HorAustin的个人资料

一个小小的淡论 V和W是两个向量空间(线性代数中)。集合论的观点认为： V＝span{Ui}ⁿᵢ₌₁满足W＝span{ωj}ᵐⱼ₌₁时，则 V⊕W＝span{Ui⊕ωj}ⁿ，ᵐᵢ，ⱼ₌₁。而范畴论认为： (以下用逻辑符号来表示) V×W→V⊕W∧∃(f：V×W→Z) 两者区别就是：前者从自己的观点来拽述Object，而后者刚借用Object和别的Object间接阐述其自身。因此范畴论从某种程度上比集合论难懂很多，因为范畴论很难直接地诠释一件事或物(就像刚刚的向量空间V和W一样) 每日水贴+玩笑

没啥卵用的非集合类定义来玩点好玩的东西(非集合论的) 先来玩亿玩群论(从有限群开始)： 1、把定义“若κ∈{α＝{Vx|x}}，并由κ得β(β是由κ的子集构成的区组集)，今β使得α_∀t∈γ(γ为β中的区组)，并使得α⊆β，则有β＝{t：t∈β}”放在群论上，可以被史纳坦三元系满足，记作S(t，k，v)，不过以上定义并不能完全满足S(t，k，v)，即α、β、γ、κ不能满足S(t，k，v)，因为它们不是S(t，k，v)的同构群。但可以用单群来构造S(t，k，v)的同构群Aut S(x，y，z)，这时可以用来堆叠：今S(t，k，v)和S(x，y，z)有限，使得有限的马丢单群M可满足S(t，k，v)。如 M1满足S(x，y，z＝1) M2满足S(x，y，z＝2) …… M11满足Aut S(x＝4，y＝5，z＝11) …… M23满足Aut S(x＝4，y＝7，z＝23)，而M22满足M23＝2(2是M23的同构群的指数) (当然也可以用无限单群来完成)

命题逻辑和谓词逻辑的简要介绍一、命题逻辑 1、基本概念原子命题：即不能再被解析或拆解的陈述，在命题逻辑中定为或真或假的描述性陈述。一般用p、q等字母表示复合命题：若干命题组成的命题。表述复合命题时，需要用到逻辑连接词，如p→q、p⇔q等。逻辑联结词：将若干原子命题联结在一起的运算逻辑符号。在命题罗辑中，包括逻辑符号→(条件，如果……那么)、⇔(双向条件)、¬(非)、∧(且、与)、∨(或)。真值：每个命题都有一个取值常元，该取值为真值(命题的真值与谓词、函数(或项)、个体的真值不同，它只有真与假两个常量)。逻辑等价：在给定的命题中，所有命题在所有情况下的真值一致，则在逻辑上等价，称为逻辑等价(≡或：＝或：→) 二、推理方式 1、若p和q都为真，则p∧q为真。若p或q为徦(任意一个)，则p∧q为徦。 2、若p和q为真，则p∨q为真，若p或q为假，则p∨q为假。 3、若p和q为真，则p→q为真且p⇔q为真。若p为假，则无论q是否为真，p→q都为真(但p⇔q为假且q为假时，p⇔q可以为真)。若q为真，则p→q为真且，若q为假，则p→q为假。解析： p∧q、p∨q表示的是相互关系，即p和q相互影响，当p和q任意一个或真或假，对方也会受到影响或真或假。 p→q表示的则是一种蕴含关系，即命题q包含命题p，用集合来表示就是q⊆p。由于p是q的子集，所以当p为假(即p＝Ø)，q＝{p}∨{Ø}，以至于p→q成立。

我又氵贴了

数学叠盒的论外标准这个是我从数学公理把那边搬过来的(不过有改动) 论外底层-论外一线：阿列夫数-V、L、ultimate-L 论外超一线(或称论外天花板)底层：复宇宙、脱殊复宇宙、集合论多元宇宙中层：复复宇宙、复复复宇宙…… 上层：V-逻辑超论外：任意一致的逻辑及其堆叠(也就是用这种来堆叠的自创)

