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高斯奖得主多诺霍：乐见我们的数学改变着世界! 原文来自2018年国际数学家大会官网。翻译作者，whymath，哆嗒数学网翻译组成员。校对，Math001。关注哆嗒数学网每天获得更多数学趣文斯坦福大学的大卫·多诺霍(David Donoho)教授被授予2018年度高斯奖，以表彰其在数学领域之外获得了重要应用的杰出数学贡献。该消息由国际数学联盟(IMU)主席森重文在2018年8月1日国际数学家大会(ICM) 开幕式的上午宣布。当日上午，里约热内卢里约会议中心内的国际数学家大会现场，官方称赞大卫·多诺霍“对数学做出的奠基性贡献”。颁奖结果宣布后，多诺霍教授谈起了他的早年研究理论被应用到生活中时所他所体验到的乐趣。“几十年前我做了些事，当我看见它们的的确确发生在我们身边时，我感到无比的自豪。我们在改变世界这件事上拥有一种力量，这种力量让我对我所选择的事业十分满足”。他说，所谓的数学事业并不仅限于纯数学或发表论文。“数学和世界的其它部分有极多的联系，随着时间过去，我们看到越来越多的这种联系。现代世界就是建立在数学之上的”。他随即举了智能手机的例子，其交织了大量的诸如素数分解的数学基础知识。多诺霍教授于1957年出生在美国加利福尼亚州，他将自己的职业生涯奉献给了统计学，信息理论和应用数学的研究，并为理论和计算统计学以及信号处理和谐波分析做出了奠基性贡献。他的一些算法为理解最大熵原理，鲁棒过程的结构和稀疏数据描述做出了重要贡献。大卫·多诺霍现任教于斯坦福大学，此前则执教于伯克利大学。他拥有普林斯顿大学的优等学位和哈佛大学的统计学博士学位。他曾在多个行业工作，包括石油勘探，信息技术和计量金融。他曾获得麦克阿瑟奖学金（1991年），考普斯总统奖（1994年），维纳奖（2010年）和邵逸夫数学奖（2013年）。高斯奖(Gauss Prize)，是由国际数学联盟和德国数学协会联合颁发的纪念德国数学家卡尔·弗里德里希·高斯(1777-1855)的奖项，从2006年开始，在每一届国际数学家大会上颁布奖项。高斯教授在数论，统计学，数学分析，微分几何，地球物理学，天文学和光学学领域都做出了重大贡献。关注哆嗒数学网每天获得更多数学趣文

不知不觉，我居然排名第三了！哇卡卡卡，哇咔咔卡卡。

2018数学最高奖菲尔兹奖公布！关注哆嗒数学网每天获得更多数学趣文根据2018国际数学家大会(ICM)官方网站消息。2018年被视为国际数学最高奖项的菲尔兹数学奖已经揭晓他们是：就职于剑桥大学的伊朗裔英国数学家高雪·贝卡尔(Caucher Birkar) 表彰其证明法诺簇的有界性并对极小模型程序的贡献； For his proof of the boundedness of the Fano varieties and for contributions to the minimal model program.就职于苏黎世联邦理工学院的意大利数学家阿雷西奥·费加里(Alessio Figali) 表彰其最优传输理论及其在偏微分方程、度量几何和概率论方面的应用； for his contributions to the theory of optimal transport and its applications in partial differential equations, metric geometry,and probability.就职于波恩大学的德国数学家彼得·舒尔茨(Peter Scholze) 表彰其将p进制域上的算术代数几何转换成对拟状完备空间(perpectoid space)并将其应用在伽罗瓦表示论上，以及对上同调理论的发展做出的贡献； For transforming arithmetic algebraic geometry over p-adic fields through his introduction of perpectoid spaces, with application to Galoids representations and for the development of new chomology theories.就职于普林斯顿大学印度裔澳大利亚数学家亚克西·文卡特什(Akshay Venkatesh) 表彰其综合解析数论，齐次动力系统，拓扑学和表示论的贡献； For his synthesis of analytic number theory,homogeneous dynamics, topology,and representation theory感谢小饕、萧瑟向来、ALIMJAN、math001 第一时间的翻译关注哆嗒数学网每天获得更多数学趣文

志愿填数学系？他们都是神仙？盘点对数学专业的六大误解原文载于QS Ranking网站，有所修改。翻译作者，Math001，哆嗒数学网翻译组成员。关注哆嗒数学网每天获得更多数学趣文高考完了要填志愿？有点动心想考数学专业，又担心这个专业不是自己的菜？担心这个专业太难，太枯燥，就业前景黯淡？你现在需要改变对数学系的“典型”成见，并重新建立对数学专业的认知。误解1：数学系的人都是不食人间烟火的神仙。总是有一些人会不断向你强调，数学系的人就像《生活大爆炸》里的谢耳朵那样神一般的存在。但是，我要告诉你的是，大部分数学系的人都是普通人，他们只是对数学有偏爱而已。不是所有数学系的人都戴眼镜，他们也不会走到哪里身上都揣着计算器，他们更不会只穿纯白T恤和格子衫。数学学科很容易和其他学科结合起来，这些学科包括艺术、科学、语言，甚至历史学习中都可以加入数学。所以，你得抛弃成见，并不是每一个数学系的人都是你想的那样，神仙一样的人。误解2：如果你数学系毕业，你只能去当老师。这完全就是胡说八道。数学系的毕业生是解决问题的好手，那意味着在诸多领域和几乎任何职位，数学系的毕业生都能胜任。是的，通过职业培训，你可以去数钱（成为会计，笑）。但是，你同样可以为保险公司工作，编写程序为某个保险产品的精算赔率。数学专业的就业有着真正的无限可能性，所以你不要在这种思想阴影下认为自己大学生涯里必须掌握教学方面的技能。误解3：所有的数学专业都一样的，因为他们只和数字打交道。实际上，每个数学专业方向都不一样。有的方向和现实应用结合很紧，有的则只是和纯代数打交道。任何人在数学系里都能找到你感兴趣的课程，无论你只是对Excel和统计感兴趣，还是对工程应用或者玩游戏（博弈论，game theory，再笑）感兴趣。奥，数字只是我们日常使用的冰山一角。16进制数、希腊字母，还有大部分英文字母我们都在用，不仅仅是x和y。误解4：只有男生适合数学专业。根据《卫报》的统计，42%的英国数学专业毕业生是妹子。在中国，一些学校数学专业的女生也比男生多，尤其一些师范类的数学专业。所以，在你选的课程之中，有相当比例的老师可能是美女老师。同样，你的数学系同学中也有不少女同学每天和数据分析和微分方程打交道。误解5：数学系的人都是心算大神！一些人可能因为掌握了一些计算技巧在心算的时候可能真的很快。但我打赌，在你的周围朋友中，没几个能在10秒内心算出6432 ÷ 17的结果（结果是378.353……）。数学系的人也是普通人，也严重依赖计算器计算这些结果。他们不都是能背出30以内乘法表的神仙。误解6：从数学系毕业，太难太难了。如果到了毕业，你还只是会识数、简单统计、简单代数这种小学阶段的数学，那么你就不在我的讨论范围。毕竟，在任何专业你想学到知识与技能都必须有足够多的付出，这样才能顺利毕业。但你不必担心数学专业的毕业问题。放心，数学专业又不会咬死你。关注哆嗒数学网每天获得更多数学趣文

不知道发什么内容，就发数学题吧。这个问题，你用几种方法来做？

三分钟告诉你世界上最高端的数学会议是什么样子关注哆嗒数学网每天获得更多数学趣文世界数学家大会（International Congress of Mathematicians，简称ICM）是世界上最重要的数学会议。因为这个大会每四年举办一届，所以有着“数学界的奥运会”的别称。这个会议会讨论世界上最前沿的数学学术问题，也会有各种普及讲座推广数学。另外，被认为数学最高荣誉，有着“数学界的诺贝尔奖”的菲尔兹奖，也是在这个会议上办法的。 2018年又是世界数学家大会的举办年份。此次世界数学家大会将在巴西最大的港口城市里约热内卢召开。大会组织方精心录制了一个大约3分钟左右宣传视频，欢迎大家来参会。视频虽然短小，但内容丰富。大致介绍了城市的概况和发展、城市的活动组织经验（奥运会、世界杯）、巴西组织的数学活动（数学文化节、奥数竞赛）、会场准备情况、会场周边配套和交通状况以及大会的会议内容。欢迎欣赏。enjoy！无法插入sp的链接，只好 v.qq.com/x/page/s06510altnq.html 关注哆嗒数学网每天获得更多数学趣文

三分钟告诉你世界上最高端的数学会议是什么样子

10个最为酷炫的数学结论！欧拉公式只能排第四！原文作者，Michael Alba。翻译作者，donkeycn，哆嗒数学网翻译组成员。校对，小米。关注微信：哆嗒数学网每天获得更多数学趣文许多人会对晦涩的符号以及严格的数学规则望而生畏，一旦看到一个问题中既有数字又有字母，就会很容易放弃。然而，虽然数学有时可能是困难且难以理解的，但它可以证明的结果有时却可以是美丽的、令人难以置信的，或仅仅只是出人意料的。就比如如下这些结果： 10、四色定理四色定理最先是由一个叫Francis Guthrie的人在1852年发现的。当时他试图给一幅画有英国所有郡的地图着色（这是在互联网发明之前，根本没有什么工具可以使用）。他发现了一些有趣的东西：只需最多四种颜色，他就能确保任何两个有公共边界的郡都着不同的颜色。Guthrie想知道这个结论是否对所有的地图成立，这个问题成了多年来一直没有解决的数学趣题。直到1976年（经历了一个多世纪），这个问题终于被Kenneth Appel和Wolfgang Haken解决了。他们的证明相当复杂并且需依赖于计算机。它指出，在任何政区图中（比如说，画有多个国家的地图），对每个国家进行着色，使得着相同颜色的国家不相邻，只需要四种颜色就足够了。 9、布劳威尔不动点定理这个定理来自于一个被称为拓扑学的数学分支，是鲁伊兹·布劳威尔发现的。虽然它的专业表述很抽象，但它在现实世界中有许多令人着迷的应用。现在假设我们有一张图片（例如，蒙娜丽莎），然后我们拿来它的一个副本。我们可以对这个副本做任何我们想做的，放大它，缩小它，旋转它，把它揉作一团，等等。布劳威尔不动点定理说，无论我们对那个副本做了什么，只要我们把它放在原始的图片正上方（且副本在原始的图片上的投影不超出原始的图片的范围），副本上必然存在至少一点，使得该点恰好在它所对应的原始图片上的相应点的正上方。这个点可能是蒙娜丽莎的眼睛，耳朵，或微笑的一部分，虽然不知道它究竟是哪个点，但它确实是存在的。这在三维空间中也是成立的：现在想象我们有一杯静置的水，然后拿起勺子，想怎么搅拌就怎么搅拌，然后再等它完全静止。由布劳威尔不动点定理，将有至少一个水分子，它会恰好位于搅拌前所处于的位置。（哆嗒小编注：意思是这个意思，单用分子举例子，数学角度看，并不严谨。） 8、罗素悖论在19、20世纪的世纪之交，很多人着迷于一个被称为集合论（我们将在后面稍加讨论）的新数学分支。简单地说，集合就是放在一起的一堆东西。当时的观点是，任何东西都可以构成一个集合：所有种类的水果构成的集合、所有美国总统构成的集合，这些都是完全有效的。另外，有一点很重要，集合可以包含其它集合（如前面句子：所有集合的集合也是集合）。在1901年，著名数学家伯特兰·罗素意识到这种观点有一个致命缺陷（并因此导致了第三次数学危机），即：并非任何东西都能构成一个集合。罗素决定对此进行深入研究，并构造了一个集合，其元素为所有的不以自己作为元素的集合。因为所有的水果构成的集合不包含自己作为元素（估且不论西红柿算不算水果），所以它属于罗素构造的那个集合，当然还有许多其它符合该条件的集合。但是罗素构造的那个集合本身又如何呢？如果它不包含自己作为元素，那么按照它的定义，它就应该包含自己。但是等等……现在它确实包含了它自己，所以按照它的定义，我们自然又得把它拿出来。然后，还是按照它的定义，我们现在又必须把它放回去……等等。这一逻辑悖论导致了集合论（它是当今数学最重要的分支之一）的彻底变革。 7、费马大定理还记得在学校里学过的毕达哥拉斯定理吗？它是有关于直角三角形的，说的是：直角三角形中，两个较短边的平方和等于最长边的平方（x² + y² ＝ z²）。皮埃尔·德·费马最著名的定理是：如果你将上述方程中的指数2换成任何一个大于2的正整数，那么这一方程就没有正整数解了（例如，x³ + y³ ＝ z³ 没有正整数解）。正如费马本人所写的：“我发现了一个绝妙的证明，但书旁边的空白太窄了，写不下。”那真是太糟糕了，因为费马早在1637年就提出这个问题，但它在相当长的一段时间内没有被证明。在经历了很长一段时间后，我的意思是，它终于在1995年（在问题被提出了358年之后）由安德鲁·怀尔斯所证明。 6、末日论此处可以合理地假设这篇文章的大部分读者都是人类。作为人类，本条目将特别发人深省：数学可以用来推断我们这个物种可能会在什么时候灭绝。无论如何，我们得用上概率。这个论点（已经存在了大约30年，并且已经被发现或重新发现了好几次）基本上都是在说人类的时间就快到了。一个版本的说法（归功于天体物理学家J. Richard Gott）出奇地简单：如果把人类这一物种完整的存续时间看成是一条人类从出现到灭绝的时间线，那么我们可以来推断我们现在位于该时间线的何处。因为“现在”这一时刻只不过是我们作为一个物种、在我们存续时间内的一个随机的时刻，因此我们可以认为，我们有95%的概率处于该时间线的中间95%的某处。如果我们现在恰好位于该时间线的前2.5%分位点处，那留给我们人类的时间最长。如果我们现在恰好位于该时间线的前97.5%分位点处，那留给我们人类的时间最短。这就让我们能够给出人类还能存续多久的一个范围估计。Gott认为，有95%的概率，人类将会在从现在开始的5100年后到780万年后之间的某个时刻灭亡。所以，人类啊，该干嘛干嘛去吧，最好是赶紧去看看你的人生目标清单上还剩下些什么。 5、非欧几何你在学校里学过的、也许还记得的一点点数学大概就是几何了，甚至也就仅仅是你在笔记里随手涂鸦的那些东西。我们大多数人熟悉的几何叫做欧几里得几何，它基于五条相当简单的、不言自明的关于点和线的公理。这些关于点和线的公理很容易在黑板上表示出来，而且很长一段时间，它被认为是几何唯一可行的方法。然而，问题在于，欧几里得在2000年前提出这些的看似不言自明的真理，并不是在每个人看来都是不言自明的。有一条公理（被称为平行公设）在数学家们看来有点不一样，几个世纪以来许多人试图用其它公理来推导出它。在18世纪初，人们尝试了一种大胆的新方法：于是第五公设（即：平行公设）被简单地替换掉了。然而整个几何体系并没有因此崩溃，反而是产生了一种新的、现在被称为双曲几何（或鲍耶—罗巴切夫斯基几何）的几何。这导致了科学界彻底的范式转变，也为许多不同类型的非欧几何打开了大门。其中比较突出的一个就是黎曼几何，它被用于描述爱因斯坦的相对论（有趣吧，我们的宇宙居然是不遵循欧几里得几何的！）。 4、欧拉公式欧拉公式是这篇文章中最强大的结论之一。它归功于史上最多产的数学家之一：莱昂哈德·欧拉。欧拉一生发表了800多篇论文，其中很多是他失明之后发表的。这个结果乍看起来很简单：e^iπ+1=0。其中e和π都是数学常数，它们经常会出现在各种意想不到的地方，i是虚数单位，它等于-1的平方根。欧拉公式的非凡之处在于：它把数学中最重要的五个数（e，i，π，0和1）组合成了这样一个优美的等式。物理学家理查德·费曼称之为“数学中最神奇的公式”，其重要性在于：它把数学的多个方向统一了起来。 3、通用图灵机我们生活在一个由计算机主宰的世界里。也许你现在也恰好是在计算机上读这篇文章！说计算机是二十世纪最重要的发明之一估计也没什么人会反对，然而你可能会惊奇地发现，计算机起源于理论数学的领域。数学家（同时也是二战时的密码破译者）艾伦·图灵发明了一种被称为图灵机的理论机器。图灵机就像一台非常简单的计算机：它使用无限长的纸带以及3种符号（不妨设为0, 1和空白），然后根据一组指令进行运算。指令可以是：将“0”改为“1”并向左移动一格，或者输入“空白”并向右移动一格（以上只是举例子）。这样，图灵机就可以用来执行任何定义良好的函数运算。图灵接着描述了什么是通用图灵机，它是一个能够模拟其它所有图灵机的图灵机且能读入任意的输入。这基本上就是存储程序计算机的概念了。图灵仅仅只是用了数学和逻辑，就在技术水平发展到可以设计出真正的计算机之前，创立了计算科学领域。 2、不同层次的无穷无穷本身已近是个很难掌握的概念了。人类生就也是很难理解像“无限”这样的概念的。因此，数学家对待无穷一向是谨小慎微的。直到十九世纪下半页，格奥尔格·康托尔才建立了名为集合论（还记不记得我们在罗素悖论那部分曾提到过它？）的数学分支，有了这一理论才能使康托尔能够思索无穷的真正本质。康托尔对无穷的研究成果真是令人叹为观止。事实证明，对任何一个我们能想象到的无穷，总会存在另一个比我们想象到的那个无穷还要大的无穷。最低层次的那个无穷就是所有正整数（1,2,3…）的个数，这个是可数无穷。随着一些非常优雅的推理，康托尔确认了存在另一个层次的无穷：所有实数（1，1.001，4.1516，…… 包括了你能想到的任何数）的个数。这种类型的无穷是不可数无穷，这意味着即使你拥有宇宙中所有的时间，你也不可能在不漏掉某些实数的情况下按某个顺序列出所有的实数。但是请等一下，按照康托尔的理论，在那个无穷之后还有更多的不可数无穷。那么到底有多少呢？当然是有无穷多个了。 1、哥德尔不完备定理在1931年，奥地利数学家库尔特·哥德尔证明的两个定理撼动了整个数学界的核心，因为这两个定理结合在一起给出了让整个数学界沮丧的结论：数学是不完备的，而且永远也不会完备。技术细节就不赘述了。哥德尔第一不完备定理说的是：对任何形式系统（需包含自然数的系统），总存在该形式系统中的真命题，且该命题在该形式系统内是无法被证明的。然后更本质地，哥德尔第二不完全定理说的是：任何公理体系的无矛盾性都不可能在该公理体系内被证明。永远不会有一个能包含所有数学理论的封闭的系统，因为我们不可能让数学体系完备，所以数学体系只能越来越庞大。关注微信：哆嗒数学网每天获得更多数学趣文

