涉汇贤散 涉汇贤散
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0是意义 0是数学的灵魂,只有理解了0的意义才可以理解数学的理论意义和使用方法。 1、0的直觉意义是没有。比如一个苹果,吃掉了就没有了,于是又1-1=0。虽然是直觉,但如果没有苹果等等这些自然现象的客观依据(也就是实在的定义項),我们是无法定义0的。所以,定义永远都是以“有”来定义“无”的,逻辑上来说“没有”是无法成为定义項的。没有只是直观的性质,绝不是内涵,这一点非常重要。由于0是以自然数(最起码需要一个1,比如一个苹果吃掉了)为定义项的,但“没有”比直觉上的“有”要小,所以0也就从直觉出发逻辑上成为最小的自然数了。但这个自然数的特殊性在于没有自然客观的物质对应,从直觉上我们永远也找不到物质与0相互作用的任何现象,所以引入“0不与任何物质实在发生相对作用”这样一条公理“是符合经验主义的-----这条公理的作用是确定最基本的数学运算是否符合自然客观所必须的。比如2X0,如果表示两个0相加,结果应该是2;如果表示2乘以没有,客观结果是2不会因为0而消失(毕竟2X0不是2-2),结果还是2;如果表示两个“没有”的和,那么结果就是没有(但我们对“没有”之间进行数学运算是不是吃饱撑的?),等于0.需要选择。 2、0从逻辑上来说是“有”。为什么呢?0最为自然数不能说自然是“没有”,而且它又是最小的,在理论构造的逻辑上无法让“既是最小但又不存在”来完成实在的构造,所以逻辑上0必须是“存在”,是理论构建的逻辑必然。但它是一种特殊的“存在”,不与其它实数发生相对的实在作用。它的理论意义仅在于一个单位被无穷个0所理论构造。这就是数学与物理的本质区别。1的直觉注意永远无法达到理论的形而上的层次,但理论必须形而上,不然怎么叫“抽象”? 理论一定要清楚自己建立的基础。比如数学,如果忘掉自己虽然高于直觉但却来自于直觉,就会“唯形而上”,就会脱离实际。实践应该记住目的是为了建立理论,不然就会“机械唯物”永远无法达到形成理论的高度而自洽。比如0.9的无限循环在直觉的潜无穷思想中无休止地矛盾。
实无穷与潜无穷的矛盾统一 实无穷思想是指无穷是一个已经构造完成的静止的实在结果,而潜无穷思想则认为无穷是一个永远无法完成构造的变化的过程。 举个例子:比如0.9的无限循环,实无穷认为0.9的无限循环是一个构造完成的结果,它等于1;而潜无穷则认为0.9的无限循环是一个永远无法构造完成的变化的运动,它永远可以趋近于1当不等于1。 由于实无穷与潜无穷都承认1可以无限2分,也就是说实无穷与潜无穷共同承认连续性。 它们的逻辑基础,分歧在于无穷是不是一个静止的结果还是永远变化的过程。 实无穷面对潜无穷最大的问题在于:实无穷既然认为无穷是一个实在结果,就应该通过有限构造出这个结果而不是通过人择性人为地选择这个观点。 根据目前的除法规则,0.1至0.8的无限循环均可根据有限构造(1/9至8/9),但0.9的无限循环只能靠无限数列来构造完成,这使得实无穷与潜无穷到目前还有争论。 下面,根据对目前的除法规则“余数必须小于除数”进行商榷来解决实无穷与潜无穷的矛盾。由于除数与余数之间的关系只有大于、等于、小于,所以通过逻辑分析可以发现“余数必须小于除数”的除法规则无法解释“余数必须不大于除数”,也就是说并没有考虑除数等于余数情况。 考虑到当除数等于余数时,9/9=0.9的无限循环。那么,在此条件下0.9的无限循环被有限构造了出来,所以有理由认为“除数必须不大于余数”的除法规则比“除数必须小于余数”更具有逻辑完备性。 由于0.9的无限循环可以通过有限构造出来,则证明0.9的无限循环是一个构造完成的静止的结果,那么实无穷就是合理的理论基础。而从潜无穷的角度考虑,恰恰是因为潜无穷认为0.9的无限循环是一个用不休止的变化过程,0.9的无限循环才严格等于1,因为一旦运动终止就小于1。 可以看出,在连续性为基础的条件下实无穷与潜无穷其实是等效的,潜无穷是以运动的方式来研究实无穷静止的结果的。当然,由于是以连续性为条件,潜无穷会造成“飞矢不动”的逻辑悖论,这是潜无穷思想自身无法解决的矛盾。
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