一个物理学的科普贴

关于哥德尔不完备定理 0，哥德尔不完备定理：又称哥德尔不完全定理，是关于算数形式的形式系统不完备的数学定理，逻辑科学的三大发现之一。内容为：(1)若一个包含简单的初等数论的形式系统是一致的，则有不可判定命题。(2)若包含简单初等数论的形式系统无矛盾，则其不矛盾性无法在该形式系统内被证明下面是关于哥德尔不完备定理的相关常识 (楼下写)

来评价一下来评价一下

suitie

量子力学的那里错了，量子力学的那里错了，

g吧真t牛说我xxs，xs，这么有劲说我，就来做几道题(顺便说一下，这种题中学生都能做出来，你们要是做不出来，那你们连xxs都不如) 1、已知函数f(x)＝logα（2+αx）的图像和函数g(x)＝log1/α（2+αx）的图象直线y＝d（d为常数）对称，则α+b＝（） 2、已知定义在R上的函数f(x)满足f(x+y)＝f(x)+f(y)，当x>0时，f(x)<0。若对于∀x∈［0，1］， f(2kx-2x)＜f(k-4) 不等式组 f(2x-kx)<f(k-3) 均成立，则k的取值范围是（） 3、已知x²＝xy+y²＝4，yⁿ＝（） 4、已知f(x)的定义域为R+，且f(x)满足f(2)＝1，f(6)＝1/5；f(xy)＝f(x)+f(y)。则f(3)，f(9)的值为（） 5、用多元函数证明lim(x²+xy+y²)＝7

常见逻辑符号一、个体（元素）与整体（集合）的关系符号 1.个体与整体（从属关系） ∈：属于 ∉：不属于 2.整体与整体 ⊆：包含 ⊇：包含于，被包含二、逻辑推理符号 ⇒：蕴含（ps：→为一般蕴含，⇒为严格蕴含） ⇔：是，为（表示等价） ¬：非，不是（表示否定） ∧：和，与（表示合取） ∨：或，或者（表示析取） ⊕或⊻：异或，要么 ∀：全称，即凡是、每个、任意、一切（表示全称量词） ∃：存在着（表示存在量词/特称量词） ∃!：精确的存在一个（表示唯一量词）：＝、：⇔、≡：被定义为（表示定义）（）：同数学的表示 ├：断定（表示推导） ……（……）：……具有性质…… ……+（……，……）：……的形式大于……的形式（ps：（，）前面的一般用R表示，后面的也是如此） R-（……，……）：……的形式同于……的形式 R（……，……）：……的形式至少同于……的形式三、符号的示例（楼下写）

3W挺可笑的，逻辑符号和集合论符号都不会用也敢胡编乱造 3W挺可笑的，逻辑符号和集合论符号都不会用也敢胡编乱造

不就求导吗，没啥意思不就求导吗，没啥意思

而且这俩还有黑历史而且这俩还有黑历史

这个科普是嘲讽人的，不是真科普这个科普是嘲讽人的，不是真科普

历史上的哲学家一览 1.前苏格拉底时期（公元前7世纪-前5世纪）伊奥尼亚/米利都学派：泰勒斯（624-546 BC）、阿那克西曼德/安纳克西曼德（612-547 BC）、阿那克西美尼/阿纳克西曼尼（586-524 BC）毕达哥拉斯学派：毕达哥拉斯（582-496 BC）、阿尔克蒙（？）艾菲斯学派：赫拉克利特（544-475 BC）、克拉迪鲁（？）埃利亚/爱丽亚学派：色诺芬尼/克赛诺芬尼/赞诺芬尼司（565-473 BC）、巴门尼德（515-43 BC）、芝诺/之诺（491-426 BC）智者学派：普罗泰戈拉（481-420 BC）、扑罗迪克斯（？）、高尔吉亚（483-375 BC）、希庇阿斯/庇阿斯里（？该人物的记载出自柏拉图，是否在历史中存在有争议）其它：恩培多克勒（490-430 BC）、阿纳克萨格拉（？）、留基伯（500-450（以后）BC）、德谟克利特（460-370 BC）

