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惟沪有材,于斯为盛。
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解析几何中的椭圆圆化(整合篇) 看到很多同学在问这个问题,感到很光荣。。。我就把我曾经发过的贴子、网上的相关内容整合一下,供大家参考。各位可自己摸索、探究并最终掌握这个方法。相信会对你有所帮助。 【导语】椭圆的问题通常采用二次方程的根与系数的关系或引入参数来求解,但常常导致运算上的繁琐和消参的困难,而圆的有关问题却更容易解决。圆和椭圆具有明显区别,但又有必然联系。对于圆来说,利用垂径定理和点到直线间的距离公式,可以极大地简化计算量。将椭圆转化成圆,是利用了点与曲线、曲线与曲线的位置关系在这一变换下的不变性。 【转换过程】先对椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1做x=ax',y=by'的坐标转换。在这种转换下,xoy平面内的任一点P(x,y)转换为x'o'y'平面内的点P'(x',y')。椭圆方程x^2/a^2+y^2/b^2=1也就转换为x'o'y'平面内的单位圆x'^2+y'^2=1。 【注意】被转化的椭圆的方程是标准方程。【椭圆的一般方程(高中不接触)经坐标变换总可以化为标准方程,当然我们接触的都是标准方程】还要注意要将结果完全还原。 【常见问题】判断直线和椭圆位置关系,常规解法应该是直线与椭圆方程联立根据方程解的个数来判断直线与椭圆的位置关系。但如果把椭圆圆化,此问题便转化为直线与圆的位置关系了。 【对上面问题的证明】一般化情况下,直线Ax+By+C=0与椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1的位置关系讨论(也是一个定理) 如前所述,首先作变换x=ax',y=by',那么直线和椭圆分别转化为直线aAx'+bBy'+C=0和单位圆x'^2+y'^2=1。得到圆心到直线距离公式d=|C|/√(a^2A^2+b^2B^2)。(这个公式是不改变的) 原来的直线和椭圆相交,就是转化后的直线和圆相交,那么d<1,得到a^2A^2+b^2B^2-C^2>0。同理,直线和椭圆相切,就是转化后的直线和圆相切,a^2A^2+b^2B^2-C^2=0;直线和椭圆相离,a^2A^2+b^2B^2-C^2<0。 【再证明】已知椭圆方程x^2/a^2+y^2/b^2=1,过椭圆上任意一点P(x0,y0)的切线方程是x0x/a^2+y0y/b^2=1(相信大家都很熟) 作变换x=ax',y=by',椭圆转化为单位圆x'^2+y'^2=1,P(x0,y0)转化为P'(x0/a,y0/b),此题就变为求在单位圆x'^2+y'^2=1 上一点P'(x0/a,y0/b)的切线方程,易知是x0x'/a+y0y'/b=1。又因为x'=x/a,y'=y/b,所以原来椭圆的切线方程是x0x/a^2+y0y/b^2=1。 初步的教学讲完了,网上找到了例题,大家可以看看。 【一些例题】http://tieba.baidu.com/mo/q/checkurl?url=http%3A%2F%2Fwww.docin.com%2Fp-198206193.html&urlrefer=6852c46a51ab2ea47519c94910c29f93 http://tieba.baidu.com/mo/q/checkurl?url=http%3A%2F%2Fwenku.baidu.com%2Fview%2Fb95ed22f0066f5335a812183.html&urlrefer=50576bc9d37740b4b5016e44c4995c40 加油!好好学吧!
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