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终结“另一个女孩”问题 问题:一对夫妇有两个孩子,已知其中有一个是女孩,求另一个也是女孩的概率。 目前在本吧内争论不休,希望本帖能够终止讨论,拜託评论者看完本帖再来发言。 本人清楚此题在一些教材教辅上出现过,标准答案是1/3。 很多网友争论此题,焦点放在了答案是1/2还是1/3上。 事实上,我们捋一捋原题,会发现原题不是标准的数学语言,进而产生了不同的理解。 我们先做一个歧义分析。 前半句“其中一个”,在日常生活中有不同的解释,可以是“观察到一个”,也可以是“至少有一个”,甚至有时候是“有且至少一个”,当然,在数学上通常的理解是“至少有一个”,这是出题者得出1/3的初衷。但是,後半句“另一个”是指一个特定的人,要求前半句必须有一个特定的参照,所以前半句的“其中一个”只能解释为“观察到一个”,因为不存在“至少有一个,另一个”的句式。 所以出题人没有把自己的题义严谨地表达出来,他如果出题“已知他们至少有一个是女孩,求他们两个都是女孩的概率”,那么答案显然是1/3。 现在很多人是按照“已知我观察到其中一个是女孩,求另一个也是女孩的概率”,也不怪他们将答案解出1/2。 有些人说按照“已知我观察到其中一个是女孩,求另一个也是女孩的概率”,也是1/3,那就真是错误了。按照列举的方法,我们需要把列举出的男男排除掉,理由是这种组合不会观察到女孩;然后,男女和女男也应当排除一半,因为这两种组合有1/2的可能会观察到男孩,而不是女孩,所以有1/8+1/8=1/4;最後还有女女组合的1/4。所以女女组合佔了1/2的概率。 最後,提出几个场景,方便大家理解: 1)你与这对夫妇交谈,得知他们有两个孩子,这时一个女孩过来叫了一声爸爸,你问:“这是你女儿啊,你另一个孩子是不是也是女儿啊?”其有1/2概率答是。 2)你是一名招考官,这对夫妇替其女儿投了一份简历,你看过简历问他们“有几个孩子?”答“两个”,“另一个是不是也是女儿啊?”其有1/2概率答是。 3)你与这对夫妇交谈,问他们“有几个孩子?”答“两个。”“有没有女儿啊?”“有。”“还有一个也是女儿吗?”其有1/3概率答是。 4)社区组织活动,要求一个家庭只能一个女孩参加,你看到一个家庭的女儿参加了活动,你会认为他家裡有1/3概率还有一个女儿。 综上所述,这道题目出现争议,根本原因是歧义,如果按照标准数学语言出题,则不会产生争论。
深度分析“其中有一个是女孩,求另一个也是女孩的概率”问题 问题:一对夫妇有两个孩子,已知其中有一个是女孩,求另一个也是女孩的概率。 这道题经常出现在各大贴吧和问答平台,当然主要是因为它在教材和教辅上经常出现。 这道题的标准答案,不论是教材还是教辅,均为1/3。这一结果与大多数人的潜意识相悖,导致在各大贴吧和问答平台争论不休。 那么,既然教材和教辅答案是1/3,是不是就一锤定音了呢?不是的,因为教材和教辅作出的解答不能让人信服。教材不是神,也会出错,虽然是经过很多专家评审过了的,但也早有再版更正的案例。而且有时有些知识超出相应年龄学生的能力,教材会选择回避,教辅却不着边际地扩展到错误领域,比如:1800、1900年是平年,教辅会出题1400、1500年是平年还是闰年,给出答案是平年,而事实上是闰年;夏至日白昼最长黑夜最短,教辅会出题日出最早的那天是哪天,给出答案是夏至日,而事实上,夏至日既不是日出最早也不是日落最晚。如果你是一个迷信权威的人,那么就不要再往下看了。 首先,有些人对概率的理解不够全面,认为只有未发生的事物才有概率,已经发生的事物要么是要么不是,没有概率。这种认识当然是错误的。有一种概率,是根据你获得的信息量,来判断事物的可能性,好比你玩鬥地主,你会关注另外两人手中是否有炸弹,随着不断地出牌,有炸弹的概率会不断变化,这一概率对于三名玩家也会因为各自掌握的信息不同而不等。 其次,我要声明,这道题的题设是有问题的,因为它没有标明具体的场景,场景不同,答案也会不同。 下面我来列举几个场景: 1)你与这对夫妇交谈,得知他们有两个孩子,这时一个女孩过来叫了一声爸爸,你问:“这是你女儿啊,你另一个孩子是不是也是女儿啊?” 2)你是一名招考官,这对夫妇替其女儿投了一份简历,你看过简历问他们“有几个孩子?”答“两个”,“另一个是不是也是女儿啊?” 3)你与这对夫妇交谈,问他们“有几个孩子?”答“两个。”“有没有女儿啊?”“有。”“还有一个也是女儿吗?” 以上三个场景,前两个概率是1/2,後一个概率是1/3。具体不作解释,不懂的可以在楼下探讨。 再次,我要指出,这道题是有歧义的。有人可能会觉得没有歧义,鲁迅文章也用过“其中一棵是棗树,另一棵也是棗树”的句式。我认为,鲁迅的这句话不说有语病吧,至少不符合当代语言习惯,不然也不会有那么多文章针对这句话作各种分析。 回到题目,教材题目的本义是“一对夫妇有两个孩子,已知其中至少有一个是女孩,求两个孩子全是女孩的概率。”这是没歧义的,而原题的歧义有两处。 第一处,在日常生活中,“其中有一个”一般是特指,有时候也作泛指,在数学语言中作泛指较多。在此,我认为用更为准确的表述更好。 第二处,“另一个”必须在特指的基础上才能指代,没有特定的事物是不能说“另一个”的,如果前半句改为“至少有一个”,这里也不能用“另一个”。你仔细看前面第三个场景的用词没有?那里用的是“还有一个”。所以“另一个”这个词的出现导致前半句只能是特指,偏离了题目本义。 最後,作一下总结。这道题目出现争议,根本原因一是没有场景描述,二是文字有歧义。如果一定要一个答案的话,1/2的答案更贴合题目。 据说这道题很赚经验。
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