你这太后了，我帮你整吧你这太后了，我帮你整吧

这个是个逻辑学的科普这个是个逻辑学的科普

是与不是的问题

康德的12范畴中，“量”的范畴在集合论上的表示逻辑学番外篇

逻辑学1：逻辑学的三大原则和定律的内涵前文：这是我逻辑学科普的第一文逻辑学（或称逻辑），哲学分支，研究思维规律的形式逻辑类体系，横跨数学，物理学等，是形式科学的基础和前身，最早的逻辑学家是亚里士多德。三大原则，即同一律、矛盾律、排中律。正文：同一、矛盾、排中是逻辑学的基本原则，要理解逻辑学必须搞懂这三个定律。好了，现在开始讲同一律，顾名思义，就是关于逻辑上同一的定律。它的公式为A＝A（A是A），一个东西是它本身。换句话说，事物（概念），必须同一，一个事物不可能是别的事物。比如，一个苹果你总不能说其是梨，因此A＝A。从更深层次讲，我们还可以总结出：A≠非A（A不是非A），即一个东西不是非它本身，比如苹果不是梨。

我黄牌了！ rt

整点干货，搬运+概括海德格尔的《存在与时间》的搬运和概括。

关于自已整的科普系列的概括

头一次见泰勒斯的水本原说是偷的链接：http://tieba.baidu.com/mo/q/checkurl?url=https%3A%2F%2Fmbd.baidu.com%2Fnewspage%2Fdata%2Fvideoshare%3Fnid%3Dsv_14994608246884603382%26source%3Dsearch%26tpl%3Dsearch&urlrefer=71495ccc282964af6f369d6fa1f1e678 这个视频的笑点如下。笑点1：泰勒斯的水本原说是抄管仲的《管子》。up主不明白吗？泰勒斯生活的年代可是公元前六世纪，那个时代中西方文化都没有交际，更不可能有中国的书籍传入西方，除非泰勒斯有能力从古希腊跑到齐国。笑点2：管仲是战国时期的人。春秋和战国都分不清，xswl

有一个非常长的系列（跟哲吧同步）搞一个科普数学、哲学、理论物理学、历史等等的一个科普系列。

整一个非常长的系列搞一个科普数学、哲学、理论物理学、历史等等的一个科普系列。

新年快乐😊 新年快乐😊

效仿+搬运 @紫罗兰之缘效仿你一下，我也来

效仿一下，叠亿叠上帝 @紫罗兰之缘效仿你一下，我也来

狗吧的逆天言论 ls，天天发这种毫无逻辑可言的伪命题，你的说法根本就没有经过逻辑的推演和判断，甚至都没有经过大脑的思考。我只能说，狗吧就是lj，天天有这些无知者发这些没有一点理性和知性的言论 @紫罗兰之缘 @四千以上薛之嫌 @S303（S000）

关于数学、哲学、科学的问答顺序：数学→科学→哲学 1.数学问答问：数学是什么答：数学是一门研究数、几何图形等的学科（一级学科），从抽象事物角度讲，数学是人类对抽象事物的描述，或解释抽象事物的结构和模式的一种方法，是形式科学的一种。“数学”一词源自希腊语μάθημα（现在写作máthēma），意为“课程”（现在写法的意思就是“数学”）；在中国，数学又叫算术或算学。问：我不知道数学史，你能说一下吗答：数学有3600多年的发展史，它起源于人类早期。对于数学史，可以分为五个阶段（史前阶段、早期数学阶段、古代数学阶段、近代数学阶段、现代数学阶段）楼下说。