发现纯数学与物理之间的神秘联系关注哆嗒数学网每天获得更多数学趣文一位杰出的数学家运用物理学中的概念研究了困惑人们数千年的数学问题，并取得了进展。数学里面充满了超自然的数的系统，其中大部分人从来没有听说过，甚至理解起来有困难。但是有理数是家喻户晓的，它们是自然数和分数——这些有理数你从小学就知道了。但是对于数学家来说，最简单的问题往往最难理解。它们简单的就像一堵抗风墙，没有裂缝、突出物或者明显你可以抓住的某些东西。牛津大学的一位叫金明迥的数学家，对于寻找哪些有理数可以解特定类型的方程特别感兴趣。几千年来无数数论学家挑战过这个问题。他们在解决问题方面进展甚微。当一个问题研究了很久却没答案，我们很自然的就认为唯一的出路就是有一个人能提出新的想法。这个人就是金明迥。“即使我们已经研究了3000年，但研究这些问题依然没有太多的技术手段。所以任何人无论何时提出一个可靠的新方法去解决它都是一个大的进展，这就是金明迥所做的。”威斯康星大学的数学家乔丹·艾伦伯格（Jordan Ellenberg）评论道。在过去的十年间，金明迥想出了一个非常新颖的方法----在看似无规律的有理数域寻找模式。他将这种方法写进论文里，发布在讨论会中，并将其传递给学生，现在学生们自己继续进行研究。但是他一直保留着一些东西，他的思想正走向成熟，不是基于纯粹的数论，而是从物理中借用概念。对于金明迥来说，有理数解多少有点像光的轨迹。如果这样的联系让你觉得像天方夜谭，那就对了，因为一些数学家也甚至和你有相同想法。由于这个原因，金炯明长期以来没有吐露这个想法。“我将它藏了起来，因为一直以来我多少会因为物理联系而不安，”他说。“数论学者是一群相当严谨刻板的人，物理的因素的加入有时使他们更加怀疑我做的数学。” 但是现在金明迥说他已经打算向世人表达他的想法。“我想这个改变单纯的是因为思想成熟起来了！”53岁的金明迥在我们交流这个故事的一封邮件的开头写到。他最近已经举办了一场学术会议，邀请了数论学家和弦论学家。他也为还没有习惯于通过直接类比物理世界来思考数论问题的数学界写一篇文章去描述他的想法。至今仍有一个绊脚石——数学和物理类比的最后一部分，金明迥仍需要继续攻克下去。他希望邀请更多的人去参与他的研究，特别是物理学家，他需要物理学家的帮助去完善它。一个古老的挑战方程的有理解深深地吸引着人们。找到方程的有理解，就像拼图块完美地落实到对应的位置那样令人满足。基于这样的理由，数学中很多著名的猜想都是关于方程有理解的。有理数包含整数和任何可以表示为两个互素的整数之比的数。例如1，-4以及99/100.数学家对丢番图方程（Diophantine equation）——整系数多项式方程的有理数解特别感兴趣。就像x²+y²=1。公元3世纪，生活在古希腊亚历山大城的丢番图就研究了很多这样的方程。有理解很难用全面的方法所找到，因为他们不遵循任何几何模式。考虑方程x²+y²=1。它的实数解是一个圆，拿走在这个圆上的所有不能表示为分数的点，所留下的就是有理解，而这样的解不会形成一个规则的形状。有理解是随机分布在圆周上的。“具有有理坐标点的条件根本不是几何条件。你无法知道如果一些有理点满足某方程，它必须满足写什么条件”金明迥说。有的方程，通常容易找到某个单一的有理解，甚至许多有理解。但对于不喜欢松散结果的数学家来说，他们对研究所有的有理解更有兴趣。这样问题就会难很多了。事实上，甚至是关于有理数最直白的结果，足以让你在数学圈出人头地。如同在1986年，一个名叫法尔廷斯(Gerd Faltings)的数学家荣获了数学最高荣誉的菲尔兹奖，他就是解决了一个叫莫德尔猜想(Mordell conjecture)）的问题，证明了一族特定的丢番图方程仅有有限多的有理解（而不是无限多解）。法尔廷斯的证明在数论中是一个具有举足轻重的结果。但这也是数学家所说的“无用的证明”，事实上这意味着它没有精确计算出有理解的数量，更不用说找出它们了。从那以后，数学家开始寻找解决下一步的方法。有理点看起来就像一个方程的普通图像上的随机点。如果他们改变他们所研究问题的条件，数学家们希望这些点将看起来像一个星座一样，他们能以一些精确的方式去描述。但问题是，在已知的数学领域并没有给出这样的条件。 “为了得到关于有理解的有效结果，人们当然会认为，解决这个问题需要一个全新的想法。”艾伦伯格说。目前，关于新想法是什么样，有两个主要研究。一个来自于日本数学家望月新一，2012年，他在京都大学的教职员网页上发表了数百页复杂又新奇的数学成果。五年后，他的论文依然是高深莫测的。而另一个新想法就来自于金明迥。他试图在扩张的数论空间中思考有理数，在这其中隐藏的模式开始出现。一个对称解数学家通常说研究对象的对称性越好，就越容易研究。鉴于此，他们希望将丢番图方程的研究置于比问题本身产生的空间更对称空间中。如果他们能这样做，他们可以利用新的相关对称性去追踪他们所寻找的有理点。为了见识一下对称性如何帮助数学家解决问题，画一个圆。可能你的目标是定义在圆上的所有点。对称性是一个有用的工具因为它创建了一个映射，可以让你从已知点的性质推出未知点的性质。想象一下，你已经在下半圆找到了所有的有理点。因为圆是反射对称的，你可以水平直径为对称轴翻转下半圆的有理点(改变所有y坐标的符号)，于是一下子你就可以得到在上半圆的所有有理点。事实上，一个圆拥有丰富的对称性，即使知道一个单点的位置，结合对称知识，如果你需要找圆上的所有有理点，只要围绕原点无限旋转对称就可以得到。但是如果你处理的几何对象有着高度无规律性，就像一个随机游走路径，你将需要努力去分别独立找出每一个点——这儿没有对称关系帮助你去将已知点映射到未知点。数的集合也可以拥有对称性。集合的对称性越多，就越容易去理解——你可以应用对称性去发现未知的值。具有特定类型对称关系的数聚在一起形成一个“群”，数学家可以使用群的性质去理解包含在其中的所有的数。一个方程的有理解集合不具有任何对称性也不形成一个群。从而使数学家们不可能一次性就发现所有的解。从二十世纪40年代开始，数学家们开始探索一种方法去将丢番图方程的解放到一个拥有更多对称性的空间中去找。数学家沙博蒂(Claude Chabauty)发现在他构建的更大的几何空间的内部（通过一个被称为p进数（p- adic numbers）的扩张的全域），有理数形成了自己的对称子空间。他开始用这样的子空间与丢番图方程的图像联系起来。两个空间相交的点就是方程的有理解。在二十世纪80年代，数学家科尔曼(Robert Coleman)对沙博蒂的结果进行了改进。在那之后的几十年里，科尔曼-沙博蒂方法成为数学家寻找丢番图方程有理解最有效的工具。但只有当方程的图像与更大的空间大小成比例时，它才起作用。当不成比例时，那么就很难精确找出方程曲线与有理数相交的点。 “如果你有一条曲线在空间内，而且有太多有理点，这些有理点集纠结在一起，你就很难区分哪些有理点在曲线上。”一位在加州大学圣地亚哥分校名叫凯德拉亚（Kiran Kedlaya）的数学家说。于是，金明迥开始着手起这个问题了。为了在沙博蒂的基础上取得更进一步的成果，他希望去寻找一个甚至更大的空间去思考丢番图方程——一个有更多有理点分布的空间，于是他就可以研究更多不同种类丢番图方程的相交点。空间的空间如果你在寻找一个更大的空间，以及在思考如何沿着对称这条线索来寻找答案，借助于物理办法是个好的选择。一般来说，在数学的意义上，一个空间是一个拥有几何或拓扑结构的点集。随意分散的一千个点不会形成空间，因为没有任何结构将他们联系在一起。但是对于一个球，由特殊的连续分布的点构成，它是一个空间。同样的环面、二维平面、或者我们生活中四维时空也是一个空间。除了这些空间外，存在更多的风格迥异的空间，你可以把它看成“空间的空间”。举一个非常简单的例子，想象你有一个三角形——这是一个空间，那么继续想象所有可能的三角形，它们组成一个空间。在这个更大空间内的每一点代表一个特定的三角形，由它所表示的三角形的角的顶点的坐标。这样的想法在物理中非常有用。在广义相对论的框架下，时间和空间不断演变，物理学家把每个时空看作是所有时空所组成的空间中的一个点。空间的空间在规范场论这个物理领域中出现过，这与物理学家在物理空间之上建立的场有关。这些场描述了你在空间中运动时，这些力如何起作用，如同你看到的电磁力和重力一样。你可以想象，在空间的每一个点上，这些场的构造都略有不同——而且所有这些不同的构造聚在一起形成了更高维度的“所有场的空间”中的点。这个物理学中场的空间与金明迥在数论中提出的观点类似。为了便于理解，我们考虑一束光。物理学家想象光穿过高维的场空间。在这个空间中，光线将遵循“最小作用量原理”的路径——也就是从A到B所需最短时间的路径。这个原理解释了为什么当光从一个介质到另一种介质会弯曲——弯曲的路径花费的时间最少。物理学中出现的这些更大的空间的空间具有额外的对称性，这些对称性并不存在于它们所代表的任何空间中。通过对称性可以找出特殊点，例如强调的时间最短路径。在另一种情况下以另一种方式构建，这些相同类型的对称可能会注重其他类型的点——如对应于方程的有理解的点。理学中出现的这些更大的空间空间具有额外的对称性，这些对称性并不存在对称性与物理之间的纠缠数论没有粒子可以追踪，但是数论多少有点像时空，为此它也提供了一种寻找所有可能的路径方法和构建对所有可能路径的空间。从这种基本的对应中，金明迥提出了一种方案：寻找光的轨道以及探寻丢番图方程的有理解是同一个问题的两个方面.正如他在德国海德堡举行的数学物理会议上解释的那样。丢番图方程的解形成空间是由方程定义的曲线。这些曲线可以像圆一样是一维的（一维流形），或者他们可以是更高维的空间。例如，如果你试图寻找丢番图方程———x^4+y^4=1的复解，你就得到了一个三孔环面。在这个环面上的有理解缺乏几何结构，这样就很难去找到他们，但是它们可以被做成对应于具有结构的空间的更高维空间中的点。金明迥通过考虑可以在环面上绘制环的方式（或等式定义的任何空间）来构造空间的高维空间。绘制环的过程如下：首先，选择一个基点，然后从该点绘制一个环到任何其他点，然后再返回。重复这个过程，画出连接基点和圆环面上其他点的路径。最后，你会有一个所有可能的环，他的起始点和结束点都在基点。这种环的集合是数学中一个重要的中心对象，它被称为空间的基本群。你可以使用在环面上的任何点作为你的基点。每一个点将有一个独一无二错综复杂的路径。每一个这些路径的集合可以被表示为一个点在一个更高维的“路径集合的空间”（就像所有的可能的三角形的空间）。这个空间的几何上非常类似于物理学家在规范场理论中构造的“空间空间”。当从一个点移动到环面上另一个点时，路径集合的变化非常类似于在实际空间中从一个点移动到另一个点时场变化的方式。空间的空间具有额外的对称性，不表现于环面本身。虽然环面上的有理点之间没有对称性，但如果你进入所有路径集合的空间，就可以找到与有理点相关的点之间的对称性。这样你可以得到之前所看不见的对称性。 “我时常用到的一个短语是这些路径中有一种“隐藏的算术对称性”，高度类似于规范场论中内在的对称性”金明迥说。就像沙博蒂所说的那样，金明迥通过考虑在他所构造的更大的空间结构中交叉的点去寻找有理解，同时运用这个空间中的对称性去限制空间中的交叉点。他希望建立一个方程去精确的找到这些点。在物理环境中，你可以想象光线可能会采取的所有可能的路径。这是你“所有路径的空间”。在这样的空间中，引起物理学家兴趣的是与时间最小化路径相对应的点。金明迥认为寻找有理点的过程与错综复杂的路径对应的点具有同样的性质——也就是说，当你开始思考丢番图方程的几何形式时，这些点将最小化某些性质。只是他还没有找出这种性质是什么。 “我开始寻找的东西是一个在数学环境中的最小作用量原理，他在邮件中写道。“我还是不太清楚，但我有信心，它就在那里，我能找到它。”一个不确定的未来在过去的几个月，我对几位数学家描述了金明迥由物理所启发的想法，他们都仰慕金明迥对数论的贡献。然而，当把金明迥遇到的困难传达给他们时，他们并不知道该如何下手。 “作为一个具有代表性的数论学家，如果你向我展示了金明迥一直在做的所有的这些“恐怖”的事情，并问我是否受到灵感启发，我会说'你到底在说什么鬼话？'”艾伦伯格如是说。至今，金明迥并没有在他的论文中提及物理学。取而代之的是，他把他的目标称为Selmer簇,他考虑Selmer簇在所有Selmer簇空间中的关系。这些对于数论学者来说是可识别的术语。但是对于金明迥来说他们一直是物理学中某些物体的另一个名称。 “利用物理学中的思想去解决数论中的问题是有可能的，但是我还没有想好如何建立起这样的框架，”金明迥说，“我们在一个关键点上，对物理的理解足够成熟，以及有足够多的数论学者对这个问题感兴趣，所以接下来我们需要进一步推进。” 阻碍推进金明迥的方法一个困难在于在所有错综复杂的圈所组成的空间中寻找一些最小作用量的类型。在物理世界中，这样的观念十分自然，但是在算术中并不那么显然。甚至是对金明迥的工作了解最深的数学家，也非常关心他是否会找到它。 “我认为金明迥的工作将会给我们带来许多有价值的东西。我不认为我们要像金明迥想要的那样清晰的理解有理解所在的地方是某种算术规范场理论（arithmetic gauge theory）的经典解”哈佛大学数学物理教授阿尔纳夫·特里帕蒂说。今天，物理学的语言几乎完全在数论的实践之外。金明迥认为这种情况肯定会改变。40年以前，物理和几何、拓扑的研究几乎都是独立。但在20世纪80年代，屈指可数的几位数学家和物理学家建立了有效的方法，该方法运用物理去研究形状的性质，现在这些学者都是领军人物了，而且该领域从未停止向前。 “如今不了解物理学几乎不可能对几何学和拓扑学感兴趣。我有理由确信在数论上也会有这种情况发生”在接下来的15年，金明迥说，“这样的联系将变得十分自然。” 关注哆嗒数学网每天获得更多数学趣文

