zyhabb zyhabb
关注数: 119 粉丝数: 129 发帖数: 551 关注贴吧数: 20
如何培养一些能力??? 如何培养学生的猜想和直觉能力 南京大学哲学系 郑毓信 11月7日   近期《中学数学教学参考》刊登了不少较好的文章,特别是,与数学教育总的改革形势相呼 应,其中更包括了一些由身处教学第一线的教师所撰写的颇具新意的文章.例如,本刊第10 期上所发表的张蕴禄同志的文章(以下简称“张文”),就围绕如何培养学生的猜想和直觉能 力 这一十分重要的问题提出了一个与传统观点很不相同的见解:“能否少问学生几个‘为什么 ’”.    事实上,正如人们现已普遍认识到的,我们应当把培养学生的创新能力作为数学教育的一 个基本目标.但是,如果我们的教师不具有任何的创新意识,而只是束缚于各种传统的观念 或教学模式中,那么,上述的目标自然就不可能顺利地得以实现.(也正是在同样的意义上 ,笔者以为,我们并应充分肯定《中学数学教学参考》在这一方面所发挥的重要的导向作用 ;而且,与全国诸多的同类刊物相比,《中学数学教学参考》更在创新上表现出鲜明的特色 .对此读者也可作出自己的判断.)    然而,在充分肯定创新精神的同时,笔者以为,我们又应注意作出适度的平衡,特别是应 当防止因“标新立异”而由一个极端走向另一个极端.以下就从这样的角度对如何培养学生 的猜想和直觉能力的问题作出进一步的分析,或者说,即是对“张文”所提出的观点作一必 要的补充或澄清.    首先,笔者以为,这是“张文”的一个基本立足点,即我们应当注意培养(应当指明,在 “张文”原来的意义上,使用“保护”这样一个术语也许是更为恰当的)学生的猜想能力、 想象能力和直觉能力.这一基本主张当然无可非议;而且,笔者也认为学生(至少是一部分 同学)对于某些问题能作出很好的猜测,或者说具有很好的直觉能力;再者,“在数学中(又 )确实有许多‘只可意会、不可言传’的东西,要说明为什么有时是很困难的”.但是,现 在的问题是,我们能否由此而引出这样的结论,即应“少问学生几个‘为什么’”?    我想对于直觉的“易谬性”在此不用作过多的强调;但是,如果不是坚持提出“为什么 ”,学生又怎么可能很好地形成“证明”的意识呢?我们又怎么能够深切地认识到“证明” 的必要性及其积极意义呢?    事实上,在笔者看来,除历史,特别是中国古代数学发展的历史以外,美国自80年代以来 在“问题解决”这一方向上所进行的改革实践也已为上述的结论提供了进一步的 论据.具体地说,在所说的改革实践中人们经常可以看到这样的现象,即学生们(甚至包括 教师)只是满足于用某种方法(包括观察、实验和猜想)求得了问题的解答,却不再对此进行 进一步的思考和研究,甚至未能对所获得结果的正确性作出必要的检验和证明.这种现象当 然引起了人们特别是数学家的极大不安.例如,美国加州大学的伍鸿熙教授就曾强调指出, 对于直觉与非形式的强调是无可非议的,但是,我们并不能以此去取代数学证明,而只能作 为后者的必要补充;而“如果在解决问题的过程中总是满足于不加证明的猜测,他们(指学 生们——注)很快就会忘记在猜测与证明之间的区分”,而后者甚至可以说比根本不知道 如 何去解决问题更糟,因为,“证明正是数学的本质所在”.(详见另文:《关于“大众数 学”的反思》.载:《数学教育的现代发展》.南京:江苏教育出版社,1999)    当然,应当明确的是,“张文”并没有任何否定证明的意思,勿宁说,他所强调的主要是 这样一点:“数学教学应重视数学猜想和数学直觉思维.特别是在猜想阶段,在不知道结论 是什么的阶段,尽量少问学生‘为什么’.”但是,在笔者看来,这事实上即就涉及到了如 下进一步的问题,即应如何去培养学生的猜想和直觉能力?特别是,所说的这两种能力究竟 应被看成是一种天赋,还是有一个后天发展的过程?另外,多问“为什么”是否就会抑制学 生猜想和直觉能力的发展?