关于论战圈叠盒现状 1、认同a8的学术型叠盒方法，用专业的学术知识去叠盒子或写构造。这一种叠盒方法具有专业性和知识性，比盲目的叠盒要更好，这是它好处；它的坏处是难度很大，因为不是每个人都能掌握学术知识的。这类人的主要观念：（1）盲目或只追求强度的叠盒是浮躁、凌乱的（2）只追求强度的叠盒是主观的（要依靠人的心理反应），学术类的叠盒是客观的（因为你承不承认它的逻辑结构依然在那）。（3）“超越一切”、“超越全知全能”、“超越‘超越’”等等所有追求强度的盒子都是名词等同，只不过是这样命名和写而已，根本就没有做到，没有实际意义。同时，这些也对应不了真正他们所设定中的东西。这类人大多都比较客观理性，但这样的人很少，甚至可以说在论战圈只占10%，不过他们的观念不会被论战圈中一些较为极端的人承认（这类人稍后再说）。

关于微积分及数学史上有关微积分的问题问：什么是微积分答：微积分是数学的一分支，属于高等数学。它由牛顿和莱布尼茨所创立，目的是为了研究函数的微分和积分。微积分的公式适用于数学（包括逻辑数学）等形式科学领域，适用于物理学、化学等自然科学。问：微积分的公式有什么？答：很多，主流公式有牛顿／莱布尼茨公式，格林公式，高斯公式。问：无穷小数是否能用来定义导数答：不能，伯克莱眀确指出，用无穷小数定义导数有弊端。通过xⁿ 取一个不为0的增量Δx，由(x + Δx)ⁿ − xⁿ 得Δx-nxΔx + (Δx)ⁿ＝nx+Δx，后令Δx＝0，得导数nx。逻辑模型推演如下小前提--设令Δx≠0，导出(x + Δx)ⁿ − xⁿ ＝Δx-nxΔx + (Δx)ⁿ＝nx+Δx。Δx在不为0的设令下，得出［某数］+［非零增量］＝［导数］大前提--迫令Δx＝0，导出nx+（Δx＝0）＝nx。得出［某数］+［零增量］＝［某数］＝［导数］结论：Δx≠0＝Δx 伯克莱用双重错误反向证明（类似反证法）无穷小不能用于定义导数，虽然双重错误并不科学（在那时看来），但依然能导出正解。

错误的实在 “存在”不是实在的谓语，而是系语。也就是说，“存在”不能作为属性或性质，因为系语表示不出“性”，“存在”同“是”，用于连系主谓语，即“存在”只能表示某物（事物，东西）在，而不能表示物性（事物或东西的性质、本质、特点、特征）。另一方面，属性不能推出存在，即事物的属性不能推出该事物存在。我们举个例子（若逻辑推理和知识可以命题化）：命题P：A就是A 命题G：A是……的命题R：A存在通过以上命题，得命题PA≠GA≠RA。原因在于命题P将主语A充当谓语，主语A不能表示属性，但谓语“是……的”可以表示出属性，因此得PA≠GA。至于命题R，前面说了“存在”充当系语，“是……的”是谓语，可以表示属性；但系语不能充当谓语（跟前面主语不能充当谓语一致），即“存在”和“是……的”不等同。因此得S≠T（S表示属性，T表示存在）。

纠正：心跳不是大脑任何一部分的反射心跳指心脏跳动，心跳要依靠心肌才能运作。而心肌是不受大脑控制的，是由独立于大脑的植物神经（即交感、副交感神经的统称）控制的，而非人体的大脑，同样也不由大脑的任何一部分（包括脑干）所控制（这是一个很自然的说法）。这个属于常识，无论你学哪一门学科或专业都应该知道这个。。。