女数学家少是因为信心不足？原文作者，Devin Pope，行为科学家。翻译作者，孙云龙，哆嗒数学网翻译组成员。校对，mathyrl。关注哆嗒数学网每天获得更多数学趣文一位前谷歌工程师最近提醒了世人，在包括物理、计算机科学和工程学在内的几个数理领域中，女性的比例不足。造成这一比例偏低的原因引起了激烈的争论，广泛讨论认为进入门槛和考试成绩的性别差异是潜在原因。但新的数据分析却强调了信心在差距中的重要性。一些年轻女性, 包括在数学方面特别有天赋的, 往往都会低估自己的能力。缺乏信心可能会促使这一领域的一些最好的人才去寻求其他成功途径，毕竟, 即使一些人有过人的天赋, 如果她不相信自己是一个天才的数学家, 她也不太可能去喜欢科学、技术、工程、数学的学习生涯，并且以后以此为生。 (顺便说一下, 一些女性发现她们的自信也会受到舆论宣称女性容易成为次等数学家的言论的影响, 但这都是以后的事情了。) 最近, 我偶然发现了一些数据，在我们都特别熟悉的SAT考试中印证了上述观点当一些高中生们在参加 SAT测试时, 他们都会填写一份人口统计学和其他高中和大学有关问题的问卷。这个问卷的老版本会询问学生对他们自己智力能力的信心。具体来说, 学生们会被问及，他们是否相信自己是数学能力最高的前10%。使这个设定变得特别有趣的是, 数据不仅包括学生们对自己能力的信心, 还包括他们的 SAT 分数, 而这个分数为实际能力提供了大致的衡量标准。在九十年代末和二十一世纪初, 样本调查使用了超过 400万 SAT 考生的数据, 下图显示了，实际SAT数学成绩每10分为间隔，在每个分数段中相信自己的数学能力排在前10%的男性和女性的比例。如人所料, 如果学生在SAT数学部分的分数更高 (图中的曲线是向上倾斜的), 他们更有可能相信自己在10%。然而, 这个图表明, 在所有的 SAT 分数水平, 男性比女性对自己的数学能力更有信心。例如, 这个图表明, 达到了700分的男性有67%相信他们的数学能力在前10%, 而女性达到700分的却只有56%的人有相同的信念。这些结果表明, 女性对自己的数学能力的信心是不及相同SAT 数学成绩的男性的。一些人可能会说，这个数据不能说明只在数学学科存在这个性别差异，有可能在所有学科都存在这种差异。幸运的是, 数据能够说明，男性比女性更自信到底是一个普遍现象，还是在数学学科中有一些特殊的数据表现。下图显示了大约 400万SAT考生对通过他们的SAT语文分数他们是否相信自己的写作能力在10%这个问题的回答，不像数学能力图表, 在这里我们可以明显看到, 在取得相同 SAT 成绩时，女性比男性对自己的写作技巧更有信心。因此, 不是在所有科目中, 男性都比女性更有信心。相反, 数学能力似乎是一个特殊的学科, 男性和女性表现出信心上的巨大差别。这些数据在一个熟悉的领域给人提供了令人信服的证据, 证明了即便能考出相同的分数，男性和女性在数学能力上的自信程度也是存在差异的。这些信心的差异可能是造成大学专业学生和职业人员中性别失衡的一个重要因素。精准的在提高数学信心上做工作, 或许是科学、技术、工程、数学内解决性别失衡方面问题的一项重要手段。关注哆嗒数学网每天获得更多数学趣文

数学上下三万年（五）：十九世纪上半叶的数学原文作者，圣安德鲁斯大学数学与统计学院。翻译作者，mathyrl，哆嗒数学网翻译组成员。校对，math001。关注哆嗒数学网每天获得更多数学趣文从今天起，我们将连载这部数学编年史。本文是翻译版本，因为工作量巨大，必有疏漏（包括原文也会有错误），欢迎指正。这应该是网上最全的数学编年史，从公元前30000年到公元2000年，哆嗒数学网为你奉献。这里是数学上下三万年（五）：十九世纪上半叶的数学这个时期欧美基本完成工业革命，各种科学学科开始按现代的门类分化，并影响到社会学科。中国也在这个时期进入半殖民地半封建社会。本期出场人物有：高斯、勒让德、热尔曼、傅里叶、泊松、拉普拉斯、柯西、阿贝尔、哈密顿、狄利克雷、洛巴切夫斯基、雅克比、刘维尔、德摩根、埃尔米特等。本系列下面是往期内容：数学上下三万年（一）：爱在西元前数学上下三万年（二）：从罗马时代到中世纪数学上下三万年（三）：大航海时代数学上下三万年（四）：欧洲资产阶级革命开启 1800年，拉克鲁瓦（Lacroix）完成了他的三卷本教科书《微分学与积分学》（Traité de Calcul differéntiel et intégral）的出版。 1801年高斯出版了《算术研究》（Disquisitiones Arithmeticae）。它包含了七部分，前六部分研究数论，最后一部分研究正十七边形尺规作图。 1801年谷神星被发现然后不知所踪。高斯从少量已有的观测资料计算了它的轨道，随后几乎恰好在高斯预测的位置上谷神星被重新发现。 1801年高斯证明了费马的猜想，即每个正整数可以表为三个三角数之和。1803年拉扎尔·卡诺（Lazare Carnot）出版了《位置几何学》（Géométrie de position），其中首次在几何学中系统地使用了向量。 1804年贝塞尔（Bessel）发表了一篇关于哈雷彗星轨道的论文，其中使用了200年前哈里奥特的观测数据。 1806年阿尔冈（Argand）引入了阿尔冈图作为在平面上复数几何表示的一种方法。 1806年勒让德发展了最小二乘法，用于寻找一组数据的最佳逼近。 1807年傅立叶（Fourier）发现了用一系列三角函数之和来表示连续函数的方法，并在一篇提交到法国科学院的论文《固体上的热传导》（On the Propagation of Heat in Solid Bodies）中使用了这个方法。1808年热尔曼（Germain）对费马大定理作出了重要贡献。这就是被勒让德命名的“热尔曼定理”。 1809年潘索（Poinsot）发现了两个新的正多面体。 1809年高斯描述了最小二乘法，在《天体运动论》（Theoria motus corporum coelestium in sectionibus conicis Solem ambientium）中他使用这种方法寻找天体的轨道。 1810年葛尔刚（Gergonne）出版了他的新数学期刊《纯粹数学与应用数学年刊》（Annales de mathématique pures et appliquées）的第一卷，这个期刊又称为《葛尔刚年刊》（Annales de Gergonne）。 1811年泊松（Poisson）出版了《力学》（Traité de mécanique）。它包含了泊松关于数学在电磁学与力学的应用的研究工作。 1812年拉普拉斯（Laplace）出版了两卷本《概率的解析理论》（Théorie Analytique des probabilités）。第一卷研究了生成函数以及概率论中出现的各种表达式的逼近。第二卷包含了拉普拉斯的概率定义、贝叶斯法则与数学期望。 1814年阿尔冈（Argand）给出了对代数基本定理的一个漂亮证明（带有一些缺陷）。 1814年巴洛（Barlow）制作了巴洛表，给出了从1到10000的整数的因子分解、平方、立方、平方根、倒数和双曲线对数。 1815年彼得·罗热（Peter Roget，《罗热同义词词典》的作者）发明了对数计算尺。 1815年普法夫（Pfaff）发表了关于被称为“普法夫形式”的重要工作。 1816年皮科克（Peacock），赫歇尔（Herschel）和巴贝奇（Babbage）是剑桥分析学会（Analytical Society）的领袖，该学会出版了拉克鲁瓦（Lacroix）的教科书《微分学与积分学》（Traité de Calcul differéntiel et intégral）的英译本。 1817年贝塞尔在研究开普勒问题过程中发现了一族被称为“贝塞尔函数”的整函数，以确定三体在相互引力的作用下的运动。 1817年波尔查诺（Bolzano）出版了《纯分析证明》（Rein analytischer Beweis），试图将微积分从无穷小量概念中解放出来。他不使用无穷小量来定义连续函数。这本著作包含了波尔查诺-魏尔斯特拉斯定理。 1818年受到拉普拉斯工作的启发，亚德里安（Adrain）发表了地球形态以及不同纬度的重力的研究。 1819年霍纳（Horner）向皇家学会提交了一篇论文，给出了用于求解代数方程的“霍纳方法”，该论文于同年发表在英国皇家学会哲学汇刊。 1820年布利安香（Brianchon）发表了《在给定四个条件下，确定等边双曲线的研究》（Recherches sur la determination d'une hyperbole equilatère, au moyen de quatres conditions données），其中包含了九点圆定理的陈述和证明。 1821年纳维对于不可压缩流体给出了著名的“纳维-斯托克斯方程”。 1821年柯西（Cauchy）出版了《分析教程》（Cours d'analyse），这是第一次将数学分析建立在正式基础上。它为巴黎综合理工学院的学生设计，致力于尽可能严格地发展微积分的基本定理。1822年彭赛列（Poncelet）在《论图形的射影性质》（Traité des propriétés projectives des figures）发展了射影几何的原理。这本著作包含了射影几何的基本思想，例如交比、透视、对合、以及虚圆点。 1822年傅立叶（Fourier）1811年的获奖作品《热的解析理论》（Théorie analytique de la chaleur）发表。它使得傅立叶分析的技术被广泛地利用，这将广泛应用于数学和整个科学领域。 1822年费尔巴哈（Feuerbach）发表了他的关于三角形的九点圆的发现。 1823年鲍耶·亚诺什（János Bolyai）完成了关于非欧几何的一个完整体系的论文的准备工作。当鲍耶发现高斯已经预见到他的大部分工作但没有发表任何东西，他推迟了发表。 1823年巴贝奇（Babbage）开始制造一台大“差分机”，该机器可以计算对数以及三角函数。他的经验来自于他在1819年至1822年间制造的小“差分机”。 1824年萨迪·卡诺（Sadi Carnot）出版了《论火的动力，以及合适的机器来开发这个动力》（Réflexions sur la puissance motrice du feu et sur les machines propres à développer cette puissance）。这是一本关于蒸汽机的书，它在热力学中有根本重要性。形成热力学第二定律的基础的“卡诺循环”也出现在这本书中。 1824年阿贝尔（Abel）证明了高于四次的多项式方程没有根式解。他把这个证明自费出版在一本六页的小册子上。1824年贝塞尔对行星扰动进行研究的同时进一步发展了“贝塞尔函数”。 1824年斯坦纳（Steiner）发展了综合几何学。他在1832年发表了关于这个论题的理论。 1825年冈珀茨（Gompertz）给出了“冈珀茨死亡率定律”，它表明死亡率呈几何级数增长，因此当死亡率以对数标度绘制时，得到一条直线，称为“冈珀茨函数”。 1826年安培（Ampère）出版了《关于电动力学现象之数学理论的回忆录，独一无二的经历》（Memoir on the Mathematical Theory of Electrodynamic Phenomena, Uniquely Deduced from Experience）。它包含电动力定律的数学推导，并描述了四个实验。它为电磁理论奠定了基础。 1826年克雷勒（Crelle）开始出版他的期刊《纯数学和应用数学杂志》（Journal für die reine und angewandte Mathematik），后来被称为“克雷勒杂志”。第一卷包含了阿贝尔的几篇论文。 1826年彭赛列（Poncelet）关于圆锥曲线极点与极线的工作使他发现了对偶原理。引入了术语“极线”的葛尔刚（Gergonne）独立发现了对偶原理。 1827年雅可比（Jacobi）在向勒让德写的信中详述了他关于椭圆函数的发现。与此同时，阿贝尔在独立地进行关于椭圆函数的工作。 1827年莫比乌斯（M?bius）出版了关于解析几何的《重心的计算》（Der barycentrische Calkul）。它成为了经典并包含了他的关于射影几何与仿射几何的很多结果。书中他引入了齐次坐标并讨论了几何变换，特别是射影变换。 1827年费尔巴哈（Feuerbach）写了一篇论文，独立于莫比乌斯引入了齐次坐标。 1828年高斯引入了微分几何并发表了《关于曲面的一般研究》（Disquisitiones generales circa superficies）。这篇论文来源于他对测地线的兴趣，它包含了“高斯曲率”等几何思想。这篇论文也包含了高斯著名的“绝妙定理”（theorema egregrium）。 1828年格林（Green）出版了《论应用数学分析于电磁学》（Essay on the Application of Mathematical Analysis to the Theory of Electricity and Magnets），书中将数学应用于电场和磁场的性质。他引入了术语“势”，发展了势函数的性质，并将其应用于电和磁。连接表面积分和体积积分的公式，现在称为“格林定理”，在书中首次出现，“格林函数”也首次出现在书中，该函数被广泛应用于偏微分方程的解。 1828年阿贝尔开始研究双周期椭圆函数。 1828年普吕克（Plücker）出版了《解析几何》（Analytisch-geometrische），发展了“普吕克简算记号”。他比莫比乌斯和费尔巴哈早一年独立地发现了齐次坐标。 1829年伽罗华（Galois）向法国科学院提交了他的第一篇关于方程代数解的作品。 1829年罗巴切夫斯基（Lobachevsky）发展了非欧几何，特别是双曲几何，他关于这个论题的第一份描述发表在《喀山通讯》（Kazan Messenger）。当它被提交到圣彼得堡科学院时被奥斯特罗格拉德斯基（Ostrogradski）拒绝。约1830年巴贝奇（Babbage）创建了用于保险计算的第一个精确精算表。 1830年泊松在弹性力学中引入了“泊松比”，其中涉及材料的应力和应变。 1830年皮科克（Peacock）出版了《论代数》（Treatise on Algebra），试图给代数学一个与欧几里德《几何原本》相媲美的逻辑处理。 1831年莫比乌斯（M?bius）发表了《一大类特殊的反转公式》（über eine besondere Art von Umkehrung der Reihen），书中引入了莫比乌斯函数以及莫比乌斯反演公式。 1831年柯西（Cauchy）给出了单复变解析函数的幂级数展开。 1832年斯坦纳（Steiner）出版了《不同几何形式的依赖关系的系统性发展》（Systematische Entwicklungen ...），书中给出了基于度量考虑的射影几何的一种处理。 1832年鲍耶·亚诺什（János Bolyai）关于非欧几何的工作作为他父亲鲍耶·法尔科斯的书的附录发表。 1833年勒让德指出了关于平行公设的12个“证明”中的缺陷。 1834年哈密顿（Hamilton）在《动力学中的一种普遍方法》（On a General Method in Dynamics）使用代数来处理动力学。这篇论文给出了应用于动力学的特征函数的第一个陈述。 1835年凯特勒（Quetelet）出版了《论人类及其能力之发展》（Sur l'homme et le développement de ses facultés）。他提出了“平均人”的概念，认为平均人是根据正态曲线对人类特征测量的中间值。 1835年科里奥利（Coriolis）出版了《物体系的相对运动方程》（Sur les équations du mouvement relatif des systèmes de corps）。他引入了“科里奥利力”，并证明，如果在运动方程中添加一个称为“科里奥利加速度”的额外的力，那么运动定律适用于转动参考系。同年科里奥利出版了一本关于台球的数学理论的著作。 1836年奥斯特格拉斯基（Ostrogradski）重新发现了格林定理。 1836年刘维尔创办了数学杂志《纯粹与应用数学杂志》（Journal de Mathématiques Pures et Appliquées），这份杂志有时被称为《刘维尔杂志》（Journal de Liouville），记录了19世纪法国数学的一部分重要内容。 1836年彭赛列（Poncelet）出版了《力学在机械中的应用》（Cours de mécanique appliquée aux machines）。它第一次提出了将数学应用于机械设计。 1837年，泊松出版了《关于判断的概率之研究》（Recherches sur la probabilité des jugements）。在书中他确立了概率的法则，给出了“泊松大数定律”，并且对于二项分布一种限制情形的离散随机变量描述了“泊松分布”。 1837年《剑桥与都柏林数学杂志》开始出版。 1837年狄利克雷（Dirichlet）给出了函数的一般定义。 1837年刘维尔（Liouville）讨论了积分方程，并给出了“斯图姆-刘维尔定理”用于求解此类方程。 1837年旺策尔(Wantzel)证明了经典问题倍立方与三等分角不可能用尺规作图。 1838年贝塞尔（Bessel）测量了天鹅座61的视差，这是第一颗被计算视差的恒星。 1838年，库诺特（Cournot）出版了《财富理论的数学原理之研究》（Recherches sur les principes mathématiques de la théorie des richesses），书中讨论了数学经济学，特别是供需函数。 1838年德摩根（De Morgan）发明了术语“数学归纳法”，并使该方法精确化。 1839年拉梅（Lamé）证明了费马大定理在n=7的情形。 1840年柯西出版了四卷本《分析与数学物理习题集》（Exercises d'analyse et de physique mathematique）的第一卷。 1841年高斯发表了一篇光学论文，其中给出了一个公式，用于计算给定焦距的透镜成像的位置和大小。 1841年雅可比（Jacobi）撰写了《函数行列式》（De determinantibus functionalibus），致力于研究函数行列式，现在称为雅可比行列式。 1841年凯特勒（Quetelet）建立了比利时中央统计局。 1842年海森（Hesse）在一篇研究三次和二次曲线的论文中引入了“海森行列式”。 1842年，斯托克斯（Stokes）开始研究流体，出版了《关于不可压缩流体的稳定流动》（On the steady motion of incompressible fluids）。 1843年哈密顿（Hamilton）发现了四元数，它是复数的四维推广。 1843年刘维尔（Liouville）向法国科学院宣称他发现了伽罗华的未发表作品中的深刻结果，并承诺将伽罗华的论文以及他自己的注解发表出来。 1843年库默尔（Kummer）在研究唯一分解时发明了“理想复数”。这导致了环论的发展。 1843年凯莱（Cayley）在他的论文中研究了“n维几何”，他是第一个研究高维几何的人。他使用行列式作为主要工具。 1844年刘维尔找到了第一个超越数，这种数不能被表示为有理系数代数方程的根。 1844年，格拉斯曼（Grassmann）出版了《线性外代数，数学的新分支》（Die lineale Ausdehnundslehre, ein neuer Zweig der Mathematik），其中他发展了一种代数的思想，用特定的法则来处理表示几何对象的符号，例如点、线、面等。 1845年凯莱出版了《线性变换理论》（Theory of Linear Transformations），其中他研究了线性变换的复合。 1845年柯西在研究置换群的时候证明了一个群论基本定理，后来被称为“柯西定理”。 1846年刘维尔在《Liouville's Journal》（刘维尔杂志）发表了伽罗华的关于求解代数方程的论文。 1846年 14岁的麦克斯韦（Maxwell）写了他的第一篇论文《论卵形线与其他多焦点曲线》（On the deion of oval curves, and those having a plurality of foci）。 1847年布尔（Boole）出版了《逻辑的数学分析》（The Mathematical Analysis of Logic），其中他证明了逻辑法则可以用数学方法处理而非形而上学。布尔的工作为计算机逻辑奠定了基础。 1847年德摩根（De Morgan）提出了两个集合论定律，被称为“德摩根律”。 1847年斯陶特（Von Staudt）出版了《位置几何学》（Geometrie der Lage）。它第一次将射影几何从度量基础中完全解脱出来。 1848年汤姆森（开尔文勋爵）提出了以他名字命名的绝对温标。 1849年埃尔米特（Hermite）将柯西的留数技术应用到双周期函数。关注哆嗒数学网每天获得更多数学趣文新浪微博：http://tieba.baidu.com/mo/q/checkurl?url=http%3A%2F%2Fweibo.com%2Fduodaa&urlrefer=137e5893c498d0efbe21897bc88c6584

