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4阶,是Abel群。
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·为什么“无穷大”有大有小 在开始这个问题之前,我们先来思考一个问题:如果你是一个南方古猿,你不知道“数字”是个什么,你怎么判断两堆东西——比如说是一堆苹果和一堆香蕉,数目一样呢? 我们可以采取这样的一种办法:找两个胃口好的南方古猿——比如江梨和物魔,每一次江梨吃一个苹果,同时物魔吃一个香蕉。一直吃下去,如果同时吃完,那就说明两堆数目一样。更抽象地讲,我们可以把两个集合中的元素进行“配对”,能全部配对就一定数目相同。 众所周知,自然数有无穷多个,那么我们不妨把这个“无穷多”定义为一个“基准”(将其计作“阿列夫0”)我们的数无法表明“无穷多”究竟如何“多”,所以面对“无穷多”时,我们的处境和南方古猿并没有什么不同,也只能用同样的方法判断多少。 如此,我们发现可以判断出:自然数和正整数一样多。因为只需要把自然数中的0匹配正整数中的1,把自然数中的1匹配正整数中的2,把自然数中的2匹配正整数中的3......如此,每一个都被配对了,那么说明这两个集合中元素个数是相同的。 可是,如果考虑自然数的“幂集”,也就是“自然数集合所有子集”的集合呢? 我们假设存在一种配对方法可以成功,那么我们考虑以下几个问题:(这个配对方法已经确定) ①考虑自然数集的一个子集:所有不在自己配对的“幂集中的元素(这个元素是自然数集的一个子集)”中的自然数所构成的集合,它显然是幂集的一个元素(这个元素是自然数集的一个子集)。 ②那么,谁和它配对呢? ③如果和它配对的自然数在它当中,那么根据我们取出这个集合的方法,它就不在它当中。 ④如果和它配对的自然数不在它当中,那么根据我们取出这个集合的方法,它就在它当中。 绕口令般的证明让我们发现,无论如何都会出现一个矛盾,所以这个配对方法不可能存在,也就说明了幂集和自然数集合的“无穷大”不相同,显然幂集更大,所以就得出了,“幂集元素个数的无穷大比自然数集元素个数的无穷大要更大一些”的说法。
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