我去玩命了这几天我和我朋友去玩极限运动，如果我s了，这就是我最后一个贴

无限与终极-上帝篇上帝是？上帝一词来源于希腊语的“Ιερό”，直译“被祭拜者” 或“被祭祀者”，指人们所祭祀的神，后来一般译作“上帝”，可见，上帝就是神的意思。在中国（CN），上帝一般指昊天，就是我们所说的“老天爷”。另外，儒家也有也个“上帝”，它和道家认定的世界之本原“道”同位，是儒家的至高神。后来，“上帝”成了宗教用语，一般指犹太教和基督教所信仰的唯一神－天主耶和华。在现代，上帝和各国神话的创世神、至高神、原初神等神，伊斯兰教的真主为同义词，都用于指称神或造物主，即上帝＝神＝真主＝造物主。

无聊时整的历史笔记通过百度网盘分享的文件：文明古国的历史链接:http://tieba.baidu.com/mo/q/checkurl?url=https%3A%2F%2Fpan.baidu.com%2Fs%2F1VMoIJmg2b8kCuRf8f2-W0g&urlrefer=7eb4385848e100b165237b8882182e3e 提取码:r593 复制这段内容打开「百度网盘APP 即可获取」

关于说我是小学生的人说我是xxs是吧，我问泥几个问题，泥答不出来，泥就是xxs我不想说泥，但是泥说我是xxs我可忍不了图见https://tieba.baidu.com/p/8194103513?share=9105&fr=sharewise&see_lz=0&share_from=post&sfc=copy&client_type=2&client_version=12.31.5.0&st=1671772847&is_video=false&unique=7A137C4C7CD6E27A4DC31BAAF7120C84

答案是不可解，因为自我指涉的问题，使其不可解。好比哥德尔不完答案是不可解，因为自我指涉的问题，使其不可解。好比哥德尔不完备定理的“如果公理系统是一致的，则它不能证明自身的一致性”。罗素悖论也是同理，若集合S由不属于它自身的元素组成；则S＝S，S≠S，导致这个矛盾的原因就是自我指涉，即自己指自己，自已涉及自已。S指涉了S自身，使得S＝S，S≠S（你想说你可能不太明白，就是S指涉了S自已，由于指涉了自己，那么S就已经对S作出自我定义，导致予盾；使S既等同（属于）S又不等同S。

需知（）（）本人是影迷／番迷，所以会经常看电影或番，在贴吧基本处于潜水状态（好了，就这么多）

看电影了。电影名：需要知道两个词“公主”、“侍者”，这两个词中间还有一个字，是“和”的近义词

自己整个论战系统（体系）声明一下，这只适合研究论战的人，不适合不会研究的人；本系统涉及数学、哲学、自然科学的知识，楼下开始解读

各位几几后（水贴）本人1995年出生的（但还没到27，要过了12月28日才算） 1、更早 2、90 3、95 4、00 5、05 6、10

这人貌似是a8，论战界中数一数二的大佬。这人貌似是a8，论战界中数一数二的大佬。

证明zfc无法证明的设定以Y表示所有数的类，那么Y必然是ZFC无法指称的，用ZFC解释“所有数的类”本身无法指称，因为在ZFC隶属的形式系统中，无法对“所有”生效，所以ZFC是无法指称Y这个“所有数的类”，也就是说，Y在ZFC上是不可证明的。然而，罗素公理体系可以证明，Y可以解释为包含自身而非集合的类，因为“所有”包括自身，所以可以解释为包含自身的数的类。当然还有一个是ZFC难以或无法证明的，就是“所有数”不属于数集，在罗素公理体系中，“所有”包括“所有”自身，而包括自身的集合不存在，所以“所有数不属于数集”。

ch和ac的独立性（集合论科普） ch和ac是寇恩提出的独立于ZF和ZFC的集合论命题，寇恩曾凭借这两个命题获到菲尔兹奖，定义如下：在ZF协调的假设下，运用力迫法构造了一个ZFC的模型S，S不满足CH，因此ZFC不能证明CH。另外，同样在ZF协调的假设下，可运用力迫法一个给定的ZFC模型S得到S［P］，然后取S［P］的一个子模型T，T满足ZF，然而并不满足AC。因此可证明CH独立于ZFC而AC独立于ZF，所以CH是ZFC上的不可判定命题而AC则是ZF上的。

