在极端情况下增加新的肌纤维。

量子化时空我们感觉空间和时间是连续的，但是如果令人称奇的圈量子引力理论是正确的话，时空实际上是以离散形式存在的。100多年前，绝大多数人和科学家认为物质是连续的。尽管自古以来一些哲学家和科学家曾经推测如果把物质分解到足够小的块，就会发现它们是由微小的原子组成。几乎没有人认为能够证实原子的存在。今天我们已经得到了单个原子的图像，也研究了组成原子的粒子。物质的粒子性已经是过时的新闻了。在最近几十年中，物理学家和数学家想知道空间是否也由离散块组成的。它是连续的，就像我们在学校里学到的那样，还是更像一块布，由根根纤维编织而成？如果能探测到足够小的尺度，我们是否能看到空间的“原子”，它们的体积不能被分割成更小的形态？对时间来说，情况又怎样呢？自然界是连续变化的，还是世界以一系列微小的步伐来进化，就像数字计算机那样？过去16年这些问题已经有了长足的进展。一个名字奇怪的 “圈量子引力”理论预言空间和时间的确是由离散部分构成。这个理论框架下的计算所揭示的图像简洁而优美。它加深了我们对黑洞和大爆炸等令人费解现象的了解。最棒的是它是可检验的。它预言能让我们探测到空间原子的实验在不久的将来可以实现，如果真存在空间原子的话。量子我和同事在费力解决物理学中一个长期存在的问题：“是否存在提出量子引力理论的可能性”，从而发展了圈量子引力理论。为了解释为什么它是重要的问题，以及它与空间和时间的粒子性有什么关系，我必须先谈点儿关于量子理论和引力理论的东西。在20世纪前25年，量子力学的理论已经用公式阐明，这是与证实物质由原子组成紧密相关的发展。量子力学的方程要求某些量，比如原子的能量，只能以特定、离散的单元存在。量子力学成功预测了原子、基本粒子以及组成它们的力的属性和行为。科学史上从未有理论比量子力学更成功。它奠定了我们了解化学、原子和亚原子物理学、电子学甚至生物学的基础。在量子力学公式化的几十年里，阿尔伯特·爱因斯坦构建了他的引力理论——广义相对论。在他的理论中，引力的产生是空间和时间（统称时空）被存在的物质扭曲的结果。打个不准确的比方是将一个保龄球放橡胶膜上，同时有一个弹球在旁边滚来滚去。保龄球代表太阳和月亮，膜代表空间。保龄球在橡胶膜上造成一个深深的凹陷，凹陷形成的斜坡使弹球向较大的保龄球偏斜，就好像某个力（引力）向那个方向拉它。类似地，任何物质或能量聚集都会扭曲时空的几何构型，使其他粒子和光线向它偏转，这种现象我们称为引力。量子理论和爱因斯坦的广义相对论已经分别被实验奇迹般地充分证实了。但还没有实验探索到两种理论都预测有明显效应的领域。问题在于量子效应在小尺度范围最为显著，而广义相对论效应需要大的质量，因而需要极其特殊的环境才能将二者结合在一起。伴随这个实验数据空白的是一个很大的概念性问题：爱因斯坦的广义相对论是完全经典的，亦即非量子化的。物理作为整体逻辑上应该是一致的，必须有一个理论在某种程度上将量子力学和广义相对论结合起来。这个长久寻找的理论叫做量子引力论。因为广义相对论处理的是时空的几何构型，量子引力理论另外也是时空的量子理论。物理学家已经提出了相当多的数学方法将经典理论转换成量子理论。许多理论物理学家和数学家已经着手将这种标准方法应用在广义相对论上。早期的结果令人灰心。二十世纪六七十年代进行的计算似乎表明量子理论和广义相对论不能成功地结合在一起。因此，看来需要一些新的基础性东西，比如没有包含在量子理论和广义相对论中的附加假设和原理，新粒子和场，或者新的统一性。也许通过适当的附加或者利用新的数学公式，可以发展出一个类量子理论，在非量子范围内成功近似出广义相对论。为了避免破坏量子理论和广义相对论的成功预言，除了量子理论和广义相对论都预期起明显作用的极端条件下，完整理论中的新事物不应该在实验中看到。沿着这个思路，试过很多不同的方法，比如扭子理论，非对易几何，超引力等的理论。