意外！这俩无穷居然真的是相等的！原文作者，Kevin Hartnett，量子杂志资深作家。翻译作者，我是崔小白，哆嗒数学网翻译组成员。校对，Math001。关注哆嗒数学网每天获得更多数学趣文两位数学家已经证明了两个不同的无穷其大小是相等的，解决了数学界一个长期存在的问题。他们的证明建立在无穷的大小和数学理论的复杂性之间意外的联系上。在一项颠覆了几十年传统智慧的突破中，两位数学家证明了两种不同的无穷大实际上大小相等。这一进展涉及到数学中最著名、最棘手的问题之一：自然数的无穷与实数的无穷之间是否存在别的无穷。这个问题早在一个世纪前就被发现了。当时数学家们知道“实数比自然数多，但不知道多多少。实数的无穷是刚刚好比自然数大的那个无穷，还是它和自然数之间还有别的无穷？”芝加哥大学的马利亚里斯（Maryanthe Malliaris）说，他与耶路撒冷希伯来大学和罗格斯大学的萨哈龙·希拉一起合作完成了这项新工作。在他们的新工作中，马利亚里斯和希拉（Shelah）解决了一个70年没解决的相关问题，即一个无穷大(称为p)是否小于另一个无穷大(称为t)的大小判定问题。他们证明了两者实际上是相等的，这让数学家感到意外。 “当然，无论是我个人观点，还是之前大家的看法，都认为p应该小于t，”希拉说。马利亚里斯和希拉去年在“美国数学学会杂志”上发表了他们的证明，并在去年七月荣获了集合论领域的最高奖项之一。然而他们的工作远远超出了这两个无穷数的相关问题。它为无限集合的大小和另一个不同邻域数学理论复杂性之间开辟了一条意想不到的联系通道。多种无穷无穷的概念令人费解。那么会不会存在很多大小不同的无穷呢？这可能是有史以来最违反直觉的数学发现。然而当我们用一个配对的游戏来解释的时候，连小孩子都能理解。假设你有两组物体，或者两组“集合”，就像数学家所说的那样：一组汽车和一组司机。如果每辆车只有一个司机，没有空车，没有司机留下，那么你就知道汽车的数量等于司机的数量(即使你不知道这个数字是多少)。在19世纪后期，德国数学家乔治·康托在数学的形式语言中领会到了这种匹配策略的精髓。他证明了两个集合当它们可以一一对应时，它们大小是相同的，或者说它们具有相同的“基数”——即当每辆车只有一个司机时。也许更令人惊讶的是，他证明了这种方法也适用于无限大的集合。考虑自然数:1、2、3等等。自然数的集合是无限的。但是对于偶数和质数的集合呢?每一个集合起初看起来都是自然数的一个较小的子集。实际上，在数轴上的任何有限长度上，都有大约一半的偶数是自然数，而质数的数目则更少。然而无限集的表现却不同。康托表示这些无限集的元素之间存在一一对应关系。 1 2 3 4 5 … （自然数） 2 4 6 8 10 … （偶数） 2 3 5 7 11 … （质数）正因为如此康托得出的结论是，三个集合都是一样大。数学家把这个大小的集合称为“可数的”，因为您可以为每个集合中的每个元素标记一个编号。在确立无限集的大小之间可以进行一一对应的比较后，康托做出了一个更大的飞跃：他证明了一些无限集其实比自然数集更大。考虑实数，也就是数轴上的所有点。实数有时被称为“连续统”，反映了它们的连续性：在一个实数与下一个实数之间没有空隙。康托能够证明实数不能与自然数进行一一对应：即使在创建了一个将自然数与实数相匹配的无限列表之后，总是可以拿出另一个不在你的列表上的编号的实数。因此他得出结论：实数集合大于自然数集合。于是第二种无穷诞生了：即不可数无穷。然而有个问题康托始终无法解决，即是否存在一个中间大小的无穷——介于可数的自然数集的大小和不可数的实数集之间。他认为没有，这是一个现在被称为连续统假设的猜想。在1900年，德国数学家希尔伯特列出了数学中最重要的23个问题。他把连续统假设放在首位。“这似乎在说，我们迫切的想知道这个问题的答案，”马利亚里斯说。在这之后的一个世纪，尽管数学家们拼尽全力，这个问题本身已经证明它是史无前例的难以攻克。介于中间的那个无穷存在吗？我们可能永远都不知道。力迫法证明在整个20世纪上半叶，数学家试图通过研究出现在许多数学领域的各种无限集来解决连续统假设。他们希望通过比较这些无穷大之间的大小，可以开启对自然数的大小和实数的大小之间可能存在的中间数的间隔的理解。这些无穷大的大小判定研究，很多被证明对连续统假设没有用。在20世纪60年代，数学家保罗·科恩解释了其中的原因。科恩提出了一种叫做“力迫”的方法，证明了连续统假设独立于数学公理，也就是说，在集合论的框架内是无法证明的。（科恩的工作补充了库尔特·哥德尔1940年的工作，哥德尔的成果表明连续统假设不能用通常的数学公理来否定它。）科恩的工作成果于1966年为他赢得了菲尔兹奖（数学最高荣誉之一）。数学家随后用力迫法来解决在前半个世纪中所提出的无穷之间的许多大小判定，表明这些大小判定也不能在集合论框架得到肯定或否定的回答。（具体来说，ZF（策梅洛-弗兰克尔）集合论加上选择公理。）然而有些问题仍然存在，其中包括20世纪40年代提出的关于p是否等于t的问题。p和t都是两个无穷有序集的大小，它用精确的(而且似乎是唯一的)方法量化了自然数极小子集族的大小。两个集合大小的细节并不重要。更重要的是数学家们很快就发现了p和t大小的两种情况，首先，两组都比自然数大。第二，p总是小于等于t，因此如果p小于t，那么p就是一个中间的无穷——介于自然数和实数的大小之间。那连续统假设便是错误的了。简单的说说这个问题是什么：p是一个具有“强有限交性”和没有“伪交性”的自然数无穷子集合组成集族的最小的无穷，这意味着其中的子集以一个特定的方式相互重叠；t称为“塔数”并且是按“反向几乎包含”且没有“伪交性”的自然数无穷子集合组成的集族的最小大小的有序集合的无穷。数学家之前倾向于认为p和t之间的关系不能在集合论框架内被证明，但是他们也不能确定问题的独立性。p和t之间的关系几十年来一直处于这种未确定的状态。直到马利亚里斯和希拉涉及别的研究领域后，才最终找到了解决办法。复杂性的序当保罗·科恩用力迫法证明了连续统假设在通常的数学框架之外的时候，模型论领域正在开展一项截然不同的工作。对于模型论家来说，“理论”是定义数学领域的一套公理或规则。你可以将模型论视为一种对数学理论进行分类的方式——对数学源代码的探索。威斯康星大学麦迪逊分校数学退休教授H·杰罗姆·基斯勒说：“我认为人们有兴趣对理论进行分类的原因是他们想要了解一些特定事情在不同数学领域里发生的真正原因。” 1967年，基斯勒介绍了现在所谓的基斯勒序，这个序关系试图根据数学理论的复杂性将其进行分类。他提出了一种衡量复杂性的技术手段，并试图证明数学理论至少可以分为两类：最小复杂性和最大复杂性。基斯勒说：“这是一个小起点，但是我的感觉就是这里有无穷的类。在基斯勒建立基斯勒序十多年后，希拉发表了一本有影响力的书，其中包括一个重要的章节，证明了复杂性中有自然发生的跳跃——具有较大复杂性的理论与较小复杂性理论之间可能存在一条明确的分割线。而此后30的年，基斯勒序的研究几乎没有任何进展。一个理论具有复杂性，其意义并不总是那么显而易。这个领域的很多工作在某种意义下是如何让大家直观的理解这些问题。基斯勒将复杂性描述为一种理论中可能发生的事情的范围，如果一个理论较之于另一个理论中可能发生的事情越多，我们就说前者理论更复杂。然后，在她2009年的博士论文和其他早期论文中，马里亚里斯重新开始了关于基斯勒序的工作，并为其作为分类程序的权提供了新的证据。 2011年，他和希拉开始合作，旨在更好地理解序的结构。他们的目标之一是依托基斯勒的标准，找到更多的性质，构造出具有最大复杂性的理论。马里亚里斯和希拉尤其关注两个特别的性质。他们已经知道其中一个会导致极大的复杂性。他们想知道另一个是否也如此。随着他们工作的进展，他们意识到这个问题与p和t是否相等的问题是平行相关的。2016年，马里亚里斯和沙拉发表了一篇60页的论文，解决了这两个问题：他们证明了这两个特性是具有相同复杂性的(它们都导致了最大的复杂性)，并且证明了p等于t。 “不知不觉中，一切都准备就绪，”马里亚里斯说。“然后问题就顺理成章的解决了。” 今年七月，马利亚里斯和希拉被授予豪斯多夫奖(Hausdorff Medal)，集合论的最高奖项之一。这项荣誉印证了他们证明是一个令人惊奇的结果，也印证了他们证明的强大力量。因为在集合论的框架内证明p和t不相等是不可能的，大多数数学家曾经期望p可以小于t。马利亚里斯和希拉证明了两个无穷大是相等的。他们的工作也表明，p和t之间的关系比数学家之前知道的要深奥得多。 “我觉得如果有一天人们意外地发现两个基数相等，那么该证明可能是令人惊讶的，但那可能是一个简短而睿智的论证，不涉及建立任何实体的机制。”康奈尔大学的数学家贾斯汀·摩尔（Justin Moore）说到，他发表了一篇有关马利亚里斯和希拉的证明的概述。相反，马利亚里斯和希拉证明了p和t是相等的，通过在模型论和集合论之间开辟一条通路，并已经在这两个领域开辟了新的研究前沿。他们的研究也最终解决了数学家们希望能够帮助解决连续统假设的问题。然而专家们的压倒性的感觉是，无法解决的连续统假设是错误的：虽然无穷在很多方面的性质异于常态，如果在已发现的无穷之间没有更多大小不同的无穷，那么这太不同寻常了。澄清：在9月12日，本文进行了修改，以澄清20世纪上半叶的数学家想知道连续统假设是否属实。正如文章所述，这个问题在很大程度上取决于保罗·科恩的工作。我们哆嗒补录的番外篇：这篇文章提到的问题叫做极小塔问题(The Minimal Tower Problem),收录在科学出版社出版的《10000个科学难题(数学卷)》中，我们把这一页截图呈上。遗憾的是我们偶然发现这里居然有笔误。这里两个箭头，左边一个箭头的α不应该写在下标位置，应该写在正常位置。而右边箭头的α其实写错了，应该是a 。我们已经把这个问题向出版社反馈了。另外，文章中提到的连续统基数的确定的问题，是一个更加诡谲的问题。这书里也有介绍，标题叫做《连续统势确定问题》。总体来说，这本书是本非常好的收录当代数学难题的工具书。关注哆嗒数学网每天获得更多数学趣文