解答：符号是否是复杂定义的简化其实可以用数学的方式解释：我们定义一道“a+b=c”，不给于描述，那单纯的“a+b=c” 表示什么？如果“a+b=c”都不知道是什么，那复杂的公式（如Dx sin x=cos x之类的函数公式）的发明者不给于描述，你知道他在表达什么吗？一道公式或定理之所以有自己的定义，是因为公式未列出之前，它的已经已经存在。符号的目的是为了将一些比较重要的定义简化表示，但符号并不能完全简化一种东西的定义；相对而言，符号只是完整定义的部分定义的概括，是测面或片面的，必须留下一些定义作为描述。如果没有描述，就像那道“a+b=c”一样，根本就不知道“a+b=c”在表示什么，甚至根本得不到“a+d=c”这条定理。简要是一种完全性的，符号只能对中心定义进行简要化，无法简化外围定义；换而言之，有符号就必须要有围绕符号的说明描述，总是一串无意义的字符；所以符号不是复杂定义的简要表示，而是中心定义的简要表示。 @

1.虚无有很多种定义，一是说无法感知的东西，二是说在物质上没 1.虚无有很多种定义，一是说无法感知的东西，二是说在物质上没有空无的事物和东西亦或者说不存在。 2.真理是事物在主观思维的反射，亦或能反射人的主观精神的事物和东西，经验或事物映射的一种载体；使人得到某种知识的映射物，具备客观性和被动性，真理分理性真理（先验真理）和事实真理（后验真理）。 3.神性是一种理性化的超然事物所具备的性质，即我们无法解释的超然事物用理性分析而得的性质。

序数悖论的列举 1.令Ord 是全体序数的集合，由定理5.3.12得，存在序数α，使得任给β∈Ord ，都有α>β，所以α∈Ord 不存在，但由α是序数得α∈Ord ，α∈Ord又存在。 2.序数α由不属于序数或α自身的数组成，那α是否属于α？根据α的定义α属于α，又根据α的定义α不属于α。（罗素悖论的序数化）

这里来解释一下他要表达的：他的意思是纯战力设定是主观，要凭人这里来解释一下他要表达的：他的意思是纯战力设定是主观，要凭人对其的观点；而数学叠盒是客观的，你认不认，它的逻辑结构和定义都在这自创里

对自创的一些观点前提：本贴并不是抨击别人的体系和批判某些人的行为，只是单纯的提出我个人的观念和评价，请某些人不要理解错了。

我对某些说自创体系超越概念等的观点前提：本贴并不是抨击别人的体系和批判某些人的行为，只是单纯的提出我个人的观念和评价，请某些人不要理解错了。另外，你反驳可以，但不能骂人和跟别人互撕，这种行为一律举报处理。 1、自创是人类主观精神的产物，自创的一切都是由人的意识所支配（你写设定以及别人对你的体系的评价）所以自创体系超越概念、超越逻辑只是写的人自身和支持者承认。信者为客，不信者为主；即信者会认为自创超越概念、超越逻辑等等是客观事实，它就是超越，而不信者会认为超越概念、超越逻辑只是某些人认为而已。 2、概念是可以在人的认知之外的（人的逻辑归纳都会把自身认知之外归于概念），而自创只能在一个人的认知之内；因为在人的认知之外的，人是没有基础的认识的（你说你的自创超越认知其实也在人的认知，因为口头说xxx超越认知任何人都能做到，你开始说或在脑中开始驱使去说时就已经在自己的认知之内了）。而zc是人类的产物，既然是人的产物那必然在人的认知之内，因为你不可能写出你认知之外的东西；所以说自己的产物超越自身认知之外的是天方月潭的。（注意：这里并不是说某些不可知的东西＞自创，因为这些和自创之间比不了） 3、关于拿学科和自创比，其实是非常愚蠢的，因为本质而言，学科是没有“比强弱”、“比高低”这种概念的，所以“强弱”在学科面前是无意义的；学科讲究专业和严谨，自创讲究强度和盒子含量，两者方向不同，并且学科与学科之外的没有意义，所以拿学科和自创比是无意义的。