弦论的未来——布赖恩·格林（Brian Greene）访谈录过去一谈到弦论，人们就感到头晕脑胀，就算是弦论专家也烦恼不已；而其他物理学家则在一旁嘲笑它不能做出实验预测；普通人更是对它一无所知。科学家难以同外界说明为什么弦论如此刺激：为什么它有可能实现爱因斯坦对大统一理论的梦想，为什么它有助于我们深入了解“宇宙为何存在”这样深奥的问题。然而从1990年代中期开始，理论开始在观念上统合在一起，而且出现了一些可检验但还不够精确的预测。外界对弦论的关注也随之升温。今年7月，伍迪·艾伦在《纽约人》杂志的专栏上以嘲弄弦论为题材——也许这是第一次有人用“卡拉比-丘”空间理论来谈论办公室恋情。谈到弦论的普及，恐怕没有人能比得上布赖恩·格林。他是哥伦比亚大学的物理学教授，也是弦论研究的一员大将。他于1999年出版的《优雅的宇宙》（The Elegant Universe）一书在《纽约时报》的畅销书排行榜上名列第四，并入围了普利策奖的最终评选。格林是美国公共电视网Nova系列专辑的主持人，而他近期刚刚完成了一本关于空间和时间本质的书。《科学美国人》的编辑George Musser最近和格林边吃细弦般的意大利面边聊弦论，以下是这次“餐访”的纪要。 SA：有时我们的读者在听到“弦论”或“宇宙论”时，他们会两手一摊说：“我永远也搞不懂它。” 格林：我的确知道，人们在一开始谈到弦论或者宇宙论时会感到相当的吃力。我和许多人聊过，但我发现他们对于这些概念的基本兴趣是那么的广泛和深刻，因此，比起其他更容易的题材，人们愿意在这方面多花点心思。 SA：我注意到在《优雅的宇宙》一书中，你在很多地方是先扼要介绍物理概念，然后才开始详细论述。实现突破与否，往往就取决于一点点洞察力。格林：我发现这个法子很管用，尤其是对于那些比较难懂的章节。这样一来读者就可以选择了：如果你只需要简要的说明，这就够了，你可以跳过底下比较难的部分；如果你不满足，你可以继续读下去。我喜欢用多种方式来说明问题，因为我认为，当你遇到抽象的概念时，你需要更多的方式来了解它们。从科学观点来看，如果你死守一条路不放，那么你在研究上的突破能力就会受到影响。我就是这样理解突破性的：大家都从这个方向看问题，而你却从后面看过去。不同的思路往往可以发现全新的东西。 SA：能不能给我们提供一些这种“走后门”的例子？格林：嗯，最好的例子也许是维顿（Edward Witten）的突破。维顿只是走上山顶往下看，他看到了其他人看不到的那些关联，因而把此前人们认为完全不同的五种弦论统一起来。其实那些东西都是现存的，他只不过是换了一个视角，就“砰”地一下把它们全装进去了。这就是天才。对我而言，这意味着一个基本的发现。从某种意义上说，是宇宙在引导我们走向真理，因为正是这些真理在支配着我们所看到的一切。如果我们受控于我们所看到的东西，那么我们就被引导到同一个方向。因此，实现突破与否，往往就取决于一点点洞察力，无论是真的洞察力还是数学上的洞察力，看是否能够将东西以不同的方式结合起来。 SA：如果没有天才，你认为我们会有这些发现吗？格林：嗯，这很难说。就弦论而言，我认为会的，因为里面的谜正在一点一点地变得清晰起来。也许会晚5年或10年，但我认为这些结果还是会出现。不过对于广义相对论，我就不知道了。广义相对论实在是一个大飞跃，是重新思考空间、时间和引力的里程碑。假如没有爱因斯坦，我还真不知道它会在什么时候以什么主式出现。 SA：在弦论研究中，你认为是否存在类似的大飞跃？格林：我觉得我们还在等待这样一种大飞跃的出现。弦论是由许多小点子汇集而成的，许多人都做出了贡献，这样才慢慢连结成宏大的理论结构。但是，高居这个大厦顶端的究竟是怎么样的概念？我们现在还不得而知。一旦有一天我们真的搞清楚了，我相信它将成为闪耀的灯塔，将照亮整个结构，而且还将解答那些尚未解决的关键问题。