高等代数巡礼 初等代数从最简单的一元一次方程开始,一方面进而讨论二元及三元的一次方程组,另一方面研究二次以上及可以转化为二次的方程组。沿着这两个方向继续发展,代数在讨论任意多个未知数的一次方程组,也叫线型方程组的同时还研究次数更高的一元方程组。发展到这个阶段,就叫做高等代数。高等代数是代数学发展到高级阶段的总称,它包括许多分支。现在大学里开设的高等代数,一般包括两部分:线性代数初步、多项式代数。高等代数在初等代数的基础上研究对象进一步的扩充,引进了许多新的概念以及与通常很不相同的量,比如最基本的有集合、向量和向量空间等。这些量具有和数相类似的运算的特点,不过研究的方法和运算的方法都更加繁复。集合是具有某种属性的事物的全体;向量是除了具有数值还同时具有方向的量;向量空间也叫线性空间,是由许多向量组成的并且符合某些特定运算的规则的集合。向量空间中的运算对象已经不只是数,而是向量了,其运算性质也由很大的不同了。高等代数发展简史代数学的历史告诉我们,在研究高次方程的求解问题上,许多数学家走过了一段颇不平坦的路途,付出了艰辛的劳动。人们很早就已经知道了一元一次和一元二次方程的求解方法。关于三次方程,我国在公元七世纪,也已经得到了一般的近似解法,这在唐朝数学家王孝通所编的《缉古算经》就有叙述。到了十三世纪,宋代数学家秦九韶再他所著的《数书九章》这部书的“正负开方术”里,充分研究了数字高次方程的求正根法,也就是说,秦九韶那时候以得到了高次方程的一般解法。在西方,直到十六世纪初的文艺复兴时期,才由有意大利的数学家发现一元三次方程解的公式——卡当公式。在数学史上,相传这个公式是意大利数学家塔塔里亚首先得到的,后来被米兰地区的数学家卡尔达诺(1501~1576)骗到了这个三次方程的解的公式,并发表在自己的著作里。所以现在人们还是叫这个公式为卡尔达诺公式(或称卡当公式),其实,它应该叫塔塔里亚公式。三次方程被解出来后,一般的四次方程很快就被意大利的费拉里(1522~1560)解出。这就很自然的促使数学家们继续努力寻求五次及五次以上的高次方程的解法。遗憾的是这个问题虽然耗费了许多数学家的时间和精力,但一直持续了长达三个多世纪,都没有解决。到了十九世纪初,挪威的一位青年数学家阿贝尔(1802~1829)证明了五次或五次以上的方程不可能有代数解。既这些方程的根不能用方程的系数通过加、减、乘、除、乘方、开方这些代数运算表示出来。阿贝尔的这个证明不但比较难,而且也没有回答每一个具体的方程是否可以用代数方法求解的问题。后来,五次或五次以上的方程不可能有代数解的问题,由法国的一位青年数学家伽罗华彻底解决了。伽罗华20岁的时候,因为积极参加法国资产阶级革命运动,曾两次被捕入狱,1832年4月,他出狱不久,便在一次私人决斗中死去,年仅21岁。伽罗华在临死前预料自己难以摆脱死亡的命运,所以曾连夜给朋友写信,仓促地把自己生平的数学研究心得扼要写出,并附以论文手稿。他在给朋友舍瓦利叶的信中说:“我在分析方面做出了一些新发现。有些是关于方程论的;有些是关于整函数的……。公开请求雅可比或高斯,不是对这些定理的正确性而是对这些定理的重要性发表意见。我希望将来有人发现消除所有这些混乱对它们是有益的。”伽罗华死后,按照他的遗愿,舍瓦利叶把他的信发表在《百科评论》中。他的论文手稿过了14年,才由刘维尔(1809~1882)编辑出版了他的部分文章,并向数学界推荐。随着时间的推移,伽罗华的研究成果的重要意义愈来愈为人们所认识。伽罗华虽然十分年轻,但是他在数学史上做出的贡献,不仅是解决了几个世纪以来一直没有解决的高次方程的代数解的问题,更重要的是他在解决这个问题中提出了“群”的概念,并由此发展了一整套关于群和域的理论,开辟了代数学的一个崭新的天地,直接影响了代数学研究方法的变革。从此,代数学不再以方程理论为中心内容,而转向对代数结构性质的研究,促进了代数学的进一步的发展。在数学大师们的经典著作中,伽罗华的论文是最薄的,但他的数学思想却是光辉夺目的。
1 下一页