几个死法奇葩的数学家（水） 1.伽罗瓦（跟情敌决斗被打死）奇葩程度：5分 2.哥德尔（活活饿死）奇葩程度：7分 3.博里叶（把自己关在房间里然后热死）奇葩程度：9分 4.卡尔达诺（因为别人预言他的死亡失败然后自己自杀）奇葩程度：1000分

＂无限与终极＂无限篇在了解无限之前，我们来了解有限和毕达哥拉斯的数：有限，即有限制，受限制的事物就是有限。数，始基的一种，万事万物的根本，毕达哥拉斯认为：1是数的第一法则，是万物之母，一切的一切都是源于1，2是数的第二法则，是不定，完满的1和不定的2构成了各种数；3是全体，代表万物的形体和形体的形态或形式；4是神圣，象征宇宙的创造者，也象征着正义；5有一点特殊，象征婚姻（结合）；6是神的生命，象征灵魂；7象征着机会和选择权；8象征着和谐；9象征着理性与强大，10是宇宙/世界/所有/全部/一切，包含以上的数，象征着完满、完备、完美。此外，另一位哲学家泰勒斯认为世界的本原是＂水＂，泰勒斯认为所有的物质都起源于＂水＂，物质构成世界上的事物，而＂水＂无疑成了世界的本原。字有一点多，还是楼下讲吧

＂无限与终极＂弄一个连续科普贴

哥德尔完备性定理与不完备性定理先来说完备性定理：哥德尔完备性定理是数理逻辑中重要的定理，最熟知的形式声称在一阶谓词演算中所有逻辑上有效的公式都是可以证明的。上述词语“可证明的”意味着有着这个公式的形式演绎。这种形式演绎是步骤的有限列表，其中每个步骤要么涉及公理要么通过基本推理规则从前面的步骤获得。给定这样一种演绎，它的每个步骤的正确性可以在算法上检验(比如通过计算机或手工)。一个公式被称为“逻辑上有效”的，如果它在这个公式的语言的所有模型中都为真。为了形式的陈述哥德尔完备性定理，你必须定义这个上下文中词语“模型”的意义。这是模型论的基本定义。在另一个方向上，哥德尔完备性定理声称一阶谓词演算的推理规则是“完备的”，在不需要额外的推理规则来证明所有逻辑上有效的公式的意义上。完备性的逆命题是“可靠性”。一阶谓词演算的实情是可靠的，就是说，只有逻辑上有效的陈述可以在一阶逻辑中证明，这是可靠性定理断言的。　处理在不同的模型中什么为真的数理逻辑分支叫做模型论。研究在特定形式系统中什么为可以形式证明的分支叫做证明论。完备性定理建立了在这两个分支之间的基本联系。给出了在语义和语法之间的连接。但完备性定理不应当被误解为消除了在这两个概念之间的区别；事实上另一个著名的结果哥德尔不完备定理，证实了对“在数学中什么是形式证明可以完成的”有着固有的限制。不完备定理的名声与另一种意义的“完备”有关，参见模型论。　更一般版本的哥德尔完备性定理成立。它生成对于任何一阶理论 T 和在这个理论中的任何句子 S，有一个 S 的自 T 的形式演绎，当且仅当 S 被 T 的所有模型满足。这个更一般的定理被隐含使用，例如，在一个句子被证实可以用群论的公理证明的时候，通过考虑一个任意的群并证实这个句子被这个群所满足。完备性定理是一阶逻辑的中心性质，不在所有逻辑中成立。比如二阶逻辑就没有完备性定理。完备性定理等价于超滤子引理，它是弱形式的选择公理，在不带有选择公理的 Zermelo–Fraenkel集合论中有着等价的可证明性。