世界是一张全息图我们这个看似3维的时空，可能被“画”在一个遥远的巨大表面上如果你问别人物理世界是由什么构成的，他很可能告诉你是“物质和能量”。但只要我们学过一点工程、生物和物理的话，就知道信息同样是一个不可或缺的组成部分。只给汽车厂的机器人金属和塑料，它们不可能做出任何有用的东西，只有给它们下达如何焊接的指令它们才能组装出汽车。我们身体细胞中的核糖体拥有阿米诺酸组建模块和ATP合成为ADP过程中释放的能量，但如果没有细胞核中DNA所携带的信息，同样无法合成任何蛋白质。类似地，一个世纪以来物理学的进展告诉我们，信息在物理系统和物理过程中起着关键的作用。实际上，现在就有一个学派认为物理世界是由信息构成的，它的创始人是美国普林斯顿大学的John A. Wheeler。该理论认为信息才是最重要的，物质和能量不过是附属物而已。这种观点引发了对许多古老问题的重新审视。硬盘之类存储设备的信息存储容量获得了飞速发展。这样的进展什么时候会终止？一个重量小于1克，体积小于1立方厘米（这大约是计算机芯片的尺寸）的设备的终极信息存储容量是多少？描述整个宇宙需要多少信息？这种描述能被装入计算机的内存中吗？我们真的能象William Blake说的那样“透过一粒沙看世界”吗？抑或这种说法只不过是诗人的狂想？值得注意的是，近期理论物理学的进展解答了上面的部分问题，而这些回答很有可能是找到客观的最终理论的重要线索。通过研究黑洞的那些神秘特性，物理学家已经推导出了某一部分空间或一定量的物质和能量所能包含信息量的绝对限度。相关的研究结果表明，我们的宇宙也许并不是一个我们所认为的那种三维空间，它很有可能是某种“写”在二维表面上的全息图形。我们对日常世界的三维认知要么是一种玄奥的幻觉，要么就是观照现实的两种方式之一而已。一粒沙也许不能包含整个宇宙，但是一个平板显示器却有可能做到。两种熵正统信息论的创始人是美国应用数学家香农。他于1948年发表了一系列开创性的论文，所引入的熵这一概念如今被广泛用于信息的度量。长久以来，熵就是热力学（研究热的一个物理学分支）的中心概念。热力学中的熵通常被用于表征一个物理系统的无序程度。1877年，奥地利物理学家玻尔兹曼提出了一种更为精确的描述：一团物质在保持宏观特性不变的情况下，其中所包含的粒子所有可能具有的不同微观状态数就是熵。例如，对于包围你的室内空气而言，就可以计算单个空气分子所有可能的分布方式及其所有可能的运动方式。当香农设法量化一条消息中的信息时，他自然而然地得出了一条和玻尔兹曼一样的公式。一条消息的香农熵就是编码这条消息所需二进制位即比特的个数。香农熵并不能告诉我们一条消息的价值，因为后者主要取决于上下文。然而作为对信息量的一种客观度量，香农熵还是在科学技术中获得了广泛的应用。例如，任一现代通信设施——蜂窝电话、调制解调器、CD播放器等等——的设计都离不开香农熵。从概念上来说，热力学熵和香农熵是等价的：玻尔兹曼熵所代表的不同组成方式的数目反映了为实现某种特定组成方式所必须知道的香农信息量。但这两种熵还是存在着某些细微的差别。首先，一名化学家或制冷工程师所使用的热力学熵的表示单位是能量除以温度，而通信工程师所使用的香农熵则表示为比特数，后者在本质上是无单位的。这一差别完全属于习惯问题。即使采用同样的表示单位，两种熵值的量级还存在着巨大的差异。例如，带有1G数据的硅片的香农熵约为10*10个比特（1个字节等于8个比特），这比该芯片的热力学熵可小多了，后者在室温下的取值约为10*23比特。这种差异来源于两种熵在计算时所考虑的不同自由度。自由度指的是某一可变化的量，例如表示一个粒子位置或速度分量的座标。上述芯片的香农熵关心的只是蚀刻在硅晶上所有晶体管的状态。晶体管到底是开还是关；它要么为0，要么为1，是单一的二进制自由度。热力学熵则不同，它取决于每一个晶体管所包含的数十亿计的原子（以及围绕它们的电子）的状态。随着小型化工艺的发展，不久的将来我们就能用一个原子来存储一比特的信息，到那时，微芯片的香农熵将在量级上迫近其材料的热力学熵。当用同样的自由度计算这两种熵时，它们将是完全相同的。