血腥杀戮：数学建模还原古战场原文作者，Alex Doak，伦敦大学学院流体力学博士。翻译作者，溦之洸茫，哆嗒数学网翻译组成员。校对，我是崔小白。关注哆嗒数学网每天获得更多数学趣文希腊：留克特拉（公元前371年）出于对至高权力的渴望，古希腊的各城邦总是在不断经历战火的洗礼。在一阵短暂的和平后，当时的霸权斯巴达公然挑战底比斯的政治地位。由于底比斯拒绝解散由其主导重建的彼奥提亚邦联同盟（Boeotian Confederacy），斯巴达对其宣战。底比斯城以及她的盟友聚集了7200名重装步兵（hoplites），由将军埃帕米侬达（Epaminondas）率领，来到了留克特拉的地界，在那里等待他们的是9600名斯巴达重装步兵。此时斯巴达国王克莱奥姆波洛图斯（Cleombrotus）情绪十分阴郁，尽管近期在军事上有过胜利，然而在前往留克特拉的行军路上已经显现了凶兆，尤其是因为献祭给神灵的动物被狼吃了。然而在对手下各个将军进行询问之后，发现他们都确信斯巴达能够取得胜利。现在他召唤你这个奇怪的旅行者，希望通过你的惊人洞察力帮助他分析未来。一对一战斗及兰彻斯特线性律在所有的数学建模中，如果希望得到有意义的结果，我们必须理解所模拟战斗过程的基本机制。在这个例子中，我们需要对古希腊战争有更好的了解。希腊城邦的部队主要是有重装步兵组成。在战斗中，这些人采用的是‘臭名昭著’的方阵队列：士兵们组成数排密集的横向队列，手持长矛和盾牌迎击他们的敌人。每一支部队同时前行，最勇敢和最有战斗经验的军人是在前排，这样才能保证行进的队伍不会减速和逃窜。两军接触后，盾牌互砸，长矛互戳，血肉横飞，尸横遍野……最终，在经受一定的兵力损失后，一方的队形完全崩溃，士兵开始大量逃窜，最终不可避免地被击败。对于这一类的战斗，兰彻斯特首次给出了一个简单的模型，他假设军队的交战是由一对一的形式进行的。也就是说，每名士兵只和与他对应的那一名敌军士兵交战，没有参与打斗的士兵在后排静静等待着他们战斗回合的到来。假设军队数量在时间t内是连续的。斯巴达军队士兵数S(t)及底比斯军队士兵数T(t)的变化率可以表示为：其中，N指的是在某一时间双方各自的交战人数。我们已知克莱奥姆波洛图斯国王的方阵是由希腊重步兵组成的标准12排方阵，那么第一排就有9600/12=800人。同时，克莱奥姆波洛图斯国王认为底比斯军队为了避免侧翼被包抄，会采用同是每排800人的9排的方阵来迎击自己的军队。古希腊时期战斗的一个典型特点是伤亡相对较低，我们可以假设如果任意一方士兵数不足以维持6排阵列（即T＜4800或S＜4800），士兵就会产生恐慌情绪进而逃窜。 K_T和K_S分别表示两只军队的战斗力。如果K_T=1 (K_T表示K的下标是T，下文相应情况类似)，意味着单位时间内，每一位在战斗的底比斯士兵都杀死了一名斯巴达士兵；如果K_T=0，表明没有底比斯士兵杀死斯巴达人。兰切斯特杀伤率（Lanchester attrition rates ，即K_T和K_S）不一定要为常数：它们可以是与时间有关的（战斗进行过程中士兵会变疲劳），或是依赖于S和T的数值（以寡敌众会扼杀士兵的希望，或是使它们更加拼命战斗）。不过，为了简单起见，我们认为这两个参数是常数。那么问题来了：战斗中底比斯人的表现要比对手斯巴达人好出多少才能保证自己取得胜利？我们建立的耦合系统非常容易求解，用（1）式除以（2）式，得到对上式积分，并将S与T的初值带入，得到请注意，上述方程体现了军队中士兵数和他们总的战斗力是呈线性关系的（即著名的兰彻斯特线性律）。这是因为我们采用了一对一的战斗模型假设。底比斯要取得胜利，换言之在某一时间t^*(t^*表示t的下标是*，下文相应情况类似),S(t^*)=4800且T(t^*)＞4800，将S(t)=4800带入方程（4），并重新写出T的表达式，代入T(t)>4800，可以得到底比斯取得胜利的条件为将这些信息呈给克莱奥姆波洛图斯国王，你除了看到他的自信之外并不能提供什么帮助：斯巴达人是当时最勇猛的战士，尽管他的盟军并不是这种最高质量的军队，那也没有理由认为他们会比底比斯的彼奥提亚联合军“弱”两倍。（译者注：这里的弱两倍指K_S/K_T＜0.5，也就是K_T/K_S＞2）远程的战斗：瞄准火力和兰彻斯特平方律尽管希腊战场主要是重步兵的舞台，双方军队还是会拥有一些轻装部队（通常来说是非希腊籍的雇佣兵），他们被称为轻装步兵，（peltasts，此文文中可理解为远程步兵）。他们携带标枪和投石索，在战斗中向敌人投掷射击。轻步兵主要用于袭扰敌人两翼，除了几个非常特殊的战例之外，他们对战局不起决定作用。同样，我们让斯巴达的500名轻步兵与底比斯1000名轻步兵交锋，看看会发生什么。在这种场合下，我们用到的模型是兰切斯特瞄准火力模型。斯巴达轻步兵P(t)及底比斯轻步兵Q(t)的变化率可以表示为：这是因为标枪手间的战斗不再是一对一了。相反地，所有士兵可以在同一时间向敌人射击。（译者注：这里的“一对一”不是强调是否是两个人的单打独斗，而是指同一时间能够向敌人攻击的人数，在前面（1）、（2）方程的耦合系统中，某一时刻在进攻敌人的人数为定值N，（5）、（6）方程中这个值是此时刻尚存的人数。这也就是线性律和平方律的本质区别所在。）因此，P的死亡率等于向他们射击的Q的数值乘以一个系数α。同样，这里的变量α_Q不一定为常数，通常来讲在非瞄准射击的情况下，它是与P（即Q可以攻击的目标数）成正比的。简单起见，我们依然认为这两个参数为常数。将（5）式除以（6）式，得到通过分离变量法解微分方程，并带入初始条件，得到人数与总战斗力由线性关系变成了平方关系，这就是著名的兰彻斯特平方律。从这个等式中我们可以看出，数量要比质量更重要。比敌方人数少一半的斯巴达轻步兵的战斗效率要达到敌方的四倍(α_P/α_Q＞4)才能与其打成平手。这些等式是在1916年第一次世界大战时推导出的，或许可以解释当时的人们对军事的一些想法。战斗当天部队：这是战斗中的一个传统，因为士兵的左手绑着盾牌，前进中他们会有向右偏移的趋势，将精锐部队放在右翼可以遏制这种趋势。埃帕米侬达将自己的精锐部队放在左翼，这样以来他可以尽快消灭斯巴达军队的精锐，以免拖到后期己方在人数上的劣势会成为大问题。吃完早餐并享用了一点葡萄酒之后，克莱奥姆波洛图斯国王和他的军队来到了留克特拉的开阔平地。国王和他最勇猛的战士位于右翼。可以看到远处的底比斯人正在缓缓接近，扬起一阵尘土。遭遇战首先在两军的轻步兵之间展开，此时两军的重步兵间还有一段距离。随着底比斯军队的靠近，克莱奥姆波洛图斯国王发现不对劲：底比斯人不按套路出牌，在斯巴达军队的右翼方向聚集了一个50排的队列。这50排队列冲到了克莱奥姆波洛图斯国王所在的位置。开始并没什么作用：残酷的战斗是在前排进行的，正如兰彻斯特线性律，双方都死伤惨重。然而随着战斗的进行，很显然50人纵深的底比斯军队不可能被仅仅12排的斯巴达人打败。目睹了斯巴达精锐部队一点点消亡并最终溃散，斯巴达的友军也开始效仿，竞相逃离战场，尽管在此时他们面对的敌人数还是比己方少的。和很多斯巴达士兵一样，克莱奥姆波洛图斯国王也被杀死了，斯巴达在希腊的统治地位画上了一个血腥的句号。对模型的一点说明兰彻斯特方程是人口种群建模中非常简单的一个例子，在对很多其他‘捕食者-猎物相互作用系统（其中最经典的要算是狐狸和兔子）’的建模中也有类似的方程。当然完全不必局限于两个“物种”，“物种”也不一定非要为有生命的有机体。这些方程看上去太简单了，以至于他们并不能真正反映战争的形态。其中最突出的弱点就是兰彻斯特杀伤率。把一支军队的能力简化为一个不依赖于时间和空间的常数，这个假设真的很难被人认可。况且，该模型还要求两方军队都是同类的（也就是说所有部队在计算中都要被认为是一致的）。同时，这也反映了埃帕米侬达的精明之处：他并不把敌人简单地看作清一色的9600名重步兵，而是看作一小队斯巴达人加上一大堆没什么大用的盟友。依靠“擒贼先擒王”的策略，埃帕米侬达在军队人数上的劣势就不是什么问题了。正如J-K Anderson所说：“战场上双方军队中相当大的一部分和观众没什么区别”。尽管这个模型有着缺陷，但是平方律揭示了瞄准火力模型比一对一模型更加有趣的特性。在瞄准火力的攻击情况下，将人数较多的军队分为两部分，让人数较少的军队逐次和这两部分军队交战，那么人数较少的军队也会取得胜利。这种战术会在线性律的模型下失效：如果斯巴达的盟友并未逃离战场，那么历史可能会被重新书写！关注哆嗒数学网每天获得更多数学趣文