巨粒子的遐想单个暗物质粒子的尺度可能有数光年那么大吗？像NGC3109这样的小型星系，比起物质自由成团情况下还要少见和松散，这或许是作为宇宙“丢失质量”候选者的巨大粒子的不成团所致。 1996年，《探索》杂志刊出了一则愚人节消息，声称一种叫做“巨子”(bigon)的巨型基本粒子的存在是所有无法解释的现象的原因。现在，作为一个生活模仿艺术的事例，一些物理学家提出,宇宙中神秘的暗物质是由非常大的粒子组成，其尺度有数光年之巨甚至更大。在这些巨大粒子碰撞的包围中，普通物质就像鼩鼱在恐龙的巨足间上窜下跳那样竭力维持自身的存在。这个观点源于解释有关暗物质的一个令人费解的现象：虽然暗物质在大尺度上成团，形成了诸如星系团等集群，但是它似乎在小尺度上拒绝聚积成团。天文学家注意到，少数遥远的小星系和亚星系气云比星系团得来的简单推论可能更有启发意义。因此，很多科学家提出构成暗物质相互作用的粒子类似气体中的分子，会产生平衡引力的压力。巨型粒子假说还有另一个成功之处。它利用任何量子化粒子的固有特性来反抗禁闭，而不是去增加暗物质粒子新属性。如果你挤压粒子，你减少了它的位置不确定性的同时却增加了它的动量不确定性。结果，挤压增大了粒子的速度，从而产生了压力来抵消你施加的外力。超过与粒子等效波长可比拟的距离时，量子禁闭将变得重要。抵抗引力似乎需要一个数十光年的波长。什么类型的粒子能有天文学尺度呢？恰巧，物理学家预言了很多其对应粒子能够满足要求的能量场——也就是所谓的标量场。这种场在粒子物理标准模型和弦理论中均有出现。虽然实验物理学家仍需寻找它们当中的任意一种，但理论物理学家确信它们真实存在着。宇宙学家已经将宇宙暴涨和可能导致现在宇宙加速膨胀的暗能量（不同于暗物质）原因归于标量场。如此说来，这样的场真实有效是因为它是爱因斯坦宇宙常数最简单的推广。如果一个标量场缓慢变化，它就好似一个常数，不但数值固定而且没有方向性；相对论预言它将产生出万有斥力。但是如果场足够迅速变化或者振荡，它就会如一般物质或者暗物质那样产生万有引力。早在1960年代，物理学家就提出应对标量粒子组成的实体予以考虑。这一观点在1980年代后期复苏，但是仅仅4年前它才开始被真正接受。两位项目领导者是墨西哥城高等研究中心的Tonatiuh Matos Chassin和Guanajuato大学的Luis Urena Lopez。今年6月，在古巴的Las Villas中央大学 (UCLV)的讨论会上，他们描述了标量粒子如何复现星系内部结构：当这种粒子在星系尺度上集聚成团时，他们交叠形成玻色-爱因斯坦凝聚物,这是过去10年间实验物理学家所创建的低温原子团块的超大型版本。凝聚物具有与那些真实星系相匹配的质量和密度轮廓。暴涨、暗能量和暗物质都被摆在了标量场的门前，这意味着它们可能相互关联。UCLV的Israel Quiros在讨论会上指出同样的场可以导致暴涨和暗能量。其他物理学家已经试图在两种暗能量之间寻找联系。“正如年长的同事经常跟我说的,‘你只能引入先验假定一次’” 而Vanderbilt大学的Robert Scherrer则说：“现在我不得不同时使用两次：我们需要假定一个尚未发现暗物质粒子和一个暗能量的未知来源。”我的模型设法用单一的场来解释两者。但是所有这些模型都遇到了一个棘手的问题。因为粒子的波长和它的质量成反比，所以天文尺度对应着一个极度有悖常理的微小质量，大约是电子伏特（与此相对比，质子质量为109电子伏特）。这就需要物理定律包含一个至今未被发现的对称性。“这样的对称性是可能的，虽然它们看起来有些人为的痕迹。”美国芝加哥大学物理学家Sean Carroll说。此外，设定超大粒子的主要动机——它们阻止成团现象——现在已经不那样令人瞩目了，以至于宇宙学家发现了更加平常的过程(如恒星形成)就可以巧妙地解决这个问题。尽管如此，当物理学家寻求对暗物质的神秘性做出某些解释时，不可避免地会浮现出一些伟大的遐想。

何为世界的本质？这是我不曾间断地思考着的一个问题。或许这是一个令人永不得知的问题。随着一个个未解之谜的不断破解，我们应清楚地认识到：当人类真正认识自我的时候，便是人类灭亡之时。或许已有人提前知道这个答案，但他们都无一例外地出于这样或那样的原因闭口不言！这是“人类存在的终极目的”吗？我们不知道，或许永远也不会知道！

连载之六——【射影几何】射影几何是研究图形的射影性质，即它们经过射影变换后，依然保持不变的图形性质的几何学分支学科。一度也叫做投影几何学，在经典几何学中，射影几何处于一种特殊的地位，通过它可以把其他一些几何学联系起来。射影几何的发展简况十七世纪，当笛卡儿和费尔马创立的解析几何问世的时候，还有一门几何学同时出现在人们的面前。这门几何学和画图有很密切的关系，它的某些概念早在古希腊时期就曾经引起一些学者的注意，欧洲文艺复兴时期透视学的兴起，给这门几何学的产生和成长准备了充分的条件。这门几何学就是射影几何学。基于绘图学和建筑学的需要，古希腊几何学家就开始研究透视法，也就是投影和截影。早在公元前200年左右，阿波罗尼奥斯就曾把二次曲线作为正圆锥面的截线来研究。在4世纪帕普斯的著作中，出现了帕普斯定理。在文艺复兴时期，人们在绘画和建筑艺术方面非常注意和大力研究如何在平面上表现实物的图形。那时候，人们发现，一个画家要把一个事物画在一块画布上就好比是用自己的眼睛当作投影中心，把实物的影子影射到画布上去，然后再描绘出来。在这个过程中，被描绘下来的像中的各个元素的相对大小和位置关系，有的变化了，有的却保持不变。这样就促使了数学家对图形在中心投影下的性质进行研究，因而就逐渐产生了许多过去没有的新的概念和理论，形成了射影几何这门学科。射影几何真正成为独立的学科、成为几何学的一个重要分支，主要是在十七世纪。在17世纪初期，开普勒最早引进了无穷远点概念。稍后，为这门学科建立而做出了重要贡献的是两位法国数学家——笛沙格和帕斯卡。笛沙格是一个自学成才的数学家，他年轻的时候当过陆军军官，后来钻研工程技术，成了一名工程师和建筑师，他很不赞成为理论而搞理论，决心用新的方法来证明圆锥曲线的定理。1639年，他出版了主要著作《试论圆锥曲线和平面的相交所得结果的初稿》，书中他引入了许多几何学的新概念。他的朋友笛卡尔、帕斯卡、费尔马都很推崇他的著作，费尔马甚至认为他是圆锥曲线理论的真正奠基人。迪沙格在他的著作中，把直线看作是具有无穷大半径的圆，而曲线的切线被看作是割线的极限，这些概念都是射影几何学的基础。用他的名字命名的迪沙格定理：“如果两个三角形对应顶点连线共点，那么对应边的交点共线，反之也成立”，就是射影几何的基本定理。帕斯卡也为射影几何学的早期工作做出了重要的贡献，1641年，他发现了一条定理：“内接于二次曲线的六边形的三双对边的交点共线。”这条定理叫做帕斯卡六边形定理，也是射影几何学中的一条重要定理。1658年，他写了《圆锥曲线论》一书，书中很多定理都是射影几何方面的内容。迪沙格和他是朋友，曾经敦促他搞透视学方面的研究，并且建议他要把圆锥曲线的许多性质简化成少数几个基本命题作为目标。帕斯卡接受了这些建议。后来他写了许多有关射影几何方面的小册子。不过迪沙格和帕斯卡的这些定理，只涉及关联性质而不涉及度量性质(长度、角度、面积)。但他们在证明中却用到了长度概念，而不是用严格的射影方法，他们也没有意识到，自己的研究方向会导致产生一个新的几何体系射影几何。他们所用的是综合法，随着解析几何和微积分的创立，综合法让位于解析法，射影几何的探讨也中断了。射影几何的主要奠基人是19世纪的彭赛列。他是画法几何的创始人蒙日的学生。蒙日带动了他的许多学生用综合法研究几何。由于迪沙格和帕斯卡等的工作被长期忽视了，前人的许多工作他们不了解，不得不重新再做。 1822年，彭赛列发表了射影几何的第一部系统著作。他是认识到射影几何是一个新的数学分支的第一个数学家。他通过几何方法引进无穷远虚圆点，研究了配极对应并用它来确立对偶原理。稍后，施泰纳研究了利用简单图形产生较复杂图形的方法，线素二次曲线概念也是他引进的。为了摆脱坐标系对度量概念的依赖，施陶特通过几何作图来建立直线上的点坐标系，进而使交比也不依赖于长度概念。由于忽视了连续公理的必要性，他建立坐标系的做法还不完善，但却迈出了决定性的一步。