数学上下三万年（二）：从罗马时代到中世纪原文作者，圣安德鲁斯大学数学与统计学院。翻译作者，mathyrl，哆嗒数学网翻译组成员。校对，math001。关注微信：哆嗒数学网每天获得更多数学趣文从今天起，我们将连载这部数学编年史。本文是翻译版本，因为工作量巨大，必有疏漏（包括原文也会有错误），欢迎指正。这应该是网上最全的数学编年史，从公元前30000年到公元2000年，哆嗒数学网为你奉献。这里是数学上下三万年（二）：从罗马时代到中世纪本期出场人物有：托勒密、丢番图、希帕提娅、花拉子米、斐波那契等。本期中国人出场也不少，他们是：刘歆、刘徽、祖冲之、李淳风、沈括、秦九韶、李冶、杨辉、朱世杰本系列下面是往期内容：数学上下三万年（一）：爱在西元前约公元1年中国数学家刘歆使用十进制分数。约公元20年吉米纽斯（Geminus）撰写了很多天文学著作和《数学理论》（The Theory of Mathematics）。他试图证明平行公设。约公元60年海伦（Heron）撰写了《量度论》（Metrica）。书中包含了计算面积和体积的公式。约公元90年尼科马库斯（Nicomachus）撰写了《算术入门》（Arithmetike eisagoge），这部著作首次将算术作为一个单独的主题从几何中分离出来。约110年梅涅劳斯（Menelaus）撰写了《球面学》（Sphaerica），书中研究了球面三角形和它们在天文学的应用。约150年托勒密（Ptolemy）在天文学应用中产生了许多重要的几何成果。他的天文学理论在往后一千多年里被人认可。约250年中美洲的玛雅文明使用一种20进制的近似位值数字系统。 250年丢番图（Diophantus）撰写了《算术》（Arithmetica），是方程关于有理数解的数论研究。 263年刘徽使用192边的正多边形算出π值为3.14159，精确到小数点后五位。 301年杨布里科斯（Iamblichus）记述占星术和神秘主义。他的《毕达哥拉斯的生平》（Life of Pythagoras）是一篇引人入胜的传记。 340年帕普斯（Pappus）撰写了《数学汇编》（Synagoge），该书是希腊几何学的指南。 390年亚历山大城的塞翁（Theon）写著了一个版本的欧几里德《几何原本》（文字有所修改和补充），之后此书几乎所有的后续版本都是基于此版本。约400年希帕提娅（Hypatia）对丢番图、阿波罗尼奥斯的作品做评注。她是第一位有记载的女数学家，她以非凡的学术成就而著名。她成为亚历山大里亚新柏拉图学派的领袖。450年普罗克洛斯（Proclus），一位数学家和新柏拉图主义者，是雅典柏拉图学院最后的哲学家之一。约460年祖冲之给出π的近似值355/113，精确到小数点后六位。 499年，阿耶波多一世（Aryabhata I）计算π近似值3.1416。他写著了作品《阿里亚哈塔历书》（Aryabhatiya），是关于二次方程，π值和其他科学问题的专著。约500年米特罗多勒斯（Metrodorus）汇编了由46个数学问题组成的《希腊选集》（Greek Anthology）。 510年欧托基奥斯(Eutocius)完成阿基米德的工作的校订与注释。 510年波爱修斯（Boethius）撰写了几何与算术的著作，著作在很长一段时间内被广泛使用。约530年欧多修斯对阿基米德和阿波罗尼乌斯的作品做校订与注释。 532年数学家安提莫斯（Anthemius）重建位于君士坦丁堡的旧圣索非亚大教堂的。 534年中国数学被引入到日本。 575年伐罗诃密希罗（Varahamihira）撰写了《五大历数全书汇编》（Pancasiddhantika）。他对三角学做出了重要贡献。 594年印度开始使用十进制数字记号。现代数字记号系统就是基于它。 628年婆罗摩笈多（Brahmagupta）撰写了《婆罗摩历算书》（Brahmasphutasiddanta），一本天文学和数学著作。他使用零以及负数，给出二次方程解法，级数求和，以及求平方根。 644年李淳风开始选编《算经十书》(亦称《十部算经》)。约670年玛雅文明的数学家们在他们的数字系统中引入一个符号表示零。约775年阿尔昆（Alcuin）撰写了关于算术，几何和天文学的初级教科书。约810年智慧宫在巴格达建立。在那里希腊及印度的数学和天文学著作被翻译成阿拉伯语。约810年花拉子米（Al-Khwarizmi）撰写了关于算术，代数，地理和天文学方面的重要著作。特别是《积分和方程计算法》（Hisab al-jabr w'al-muqabala，此书的翻译名称一直在学术界有争议），“代数”（algebra）一词出自“al-jabr”。“算法”（algorithm）出自花拉子米的拉丁文译名“Algoritmi”。约850年泰比特·伊本·奎拉（Thabit ibn Qurra）做出了重要数学发现，例如将数的概念扩展到（正）实数，微积分，球面三角学的定理，解析几何，非欧几何。约850年泰比特·伊本·奎拉撰写了《论亲和数的确定》（Book on the determination of amicable numbers），其中包含构造亲和数的一般方法。他那时已经知道17296，18416是一对亲和数。。 850年，摩诃毗罗（Mahavira）撰写了《计算精华》（Ganita Sara Samgraha）。它一共九章，包括9世纪中期印度的所有数学知识。 900年施里德哈勒（Sridhara）撰写了《Trisatika》（亦称《Patiganitasara》）和《Patiganita》（译者注：这两本没有查到标准翻译）。在这些著作中他求解二次方程，求级数和，研究组合数学，给出求多边形面积的方法。约900年阿布·卡米勒（Abu Kamil）撰写了《代数》（Book on algebra），研究将代数应用到几何问题。之后斐波那契的工作就是基于这本书。 920年，巴塔尼（Al-Battani）撰写了天文学主要著作《天文星表》（Kitab al-Zij），共57章。它包含了三角学的进步。 950年热贝尔（Gerbert，也就是后来的教皇西尔维斯特二世）将算盘重新引入欧洲。他使用没有零的印度/阿拉伯数字。约960年阿尔·乌格利迪西（Al-Uqlidisi）撰写了《论印度算术》（Kitab al-fusul fi al-hisab al-Hindi），是幸存的最早的显示印度算术系统的书。约970年阿布·瓦法（Abu'l-Wafa）发明了象限仪台，用于精确测量天空中星星的偏角。他写了关于算术和几何结构的重要书籍。他引入了正切函数，并产生了改进的计算三角表的方法。 976年维希拉努斯抄本(Codex Vigilanus)在西班牙出现。它包含了欧洲出现十进制数字的第一个证据。约990年卡拉吉（Al-Karaji）在巴格达撰写了《哈法勒》(Al-Fakhri, 意为“荣誉”)，该书发展了代数学。他给出了帕斯卡三角形。约1000年海什木（Ibn al-Haytham，西方人通常称为Alhazen）撰写了关于光学（包括光学理论和视觉理论）、天文学和数学（包括几何和数论）的作品。他给出了Alhazen问题：给定一个光源和一个球面镜，找到镜子上的点，使得光被反射到观察者的眼睛。约1010年比鲁尼（Al-Biruni）撰写了许多科学专题。他的数学工作涵盖算术，级数求和，组合分析，三法则，无理数，比例理论，代数定义，代数方程解法，几何，阿基米德定理，三等分角及其他不能用尺规作图解决的问题，圆锥曲线，立体几何，球极平面投影，三角学，平面中的正弦定理，以及求解球面三角形。约1020年伊本·西那（Ibn Sina，欧洲人常称其为Avicenna）撰写了哲学，医学，心理学，地质学，数学，天文学和逻辑学。他的重要数学著作《治疗论》(Kitab al-Shifa) 将数学分为四个主题：几何、天文学、算术和音乐。 1040年艾哈迈德·纳萨维（Alhmad al-Nasawi）撰写了《印度计算》（al-Muqni'fi al-Hisab al-Hindi），研究了四种不同的数字系统。他解释了算术运算，特别是在每个系统中求平方根和立方根。约1050年赫尔曼（Hermann of Reichenau，有时称为Hermann the Lame或Hermann Contractus）撰写了关于算盘和星盘的著作。他向欧洲引入了星盘：一个便携式的日晷和一个带游标的象限仪。 1072年莪默·伽亚谟（Al-Khayyami，通常称为Omar Khayyam，金庸小说《倚天屠龙记》中小昭唱过他的诗句）撰写了《代数问题的论证》（Treatise on Demonstration of Problems of Algebra），其中包含了具有通过圆锥曲线相交找到几何解的三次方程的完整分类。他测量一年的长度为365.24219858156天，结果非常准确。 1093年沈括撰写了《梦溪笔谈》，一本数学、天文学、制图学、光学和医学著作。它最早提到指南针。 1130年贾比尔·阿拉夫（Jabir ibn Aflah）撰写了数学著作，尽管不像其他阿拉伯著作那么好，但由于它们将被翻译成拉丁文，而且可供欧洲数学家使用，因此是重要的。约1140年婆什迦罗（Bhaskara II，有时称为Bhaskaracharya）撰写了有关算术和几何的《美丽》（Lilavati）和关于代数的《算术萌芽》（Bijaganita）。 1142年阿德拉德（Adelard of Bath）从阿拉伯文献翻译了《几何原本》的两到三个译本。 1144年杰拉德 (Gherard of Cremona )开始将阿拉伯文献（和阿拉伯文的希腊文献）翻译成拉丁文。 1149年萨马瓦尔（Al-Samawal）撰写了《代数的辉煌》（al-Bahir fi'l-jabr），他用负幂和零的多项式来发展代数。他求解二次方程，求前n个自然数的平方和，并且考察组合问题。 1150年通过杰拉德翻译的托勒密《天文学大成》（Almagest），阿拉伯数字传入欧洲。正弦函数“sine”出自这个译本。 1200年中国开始使用代表零的符号。 1202年斐波那契（Fibonacci）撰写了《算盘书》（Liber abaci），其中列出了他在阿拉伯国家学到的算术和代数。它还引入了现在称为“斐波那契数列”的著名数列。 1225年斐波那契撰写了《平方数之书》（Liber quadratorum），这是他最令人印象深刻的作品。它是自从一千年前的丢番图的工作以来欧洲数论的第一大主要进步。约1225年佐丹劳斯(Jordanus Nemorarius)撰写了天文学作品。在数学中他使用字母，这是早期形式的代数记号。约1230年乔安尼斯（John of Holywood，有时称为Johannes de Sacrobosco）撰写了有关算术、天文学和历法改革的作品。 1247年秦九韶撰写了《数书九章》。它包含同余方程组和中国剩余定理，它也考虑不定方程，霍纳方法，几何图形面积和线性方程组。 1248年李冶撰写了《测圆海镜》，其中包含负数，通过在数字上加斜画来表示。约1260年坎帕努斯（Campanus of Novara），教皇乌尔班四世的牧师，撰写了天文学作品，并发表了欧几里德《几何原本》的拉丁文版，成为之后200年的标准版本。 1275年杨辉撰写了《乘除通变本末》。它使用十进制分数（以现代形式），并给出了帕斯卡三角形的第一个叙述。 1303年朱世杰撰写了《四元玉鉴》，其中包含了最高14次的高次方程的多种解法。他还定义了现在所谓的帕斯卡三角形，并展示了如何对某些序列求和。 1321年列维·本·吉尔森（Levi ben Gerson，有时称为Gersonides）撰写了《数之书》（Book of Numbers），研究算术运算、排列和组合。 1328年托马斯·布拉德沃丁（Bradwardine）撰写了《论运动中速度的比例》(De proportionibus velocitatum in motibus)，这是使用代数学研究运动学的早期工作。 1335年理查德（Richard of Wallingford）撰写了《论正弦四书》（Quadripartitum de sinibus demonstratis），这是第一部关于三角学的原创拉丁文著作。 1336年数学在巴黎大学成为学士学位的必修科目。 1342年列维·本·吉尔森（Gersonides）撰写了《论正弦、弦和弧》（De sinibus, chordis et arcubus），这是一本三角学著作，其中给出平面三角形正弦定理的证明和五个正弦表。 1343年莫瑞斯（Jean de Meurs）撰写了《数之四书》（Quadripartitum numerorum），一本关于数学、力学和音乐的著作。 1343年列维·本·吉尔森（Gersonides）撰写了《论数之和谐》（De harmonicis numeris），这是对欧几里德的前五本书的评注。 1364年尼克尔·奥里斯姆（Nicole d'Oresme）撰写了《Latitudes of Forms》（形式的纬度），这是关于坐标系的早期作品，笛卡尔可能受其影响。奥里斯姆的另一作品中包含了分数指数的首次使用。 1382年尼克尔·奥里斯姆发表了《天地通论》（Le Livre du ciel et du monde）。这是关于数学、力学和相关领域的论文汇编。奥里斯姆反对地球静止的理论。 1400年马德哈瓦（Madhava of Sangamagramma）证明了若干无穷级数的结果，给出三角函数的泰勒展开。他利用这些结果得到π的近似值，精确到小数点后11位。 1411年卡西（Al-Kashi）撰写了《天文科学概要》（Compendium of the Science of Astronomy）。 1424年卡西撰写了《论圆周》（Treatise on the Circumference），以六十进制和十进制形式给出π的非常好的近似值。 1427年卡西完成了《算术之钥》（The Key to Arithmetic），它是关于十进制分数的非常深度的工作，它将算术和代数方法应用于解决各种问题，包括几个几何问题，并且是整个中世纪文学时期最好的教科书之一。 1434年阿尔伯蒂（Alberti）研究三维物体的表现，并撰写关于透视定律的第一部一般性论著《论绘画》（Della Pictura）。 1437年乌鲁伯格（Ulugh Beg）出版他的《星表》（Zij-i Sultani）。它包含了一个精确到8位小数的三角函数表，基于乌鲁伯格计算1度的正弦值精确到16位小数。 1450年尼古拉斯 (Nicholas of Cusa)研究几何和逻辑。他对无穷的研究做出了贡献，研究无穷大、无穷小。他将圆看作正多边形的极限。关注微信：哆嗒数学网每天获得更多数学趣文

规范场论——看看粒子物理与数学如何相遇原文来源，牛津大学网站。翻译作者，Aria，哆嗒数学网翻译组成员。校对，小米。关注微信：哆嗒数学网每天获得更多数学趣文牛津数学家田中佑二(Yuuji Tanaka)描述了他在我们对规范场论的理解的推进上所做的工作： “规范场论产生自物理，作为一个统一理论，它的出现在杨-米尔斯规范场理论（Yang-Mills gauge theory）和希格斯机制（Higgs mechanism，给物质和作用力关联质量的理论）框架下统一了弱作用（出现在β衰变中）和电磁作用。规范场论在维特曼(Veltman)和特霍夫特(’t Hooft)关于可重整化性质的伟大发现后，成为了粒子物理的主流之一，并给出了实验结果的精确描述。如今所有的基本作用（电磁作用，弱作用，强作用和引力）都可以用规范场论来描述。这些发展无疑刺激了规范场论的数学研究，尤其是在主丛和向量丛的领域。在这一理论中，联络的曲率对应着规范场的场强。80年代早期，唐纳森(Donaldson)考察了一种特殊的杨-米尔斯规范场（称为自对偶或反自对偶联络）方程的解构成的模空间，并惊人地获得了一种利用模空间或者通过模空间给光滑结构赋予不变量的方法，来区分同胚的四维弯曲空间的不同微分结构。在唐纳森的工作之后，威腾(Witten)十分巧妙将它地翻译成为特定量子场论的语言。接着阿蒂亚(Atiyah)和杰弗里(Jeffrey)又用数学语言通过马塞-奎伦形式(Mathai-Quillen formalism)重写了威腾的工作。在1994年左右，利用电磁对应的推广（一种电磁理论中隐藏的对称性），这些观点的转变成为了发现赛贝格-威腾方程（Seiberg-Witten equation）与不变量的基石。赛贝格（Seiberg）和威腾(Witten)提出了这项成果在量子级别超杨-米尔斯理论中一个引人注目的应用，即强弱对偶；它使得人们在计算中可以用弱耦合的项来计算强耦合的项）。瓦法(Vafa)和威腾在更加对称的模型中分析了赛贝格和威腾的工作，并猜测这种情形下不变量的配分函数具有模性质，这是之前提到过的强弱对偶的在数学上的加强。模性质原本是在19世纪椭圆曲线理论中发现的。他们在希格斯场(Higgs fields)退化的假设下用数学的结果在一些例子中检验了该性质。然而，对于这些理论，尤其包括希格斯场在内，在过去的20年中哪怕一个严格的数学定义也没有被给出。理查德·托马斯(Richard Thomas)和我最近使用了现代代数几何的语言定义了射影曲面的形变不变量；它源自瓦法和威腾理论中规范场论方程解的模空间。我们接着也计算了非退化希格斯场条件下不变量的配分函数。令人惊奇的是，我们的计算结果与瓦法和威腾远在20年之前的猜想完全一致。除此之外，我们的结果也涵盖了曲面上的层。” 关注微信：哆嗒数学网每天获得更多数学趣文