关于非欧几何事实上，非欧几何的产生是由欧几里得的第五公设（公理）的证明引起的。例如，球面三角。现代物理学（如相对论）在解释时空性质时用的即是非欧几何。

连载之四——【高等代数】初等代数从最简单的一元一次方程开始，一方面进而讨论二元及三元的一次方程组，另一方面研究二次以上及可以转化为二次的方程组。沿着这两个方向继续发展，代数在讨论任意多个未知数的一次方程组，也叫线型方程组的同时还研究次数更高的一元方程组。发展到这个阶段，就叫做高等代数。高等代数是代数学发展到高级阶段的总称，它包括许多分支。现在大学里开设的高等代数，一般包括两部分：线性代数初步、多项式代数。高等代数在初等代数的基础上研究对象进一步的扩充，引进了许多新的概念以及与通常很不相同的量，比如最基本的有集合、向量和向量空间等。这些量具有和数相类似的运算的特点，不过研究的方法和运算的方法都更加繁复。集合是具有某种属性的事物的全体；向量是除了具有数值还同时具有方向的量；向量空间也叫线性空间，是由许多向量组成的并且符合某些特定运算的规则的集合。向量空间中的运算对象已经不只是数，而是向量了，其运算性质也由很大的不同了。高等代数发展简史代数学的历史告诉我们，在研究高次方程的求解问题上，许多数学家走过了一段颇不平坦的路途，付出了艰辛的劳动。人们很早就已经知道了一元一次和一元二次方程的求解方法。关于三次方程，我国在公元七世纪，也已经得到了一般的近似解法，这在唐朝数学家王孝通所编的《缉古算经》就有叙述。到了十三世纪，宋代数学家秦九韶再他所著的《数书九章》这部书的“正负开方术”里，充分研究了数字高次方程的求正根法，也就是说，秦九韶那时候以得到了高次方程的一般解法。在西方，直到十六世纪初的文艺复兴时期，才由有意大利的数学家发现一元三次方程解的公式——卡当公式。在数学史上，相传这个公式是意大利数学家塔塔里亚首先得到的,后来被米兰地区的数学家卡尔达诺(1501～1576)骗到了这个三次方程的解的公式，并发表在自己的著作里。所以现在人们还是叫这个公式为卡尔达诺公式(或称卡当公式)，其实，它应该叫塔塔里亚公式。三次方程被解出来后，一般的四次方程很快就被意大利的费拉里(1522～1560)解出。这就很自然的促使数学家们继续努力寻求五次及五次以上的高次方程的解法。遗憾的是这个问题虽然耗费了许多数学家的时间和精力，但一直持续了长达三个多世纪，都没有解决。到了十九世纪初，挪威的一位青年数学家阿贝尔(1802～1829)证明了五次或五次以上的方程不可能有代数解。既这些方程的根不能用方程的系数通过加、减、乘、除、乘方、开方这些代数运算表示出来。阿贝尔的这个证明不但比较难，而且也没有回答每一个具体的方程是否可以用代数方法求解的问题。后来，五次或五次以上的方程不可能有代数解的问题，由法国的一位青年数学家伽罗华彻底解决了。伽罗华20岁的时候，因为积极参加法国资产阶级革命运动，曾两次被捕入狱，1832年4月，他出狱不久，便在一次私人决斗中死去，年仅21岁。伽罗华在临死前预料自己难以摆脱死亡的命运，所以曾连夜给朋友写信，仓促地把自己生平的数学研究心得扼要写出，并附以论文手稿。他在给朋友舍瓦利叶的信中说：“我在分析方面做出了一些新发现。有些是关于方程论的；有些是关于整函数的……。公开请求雅可比或高斯，不是对这些定理的正确性而是对这些定理的重要性发表意见。我希望将来有人发现消除所有这些混乱对它们是有益的。” 伽罗华死后，按照他的遗愿，舍瓦利叶把他的信发表在《百科评论》中。他的论文手稿过了14年，才由刘维尔(1809～1882)编辑出版了他的部分文章，并向数学界推荐。随着时间的推移，伽罗华的研究成果的重要意义愈来愈为人们所认识。伽罗华虽然十分年轻，但是他在数学史上做出的贡献，不仅是解决了几个世纪以来一直没有解决的高次方程的代数解的问题，更重要的是他在解决这个问题中提出了“群”的概念，并由此发展了一整套关于群和域的理论，开辟了代数学的一个崭新的天地，直接影响了代数学研究方法的变革。从此，代数学不再以方程理论为中心内容，而转向对代数结构性质的研究，促进了代数学的进一步的发展。在数学大师们的经典著作中，伽罗华的论文是最薄的，但他的数学思想却是光辉夺目的。