法诺平面：射影平面、彩票和死亡圣器关注微信：哆嗒数学网每天获得更多数学趣文原文作者，Evelyn Lamb，数学普及作家。翻译作者，Bibliomania，哆嗒数学网翻译组成员。校对，donkeycn。当我走进圣艾夫斯,我见到一个平面有七条线,每条线有三个点,(但是一共也只有七个点,) 这首诗并不能很好地描述法诺平面（Fano plane）。以吾之愚见，法诺平面是最小的有趣的空间。这也许能被扯皮归纳地证伪，但是一个点，或者一些孤立点，并不是有趣的例子。法诺平面有七个分布在七条线上的点。它是射影平面最小可行的例子。你有没有想过凭什么平面上有些线相交，有些却没有？多么随意啊！不过射影平面就可以把你从这个烦人的问题中拯救出来了，它满足任意两条线都相交。一个射影平面需要满足下面一些条件。 *每两“点”都有一条“线“连接。*每条“线”都和其他任何一条“线”相交。*存在四个点，使得没有一条线过其中两个以上的点。(这个条件并不总是列出来，但是它排除了一些平凡情况，比如说一条线上的两个点或者过一点的几条线。) 有时候数学是靠内心的直觉的，比方说你思考射影几何的时候。(公平来讲，有时候射影几何看起来非常直观，毕竟它的一大应用就是在透视画法上。)你可以把欧几里得平面变成射影平面，通过给每个方向的平行线们添加一个它们所相交的“无穷远”点。所以说有水平方向的无穷远点，有垂直方向的无穷远点，有与水平方向成逆时针47.322度角方向的无穷远点等等。接下来你再让这些无穷远点组成无穷远线。如果你好好想一会，就能明白这样是满足射影平面的要求的。如果考虑无穷远线上的无数的点让你感到头晕目眩，那法诺平面就是一个更轻松的替代品。它可以简单地看清楚线和点是怎么相交和交互的。法诺平面是个挑战直觉的东西。当你看到它的图式时，你便会理所当然地认为它有无穷多的点。毕竟它有七条线，我们也都知道，再短的线段，上面也有无穷多的点。噢不，数学是独裁体系，我们都是独裁者。我们说那七个点就是它仅有的七个点。而这里的”线”并不是由”点”构成的，它们只是公理里规定的“线”而已。另外一个反直觉的地方在于有一条“线”看起来像是个圆，至少在大部分示意图里面都是这样。但如果你都已经接受“线”并不是由无穷多点组成的想法了，那也不难让自己承认这圆真的就是“线”。法诺平面是最小的有限射影平面。你也许想知道别的射影平面可能的大小。如果我们想让每条线上有4个点而不是3个，我们能找到这样的平面吗？令人惊讶的是，指出射影平面可能的大小并不是一个平凡的问题。(关于术语的说明:我们说法诺平面的阶为2，因为每条线有2+1=3个点，每个点在2+1=3条线上。一般地，一个射影平面阶为N，如果每条线有N+1个点，每个点在N+1条线上。阶为N的射影平面有N²+N+1个点。)我们知道存在阶为任意素数以及任意素数的幂的射影平面，但至于其他数字，我们还有很多工作要做。举个例子，直到上世纪90年代，研究者才确切地证明了不存在阶为10的射影平面，而对于12，仍然是一个开放问题。虽然有限射影平面看上去像是遗世独立的纯理论的典范，但意外的是法诺平面以及相关的东西居然在博彩方面有所应用。我第一次是在Jordan Ellenberg的《魔鬼数学》（How Not to Be Wrong，又译《数学教你不犯错》）中读到有关的东西的。他举了一个从7个数中选3个的彩票的例子。玩家3个数都猜对的话就获头奖，或者猜对两个数得小奖。从7个数中选3个，一共有35种可能的组合，所以说你只有1/35的机会中头奖。不过你可以利用法诺平面来增加你猜中两个数的机会。技巧在于买一些彩票但避免同样的数对出现在两张彩票上。你不会想同时买123和234，因为如果2和3猜中了，而你买了它两次了。虽然这意味着两倍的奖金，但也意味着你在其他数对中奖时什么都得不到。为了在彩票中利用法诺平面中到奖，给7个点依次标上1到7，接着看每条线上的数字。我得到了123, 147, 156, 246, 257, 345, 367. 如果你去验证这些数组，你会发现每个数对都恰好出现了一次。不管中奖的数字是哪些，我们都至少猜中了3个中的两个。如果你标数字的顺序和我不一样，你会得到不同的数组，不过还是有同样的性质。现在并没有多少彩票只选3个数字了，但花点心思再加上电脑的能力，这个想法可以接着延伸。当然，即使是利用射影平面的聪明策略，在实际彩票购买中使用也不大可能合算。不过如果你感兴趣的话，Ellenberg讲过一个Cash WinFall的故事，其奖品好到足以赢得一些MIT学生的钱。想了解法诺平面与拉丁方，环面拓扑，纠错码以及其他许多领域的联系，可以查看弗吉尼亚理工大学的Ezra Brown的两篇文章……《(7,3,1)不同的形式集锦》和《(7,3,1)不同形式的更多集锦》。（链接http://tieba.baidu.com/mo/q/checkurl?url=http%3A%2F%2Fwww.math.vt.edu%2Fpeople%2Fbrown%2Fdoc%2F731.pdf&urlrefer=d1b724a3fda5a1cffe478380ad96a71a ，http://tieba.baidu.com/mo/q/checkurl?url=http%3A%2F%2Fwww.math.vt.edu%2Fpeople%2Fbrown%2Fdoc%2F731_more.pdf&urlrefer=638512a0d76922fec27e829c337833c3 ）如果八元数乘法的让你感到困顿的话，法诺平面也能帮你记住八元数的乘法规则。最后我忍不住提一句，法诺平面看起来和哈利波特中的死亡圣器的标志惊人地相似。关注微信：哆嗒数学网每天获得更多数学趣文

数学与统计学竟如此不同关注微信：哆嗒数学网每天获得更多数学趣文原文作者，Bai Li，就读于多伦多大学计算机科学学院。翻译作者，豆浆，哆嗒数学网翻译组成员。校对，小米。统计学与数学有着某种有趣而奇特的关系。在很多大学的院系，它们都是混合成“数学与统计系”。其他时候，统计学被归为应用数学中的一个分支。纯数学家倾向于把统计学看作是概率论的应用，或是因为它“不够严谨”而不喜欢。在研究了这二者之后，我认为说统计学是数学的一个分支是错误的。相反，统计学是一门独立的学科，它使用数学，但与其他数学分支（如组合数学或微分方程或群论）有本质的区别。统计学是对不确定性的研究，而这种不确定性渗入到整个学科，以至于数学和统计学是根本不同的思维方式。定义和证明数学总是遵循固定的的定义-定理-证明的结构。无论你研究哪一个数学分支，无论是代数数论还是实分析，数学论证的结构或多或少是相同的。你首先得定义一个对象，就说wug吧。在定义之后，每个人都可以看一下定义，并就哪些对象是wug和哪些对象不是wug达成一致。（编者注：wug是心理学家Jean Berko在她的实验中虚构的一种动物）接下来，你继续证明关于wug的有趣的事情，使用奇妙的论证，如反证法和归纳法证明。在证明的每一个步骤，读者都可以证实，这一步在逻辑上是从定义出发的。经过几次这样的证明之后，你现在已经了解了大量关于wug的性质，以及它们如何与数学宇宙中的其他物体相联系的，每个人都很愉悦。在统计学中，用直觉和例子来定义事物是很常见的，即是说“所见即所知”，很少像数学里那样黑白分明。这是出于一个必然的理由：统计学家用真实的数据来工作，这些数据往往是混乱的，并不容易理清，也难以从严格的定义来研究。以“异常值”的概念为例。当数据包含异常值时，很多统计方法表现不佳，因此识别异常值并将其剔除是一种常见的做法。但是究竟是什么构成了异常值呢？好吧，这取决于许多标准，比如你有多少个数据点，它距离其他点有多远，以及你在拟合什么样的模型。在上面的图中，那两点可能是异常值。你应该剔除它们，或者保留它们，或者可以剔除它们之一吗？没有正确的答案，你必须自己判断。又如，考虑p值。在很多时候，当p值低于0.05时，可以认为是统计学显著的。但这个值仅仅是一个指导值，而不是一个必须遵守的规则——不是说0.048就是显著的而0.051就不显著。现在让我们假设你在运行AB测试，并且发现将按钮更改为蓝色会导致更高的点击次数，p值为0.059。你应该建议你的老板做这个改动吗？如果你得到0.072或者0.105呢？在哪一点它就会变得不显著呢？没有正确的答案，你必须自己判断。再举一个例子：异方差。这是一个奇特的词，这意味着你的数据集的不同部分的方差是不相等的。异方差是不好的因为很多模型假设方差是常数，如果这个假设被违反，那么你就会得到错误的结果，所以你需要使用一个不同的模型。这个数据是异方差的，还是只看起来差异是不均匀的，因为3.5的左边有那么几个点？这个问题是否严重到拟合线性模型是无效的？没有正确的答案，你必须自己判断。另一个例子：考虑一个有两个变量的线性回归模型。当你在图上绘制点时，你应该会期望这些点会大致落在一条直线上。当然，不完全是在一条线上，只是大致线性。但是如果你得到这个：有一些证据表明这里有非线性，但是你需要多少“弯曲程度”，才能让你觉得这绝对不是“大致线性”以至于你必须使用一个不同的模型？再说一次，没有正确的答案，你必须自己判断。我觉得你发现其中的规律了。在数学和统计学中，都是只有在某些假设得到满足的情况下，才有模型。然而，与数学不同，在统计学里，没有通用的程序可以告诉你数据是否满足这些假设。以下是统计模型的一些常见假设 1、随机变量服从正态（高斯）分布 2、两个随机变量相互独立 3、两个随机变量满足线性关系 4、方差是常数你的数据不会完全符合正态分布，所以所有的这些都是近似值。统计学里有一个普遍的说法：所有的模型都是错的，但是有些却是有用的。另一方面，如果你的数据与你的模型假设有很大的偏差，那么这个模型就会崩溃，你会得到没用的结果。没有通用的黑白分明的程序来决定你的数据是否正态分布，所以在某些时候你必须介入并应用你的判断。经典算法 VS 统计算法你可能会想：没有严格的定义和证明，你如何确定你所做的一切是正确的？事实上，非统计学（这里指数学）和统计学方法有不同的判断“正确性”的方法。非统计方法使用理论来证明其正确性。例如，我们可以通过归纳法证明Dijkstra算法总是返回图中的最短路径，或者快速排序法总是按排序顺序排列数组。为了比较运行时间，我们使用大O符号，这是一个用于严格化程序运行时间的数学结构，它刻画的是当程序的输入趋于无穷大时运行时间的行为非统计算法主要关注最坏情况分析，即便是近似和随机算法。对于旅行商问题，最好的近似算法的近似比率为1.5 - 这意味着即使对于最差的输入，该算法的路径也不超过最优解决方案的1.5倍。算法是否在大多数实际输入中执行得比1.5好很多都没关系，因为它总是我们关心的那个最糟糕的情况。如果能够对现实世界的数据进行推断和预测，那么这个统计方法就是好的。一般来说，统计学有两个主要目标。首先是统计推断：分析数据以了解它产生的过程; 其次是预测：使用历史数据的模式来预测未来。因此，在评估两种不同的统计算法时，数据至关重要。没有多少理论能告诉你支持向量机是否比决策树分类器更好 - 唯一的办法就是在你的数据上面运行这两个算法，看看哪一个能给出更准确的预测。在机器学习方面，还有一些理论试图形式化地描述统计模型的行为，但是它们离现实应用还有较大距离。例如，考虑VC维和PAC可学习性的概念。基本上，在理论给出的条件下，因为你提供了越来越多的数据，模型最终会收敛到最好的一个，但不关心你需要多少数据才能达到期望的准确率。这种方法对于决定哪种模型最适合于特定数据集是非常理论化和不切实际的。在深度学习中，理论尤其短缺，可以通过反复试验找到模型超参数和体系结构。即使是理论上已经很好理解的模型，这个理论也只能作为一个指导原则; 你仍然需要交叉验证来确定最佳的超参数。模拟现实世界数学和统计学都是我们用来模拟和理解世界的工具，但它们以非常不同的方式实现。数学创造了理想化的现实模型，里面一切都是清晰的和确定的；统计学认为所有的知识都是不确定的，并且试图理解数据尽管一切都存在随机性。至于哪种方法更好——两个方法都有其优势和劣势。数学对于规则是合乎逻辑的并且可以用方程来表示的领域进行建模是很好的。其中一个例子是物理过程：只有一小部分规则对预测现实世界中发生的事情非常有用。而且，一旦我们发现了系统遵循的数学规律，它们是可以无限泛化的——即使我们只观察到从树上掉下来的苹果，牛顿定律也可以准确地预测天体的运动。另一方面，数学在处理错误和不确定性方面显得很笨拙。数学家创造了一个现实的理想版本，并希望它与真实的东西足够接近。当游戏规则不确定时，统计学就会闪耀它的光芒。统计数据包含不确定性，而不是忽略错误。每一个值都有一个置信区间，在95％的时间内你可以预期它是正确的，但我们永远不可能100%确定任何东西。但只要有足够多的数据，正确的模型就可以从噪声中分离出信号。这使得统计学在处理有许多未知的混杂因素（如模拟社会学现象或任何涉及人类决策的事物）时成为一个强有力的工具。缺点是统计学只适用于你有数据的样本空间; 当超出了过去训练数据的范围进行预测时，大多数模型都表现得不好。换句话说，如果我们用苹果从树上掉下来的数据进行回归，它最终会很好地预测从树上掉下来的其他苹果，但是却无法预测月球的轨迹。因此，数学比统计学能使我们更深入，更基础地理解一个系统。数学是一个美丽的学科，它能从复杂的系统提炼出本质。但是，当你试图了解人们的行为方式，当主体不总是理性的时候，从数据中学习是一个很好的选择。关注微信：哆嗒数学网每天获得更多数学趣文