连载之三——【非欧几何】非欧几何学是一门大的数学分支，一般来讲，他有广义、狭义、通常意义这三个方面的不同含义。所谓广义式泛指一切和欧几里的几何学不同的几何学，狭义的非欧几何只是指罗式几何来说的，至于通常意义的非欧几何，就是指罗式几何和黎曼几何这两种几何。欧几里得的《几何原本》提出了五条公设，长期以来，数学家们发现第五公设和前四个公设比较起来，显得文字叙述冗长，而且也不那么显而易见。有些数学家还注意到欧几里得在《几何原本》一书中直到第二十九个命题中才用到，而且以后再也没有使用。也就是说，在《几何原本》中可以不依靠第五公设而推出前二十八个命题。因此，一些数学家提出，第五公设能不能不作为公设，而作为定理？能不能依靠前四个公设来证明第五公设？这就是几何发展史上最著名的，争论了长达两千多年的关于“平行线理论”的讨论。由于证明第五公设的问题始终得不到解决，人们逐渐怀疑证明的路子走的对不对？第五公设到底能不能证明？到了十九世纪二十年代，俄国喀山大学教授罗巴切夫斯基在证明第五公设的过程中，他走了另一条路子。他提出了一个和欧式平行公理相矛盾的命题,用它来代替第五公设，然后与欧式几何的前四个公设结合成一个公理系统，展开一系列的推理。他认为如果这个系统为基础的推理中出现矛盾，就等于证明了第五公设。我们知道，这其实就是数学中的反证法。但是，在他极为细致深入的推理过程中，得出了一个又一个在直觉上匪夷所思，但在逻辑上毫无矛盾的命题。最后，罗巴切夫斯基得出两个重要的结论：第一，第五公设不能被证明。第二，在新的公理体系中展开的一连串推理，得到了一系列在逻辑上无矛盾的新的定理，并形成了新的理论。这个理论像欧式几何一样是完善的、严密的几何学。这种几何学被称为罗巴切夫斯基几何，简称罗氏几何。这是第一个被提出的非欧几何学。从罗巴切夫斯基创立的非欧几何学中，可以得出一个极为重要的、具有普遍意义的结论：逻辑上互不矛盾的一组假设都有可能提供一种几何学。几乎在罗巴切夫斯基创立非欧几何学的同时，匈牙利数学家鲍耶·雅诺什也发现了第五公设不可证明和非欧几何学的存在。鲍耶在研究非欧几何学的过程中也遭到了家庭、社会的冷漠对待。他的父亲——数学家鲍耶·法尔卡什认为研究第五公设是耗费精力劳而无功的蠢事，劝他放弃这种研究。但鲍耶·雅诺什坚持为发展新的几何学而辛勤工作。终于在1832年，在他的父亲的一本著作里，以附录的形式发表了研究结果。那个时代被誉为“数学王子”的高斯也发现第五公设不能证明，并且研究了非欧几何。但是高斯害怕这种理论会遭到当时教会力量的打击和迫害，不敢公开发表自己的研究成果，只是在书信中向自己的朋友表示了自己的看法，也不敢站出来公开支持罗巴切夫斯基、鲍耶他们的新理论。罗式几何罗式几何学的公理系统和欧式几何学不同的地方仅仅是把欧式几何平行公理用“从直线外一点，至少可以做两条直线和这条直线平行”来代替，其他公理基本相同。由于平行公理不同，经过演绎推理却引出了一连串和欧式几何内容不同的新的几何命题。我们知道，罗式几何除了一个平行公理之外采用了欧式几何的一切公理。因此，凡是不涉及到平行公理的几何命题，在欧式几何中如果是正确的，在罗式几何中也同样是正确的。在欧式几何中，凡涉及到平行公理的命题，再罗式几何中都不成立，他们都相应地含有新的意义。下面举几个例子加以说明：欧式几何同一直线的垂线和斜线相交。垂直于同一直线的两条直线或向平行。　存在相似的多边形。过不在同一直线上的三点可以做且仅能做一个圆。　罗式几何同一直线的垂线和斜线不一定相交。

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⊙国际数学竞赛题⊙ 指出数（√2+√3）的2004次方的十进制小数小数点左边和小数点右边的数字，并给出你的证明。这原本是1980年国际数学竞赛的题，我将它作了推广，得出若干种情形。闲来无事，温习了初等数学的一些知识，很爽！：）

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一道小题目试证：（1）根号2不可能是有理数（2）lg2不可能是有理数。

学术帖—【分数维几何】分形 ---- 自然几何一、欧氏几何的局限性自公元前3世纪欧氏几何基本形成至今已有2000多年。尽管此间从数学的内在发展过程中产生了射影几何、微分几何等多种几何学，但与其他几何学相比，人们在生产、实践及科学研究中更多涉及到的是欧氏几何。欧氏几何的重要性可以从人类的文明史中得到证明。欧氏几何主要是基于中小尺度上，点线、面之间的关系．这种观念与特定时期人类的实践。认识水平是相适应的，数学的发展历史告诉我们，有什么样的认识水平就有什么样的几何学。当人们全神贯注于机械运动时，头脑中的囹象多是一些囫锥曲线、线段组合，受认识主。客体的限制，欧氏几何具有很强的“人为”特征。这样说并非要否定欧氏几何的辉煌历史，只是我们应当认识到欧氏几何是人们认识、把握客观世界的一种工具、但不是唯一的工具。进入20世纪以后，科学的发展极为迅速。特别是～～战以后，大量的新理论、新技术以及新的研究领域不断涌现，同以往相比，人们对物质世界以及人类社会的看法有了很大的不同。其结果是，有些研究对象已经很难用欧氏几何来描述了，如对植物形态的描述，对晶体裂痕的研究，等等。美国数学家B， Mandelbrot曾出这样一个著名的问题：英格兰的海岸线到底有多长？这个问题在数学上可以理解为：用折线段拟合任意不规则的连续曲线是否一定有效？这个问题的提出实际上是对以欧氏几何为核心的传统几何的挑战，此外，在湍流的研究。自然画面的描述等方面，人们发现传统几何依然是无能为力的。人类认识领域的开拓呼唤产生一种新的能够更好地描述自然图形的几何学，在此，不妨称其为自然几何。二、分形的产生一些数学家在深入研究实、复分析过程中讨论了一类很特殊的集合（图形），如Cantor集、Peano曲线、KoCh曲线等，这些在连续观念下的“病态”集合往往是以反例的形式出现在不同的场合。当时它们多被用于讨论定理条件的强弱性，其更深一层意义并没有被大多数人所认识。 1975年，Mandelbrot在其《自然界中的分形几何》一书中引入了分形（fractal)这一概念。从字面意义上讲， fractal是碎块、碎片的意思，然而这并不能概括Mandelbrot的分形概念，尽管目前还没有一个让各方都满意的分形定义，但在数学上大家都认为分形有以下凡个特点：（1）具有无限精细的结构；（2）比例自相似性；（3）一般它的分数维大子它的拓扑维数；（4）可以由非常简单的方法定义，并由递归、迭代产生等。（1）（2）两项说明分形在结构上的内在规律性。自相似性是分形的灵魂，它使得分形的任何一个片段都包含了整个分形的信息．第（3）项说明了分形的复杂性，第（4）项则说明了分形的生成机制。图1中五条曲线自下而上，按图中所示的规律逼近Koch曲线。Koch曲线处处连续，但处处不可导，其长度为无穷大，以欧氏几何的眼光来看，这种曲线是被打入另类的，从逼近过程中每一条曲线的形态可以看出分形四条性质的种种表现。以分形的观念来考察前面提到的“病态”曲线，可以看出它们不过是各种分形。我们把传统几何的代表欧氏几何与以分形为研究对象的分形几何作一比较，可以得到这样的结论：欧氏几何是建立在公理之上的逻辑体系．其研究的是在旋转、平移、对称变换下各种不变的量，如角度、长度、面积、体积，其适用范日主要是人造的物体。而分形的历史只有20来年，它由递归、迭代生成，主要适用于自然界中形态复杂的物体。分形几何不再以分离的眼光看待分形中的点、线、面，而是把它看成一个整体。三、自然几何观及其应用平面上决定一条直线或圆锥曲线只需数个条件。那么决定一片蕨叶（参见图2）需要多少条件？如果把蕨叶看成是由线段拼合而咸，那么确定这片蕨叶的条件数相当可现，然而当人们以分形的眼光来看这片蕨叶时，可以把它认为是一个简单的迭代函数系统的结果，而确定该系统所需的条件数相比之下要少得多．这说明用特定的分形拟合蕨叶比用折线拟合蕨叶更为有效。分形观念的引入并非仅是一个描述手法上的改变，从根本上讲分形反映了自然界中某些规律性的东西，以植物为例，植物的生长是植物细胞按一定的遗传规律不断发育、分裂的过程，这种按规律分裂的过程可以近似地看做是递归、迭代过程，这与分形的产生极为相似。在此意义上，人们可以认为一种植物对应一个迭代函数系统，人们甚至可以通过改变该系统中的某些参数来模拟植物的变异过程。分形几何还被用于海岸线的描绘及海图制作、地震预报、图象编码理论、信号处理等领域，并在这些领域内取得了个人注目的成绩。作为多个学科的交叉，分形几何对以往欧氏几何不屑一顾（或说是无能为力）的“病态”曲线的全新解释是人类认识客体不断开拓的必然结果。当前，人们迫切需要一种能够更好地研究、描述各种复杂自然曲线的几何学：而分形几何恰好可以堪当此用。所以说，分形几何也就是自然几何，以分形或分形的组合的眼光来看待周围的物质世界就是自然几何观。

【中秋节快乐】佳节即至，不知不觉中，数学吧也诞生8个月了，非常感谢朋友们对她的支持！祝朋友们中秋节快乐，阖家幸福！人过留名，雁过留声，留下自己的名字，共度即将到来的中秋佳节和十一长假！富里哀 2004 09 26

Yuhao8862,认识一下我。我是富里哀，原来的号是艾伦·希尔伯特，不过毁了，现在用这个号发，多多支持啊。

jerry_pu和yuhao8862,进！你们都是我的好友啊！你们上学么？几年级？再什么地区？希望交个朋友！