群、对称性：数学家是这样翻转正方形的原文作者，Patrick Honner，美国杰出数学和科学教育总统奖得主。翻译作者，radium ，哆嗒数学网翻译组成员。校对，mathyrl。关注哆嗒数学网每天获得更多数学趣文在刚开始理解什么是数学家和物理学家眼中抽象的对称结构，我们得先从熟悉的形状开始。你得原谅数学家被魔群深深的勾住，一个如此巨大而神秘的代数对象吸引他们花费接近10年的时间去证明它存在。现在，三十年后，弦理论家们——也是正在研究所有的基本力和粒子如何通过在隐藏维度振动的微小的弦来解释的物理学家——发现魔群与物理学中的深刻思想有联系（研究出来的主要定理可以解释魔群的量子场论构造，事实上魔群是一种特殊弦论的对称群）。这个元素个数的数量级达到10的53次方，并且同时让数学家和物理学家兴奋的集合是什么?在建立新的物理理论中搞清对称性的数学结构以及隐藏的对称性的过程中，像魔群这样的代数群的研究提供了线索。群论在很多方面集中体现了数学的抽象性，但是它构成了一些我们的大部分类似于数学经验的基础。现在让我们研究对称性的基础以及阐明他们代数结构。我们喜欢说一个事物具有对称性，但是它真正的含义是什么呢？直觉上讲，对于像镜像那样的事物，我们有对称的感觉。假设我们画一条垂直的线穿过正方形的中间。这条线将正方形分成两个相等的部分，这两部分互为对方的镜像。这个熟悉的例子被称为轴对称。但是这儿还有其他与镜像无关的对称类型。例如，正方形还具有旋转对称性。从这个例子中我们可以看见正方形关于它中心点（对角线的交点）逆时针旋转的过程。在旋转了90度（四分之一的翻转之后，它看起来和之前的一样。我们定义一个对象变换是对称的，如果这个物体变换后与变换前的形状一样。上述旋转是正方形对称性的一种，而我们轴对称的例子可以作为第二种对称性。让我们花一点时间来定义一些的术语。我们将称最初的对象为“原像”，而变换后的对象为“像”。我们将用术语“映射”去描述从一个对象（一个点，一个线段，一个正方形，等等）变换到另一个对象的过程。对称性要求变换不改变对象的大小或者形状。一个变换如果满足这样的要求被称为“等距”，或者称作刚体运动。基本的等距变换是关于一条线反射，关于一个点旋转，以及沿着一个向量平移。现在我们继续分析正方形的对称性。我们知道有一种对称性是“关于一条通过中心的垂线反射”；另外一种是“关于中心逆时针旋转90度”那么还有其他的吗？他们是什么？还有多少种？在数学中经常出现这样的情况，提前规定好的记号将让我们的分析更加容易。首先，假设我告诉你我已经通过对称性变换好了正方形，下图是结果。这样的结果应用了那种对称性？旋转？反射？当然这不可能精确地看出来运用了哪种对称的准则。为了帮助我们确认具体应用了哪对称性，让我们从标记原始正方形的顶点开始分析。进一步，让我们规定不论何时我们描述原始正方形都用这样的标记：左上角为A，右上角为B，右下角为C，以及左下角为D。好了，现在我们开始变换正方形，我们可以追踪标记是怎样移动的。例如，在关于一条过中心的垂线反射后，正方形变成了下面这样的形式：对比原始的标记，A现在在B的位置，而B在最初A的位置。类似的，C和D也交换了位置。将原始标签作为ABCD，我们将经过变换后新的标签记为BADC。这样就清晰地揭示了，在这样的变换下，A被映射成了B，B被映射成了A，C被映射成了D，最后D被映射成了C。我们可以可视化记号是怎么变换的：我们将一直记原始位置为ABCD，因此列表中的相对位置描述了每个原始顶点在变换下映射的位置。在另一个例子中，我们绕中心逆时针旋转90度可以标记为DABC,在这个变化中A被映射成D，B被映射成A，以此类推。严格的来说，这仅仅描述了在一次变换中每一个顶点发生了什么。但事实证明，这足以描述整个正方形变换的情况。这是因为对称变换是等距的，因此维持了对象的大小和形状相等。等距不能让尖角或顶点变平，因为那样将会变对象的形状。这意味着所有的角A,B,C,D都将映射成角。类似的，等距变换的性质保证了线段将映射成线段。于是，一旦我们知道正方形的角往那边走了，相应的边也沿着相同的路线行走。换句话说，正方形边的像决定于对应端点的像。这就意味着我们能完整的通过排列四个字母A、B、C和D具体说明正方形的一个对称。这本身是非常好的，但它同时也立即暗示着正方形对称的形式的数量有一个上界。正方形对称形式的种数不超过四个字母排列组合的种数。那么有多少种排列呢？考虑用这些字母创造一个排列，你可以从这四个字母中的任意一个字母开始，但是一旦你选择了一个字母，那么对于第二个字母你就仅仅只有三种选择。一旦你选择了第二个字母，在第三个字母上你就只有两种选择，最后，对于第四个字母将你只有一种选择。一个基本的计数方式告诉我们有 4 × 3 × 2 × 1 (= 4!) = 24 4 ×3×2×1(=4!) = 24种可能的排列。因此，对于正方形这儿最多有24种对称方式。事实上，正方形的对称形式远少于24种，一个简单的论据将告诉我们为什么。让我们回到原始图形。假设我们知道正方形的一个对称把A映射成B，那么C又如何呢？答案很明显，C只能被映射到D上去。A和C是正方形对角线的端点。因为等距不改变长度，A和C的距离必须和映射前的距离相等。如果A映射成了B，那么现在与A的距离等于对角线长度的唯一对应点D就是点C必须到达的地方。这样就极大的减少了正方形对称性可能的数量。假定我们构造了一个对称，那么A点有多少种可能性？因为顶点必须对应到顶点上去，关于A的映射这儿仅有四种可能的情况。一旦我们选择了一种方式，那么A的对角线端点C的映射也只有一种方式。那么对于B就只有两种选择了，类似的方法我们可以知道D也只有一种选择。最后，讨论正方形的对称性，我们真正需要考虑的只有两种情况：A点的选择方式（四种）以及B点的选择方式（2种）。这就意味着这儿仅仅只有4 × 2 = 8 种可能性。这儿用我们的记号列出了完整的清单：现在我们无法保证所有的八种可能性都是正方形实际对称性。但是它是一个小的列表，所以我们可以逐一验证它。实际上他们都是合法的对称性：左边的四种是旋转对称性（旋转角度为0°，90°，180°，以及270°）右边的四种是轴对称（两个关于过中心的垂线和水平线对称，两个关于对角线对称）。所以这八种变换都是对称性，我们已经确定了正方形最多有八种对称性，显然我们已经把它们全面找到了。但这真的就是全部的情况吗？当我们发现一种自然的方式去组合对称方式，一个新的关系产生了：我们可以简单的应用他们在一系列变换在中（一种称为“复合”变换运算）因为应用对称性再次给了我们一个一样的正方形，你可以应用另一个对称性再次产生一个一样的正方形。这就意味着如果你连续应用多个对称性，这些对称性的复合本身是也是正方形的对称性！我们可以通过上述八种的各种组合造成新的对称性。但当我们试图这样做时一些有趣的事情发生了。假设我们逆时针旋转正方形90°然后让沿过中心的垂线反射，那么顶点会发生什么变化呢？旋转让A变成D，然后经过反射到C，所以最终是A到C。B旋转到A，然后反射回到B，所以B映射到B。C旋转到B，然后反射到A，然后D旋转到C，然后反射回D。在我们采取的记号中，这些两次变换的复合可以被描述为：但是这个对称都已经在我们的列表里面了！逆时针旋转90°后通过中心的垂线反射，实际上就是关于对角线BD做了一次反射。事实上，每一次上述八种对称性的组合本身也就是上述八种对称性之一。现在我们已经在这些对称性集合中揭示了基础的代数内在结构。当我们通过组合两种对称性时，我们得到了另一种对称性，用一样的方式我们通过加法结合两个数字得到另一个数字。而恒等对称（旋转0°）在我们数字系统中表现为数字0. 而每一个对称性都可以被抵消，就像加三也可以加上-3来抵消：例如，正方形旋转90°可以被再旋转270°抵消。这是群基本的代数属性，他们赋予群，就像正方形对称性的集合，具有类似于我们熟悉的数字系统的结构和规律性。但是对称性的群也展现了他们自己的复杂以及微妙的特征。例如，我们关于正方形的对称群仅仅包含八个元素，与我们无限的数字系统形成了鲜明的对比。当我们能组合对称性在一定程度上相似于我们叠加数字，我们组合的顺序导致不同的结果,例如：3+4=4+3但是在旋转之后反射与在反射之后旋转结果却不同。由简单的正方形对称性，我们已经对代数结构有了一种模糊的感觉，那么你是不是想知道数学家和弦理论学家研究的魔群深处的是什么了？关注哆嗒数学网每天获得更多数学趣文

美国数学会评选2017年11大数学热门事件翻译作者，小米，哆嗒数学网翻译组成员。关注哆嗒数学网每天获得更多数学趣文美国数学会评选的年度数学热门事件又来了，今年的晚了一些，大家来看看吧。------------------------------------------------------------------------------- 玛丽安・米尔扎哈尼，1977年5月3日——2017年7月14日菲尔茨奖的唯一女性获奖者玛丽安・米尔札哈尼在今年7月14日去世了，年仅40岁。米尔札哈尼是斯坦福大学的教授。她是一位极具原创性的数学工作者，对几何和动力系统领域作出了许多重大贡献。她的工作连接了几大数学方向——包括双曲几何、复分析、拓扑和动力学——反过来她的工作也深刻地影响了这些方向。世界各地的媒体都报告了她的生活和数学贡献。《隐藏人物》，电影与数学家电影《隐藏人物》在2016年12月发行前就得到了大量曝光。2017年1月AMS年度数学联合会上，本书作者 Margot Lee Shetterly和参与了美国航空工程的数学家 Christine Darden出席了该电影的发布会，现场座无虚席。2017年，电影明星在电视节目上谈论那些激励人心的女数学家故事，书本和电影引起了读书俱乐部的关注，学校组织学生去电影院，甚至还出现了一套以电影中的女性为主题的商标－－这些都被媒体广泛报道。在2017年5月，美国航天局把其在弗吉尼亚州汉普敦Langley研究中心的一栋大楼以97岁女数学家凯瑟琳・强森的名字命名，用以表达她的敬意。丹尼尔·罗思曼关于生物大灭绝的研究麻省理工大学的丹尼尔·罗思曼教授在《科学进展》杂志上发表了名为《预测下一次生物大灭绝或全球灾难时间的数学公式》的论文。这无疑是一个沉重的话题。论文引起了广大媒体的关注。数学与“杰利蝾螈”现象2017年夏天，数学家Moon Duchin在塔夫茨大学组织了一个度量几何与“杰利蝾螈”研究小组，旨在用新的数学工具分析和解决杰利蝾螈现象。（图：宾西法尼亚州一种可行的选区划分方案，它将整个州黄划分成为18个人口相等的选区。下图：宾州现行的选区划分。）恩尼格玛密码机被拍卖“一台罕见的纳粹二战期间使用的恩尼格玛密码机周二在拍卖会上以45,000欧元被一名匿名网上买家买走。”CNN报道。正如史密森尼学会指出，“这台恩尼格玛机是有史以来出镜最多的密码机。”这种机器在二战期间被德国军方改造用来加密信息，而盟军最终破译了这种密码——这是在2014年电影《模仿游戏》中讲述的故事。许多版本的恩尼格玛机都成为了收藏品，而这台被拍卖的恩尼格玛机格外引人注目，原因是它的主人在当初在跳蚤市场上只用100欧元买下了它。维拉尼当选法国议员43岁的数学家、菲尔茨奖得主赛得里克·维拉尼,在南巴黎的一次选举中赢得了69%的选票并成为了一名新的法国国民议员。在《科学》杂志的一次采访中，维拉尼说到，“我从未计划参与任何国家政治活动。但马克龙的政党对欧盟热情的支持，这在法国国家政党中是非常罕见的。它同时也反对过去的政治传统，即在选举中系统地攻击对手；相反地它倡导博爱、实用主义和进步。同时，他的政党也欢迎非政治家的专业人士。” 《数学杀伤性武器》凯西·欧尼尔这本书的副标题是“大数据加剧了不平等并威胁了民主”。无论是在电台还是纸媒的采访中，欧尼尔都强调人们并不理解数学模型、算法以及打分系统如何在生活的方方面面影响了我们——大学录取、监狱系统、就业、保险、选举、棒球队招募、社交网格、金融系统和教育。在EdSurge的访谈中她谈到，“算法，说白了就是一种打分系统。只要你有了一个打分系统，你就可以钻系统的漏洞。漏洞钻得多了，系统就不再有效了。这就是现实。” 伊夫·梅耶尔获得2017阿贝尔奖今天3月，挪威科学和文学会宣布伊夫·梅耶尔获得今年的阿贝尔奖，以表彰他“为小波分析的数学理论发展中做出的突出贡献。”阿贝尔奖是数学界中最有威望和慷慨的奖项之一。这则新闻被各大新闻和科学媒体报道，包括《自然》、《福布斯》、《卫报》、《法国商业报》、《爱尔兰时报》、《科学美国人》等等。 Urschel从橄榄球生涯退役成为一名职业数学家作为一巴尔的摩乌鸦队的一名职业橄榄球运动员同时也是麻省理工一名数学研究生，Urschel因为他的双重份已经被媒体报道多年。2017年他决定在26岁的年纪从橄榄球生涯退役专攻数学。就在近日，一份报告揭露了橄榄球运动中广泛存在的运动员大脑损伤，但Urschel说他的决定更多地是为了更好地研究他的数学。媒体达人尤金妮娅·郑尤金妮娅·郑把烘焙和高维范畴学结合在了一起。她对于数学及其与音乐、烘焙和日常生活联系的热情是充满感染力的——这是她为什么出现在许多的电视广播节目与出版物中。“数学是奇妙的，而我们也必须以一种奇妙的方式去对待它。” π节每年的π节（3月14日）都吸引了很多媒体的眼球。大量的故事和语音都在探讨它的历史、庆祝、相关的难题、游戏（想象呼拉圈和悠悠球），当然还有如何烹制派。学生和数学家们——今天还有美国航天局——都加入到这些向π致敬的有趣的活动中。关注哆嗒数学网每天获得更多数学趣文

甜腻腻的情人节的卡片：长数轴原文作者，Evelyn Lamb，数学及科学普及自由作家。翻译作者，Math001，哆嗒数学网翻译组成员。校对，donkeycn。关注哆嗒数学网每天获得更多数学趣文我必须坦诚交代我曾经对长数轴（long line）有着微微的敌意。但是当我看到Mike Lawler发的推文的时候，我觉得应该给再长数轴一个表达自己的机会。 Mike Lawler: 我对你的爱就像长数轴 —— 真情如往，仅更久长就是说，长数轴是拓扑空间中的一张甜腻腻的情人节卡片。试图能找到它背后所有的意义，就是让我在数学里找寻爱情的表达，最幸福的事情莫过于此。就像它名字表达的那样，长数轴真的很长，某种意义上说它比通常的实数轴“长”。我们能把通常的实数轴看成一串单位长度的区间一个接着一个拼接而成的直线。或者说明确一点，区间的个数与整数一样多。长数轴基本也一样，只不过区间的个数与实数一样多而已。无论如何，如果这样的长数轴能作出来，应该是很赞的事情。但是，真相有点诡异，它会让我们撞入集合论错综复杂的旅程之中。集合论中关于无穷的很多断言曾经让数学家康托疯掉。我这里有言在先！为了定义长数轴，我们得先讨论一下不同数量的无穷。当数学家们讨论集合的数量，或者说集合的基数，他们用的思想是一一对应：如果两个集合中，从第一集合里取出的每一个元素，都能从第二个集合取出一个元素与之配对，一个不多也一个不少，我们就说这两个集合有相同数量。换种说法，如果我们不想数手指的话，我们把两个拇指对起来，再把食指对起来，一直下去，直到把两只手的所有手指都对应了起来，于是我们知道，两只手的手指数量是相同的。当我们把此方法用于无限集合的时候，奇怪的事情就会发生。虽然偶数只是整数的一部分，但是整数和偶数是一样多的。我们可以把整数写在左边一列，偶数写在右边一列，左边写n的地方，对应的右边写上2n。于是，我们找到了一个一一对应，这两个集合元素的数量是一样多的。然而对于有限集，你是找不到这样的一个一一对应的。 .实数集合已经被证明是比整数多的，所以我们知道了至少有两种不同数量的无限集合。实际上，我们有从一个数量少一些元素的集合得到元素数量更多的集合的一般方法。所以，我们可以从整数的无穷开始不断生成无穷多个拥有元素数量越来越多的无穷集合。对于整数集合的无穷，我们把它叫做可数无穷。这和我们要说的长数轴有什么关系？长数轴的确切定义其实不是用实数多个单位区间拼起来。而是把最小的不可数无穷(smallest uncountable infinite)多个区间拼在一起而组成的。到了这里，我们将撞入连续统假设问题。连续统假设是说实数的无穷就等于最小的不可数的无穷。所以，如果实数的基数和最小的不可数的无穷相等，那么我先前长数轴的描述才是准确的。如果不是，实数无穷和整数无穷之间还有别的无穷的话，构造长数轴的区间数量应该用那个最小的不可数无穷替代。那么，连续统假设是真的吗？好消息是，你认为它是真的是没问题的！1963年，Cohen证明了连续统假设和决定数学底层的策梅洛-弗兰克尔公理系统不矛盾。连续统假设不成立，也和策梅洛-弗兰克尔公理系统不矛盾（编者修正：这是一个误解，实际上连续统假设与策梅洛-弗兰克尔公理系统不矛盾在20世纪30年代就由哥德尔证明了，Cohen证明的只是后者，即，即便连续统假设不成立，也和策梅洛-弗兰克尔公理系统不矛盾）。就是说，连续统假设这个命题和数学的公理体系是独立的。你不可能用现有的数学公理证明或者否定连续统假设。一些人认为，这说明我们的数学底层还不完美，但我更倾向于支持另外一种说法——我们可以在一些没有矛盾公理体系之间自由切换。我们是否决定接受连续统假设，取决于我们用长数轴能做多少事情。它有什么好处？和许多我喜爱的拓扑空间一样，长数轴可以用来打破你之前喜爱的数学用具——这是一个绝妙的反例。在这种情况下，长数轴告诉我们如果我们有太多好东西，也许并不一定是好事。最基本的，在长数轴上，我们不能建立微积分体系，因为它太长了。至于原因，这牵涉到很艰深的技术手段，特别是你刚刚费尽脑汁思考完“最小的不可数无穷”的时候，我们来说说建立微积分体系要满足的三个条件也许更容易接受一些：第一，从局部看，它要和某个维数的欧氏空间相似；第二，它得是豪斯多夫的，就是说你可以让空间内的点分离开；第三，它还得是第二可数的，就是说它能从比较少（可数多）的集合中构建出来。长数轴不满足最后一条。虽然，你可能认为长数轴基本上和普通实数轴一样，但是它们其实有根本的不同，就是因为长数轴太长了。 “吾爱汝深深几许？今且听吾细数之…”(How do I love thee? Let me count the ways…)，如果你心里总惦记长数轴的话，这勃朗宁夫人的诗句听起来也没那么动人了，“吾爱汝深深几许？勿可令吾细数之,犹如集构长数轴, 实为永世不可数！” 虽然诗意少了些，但貌似能更浪漫的表达你的感情！关注哆嗒数学网每天获得更多数学趣文

既是数学大咖又是力学大神的哥廷根大师们作者：陈刘，哆嗒数学网群友。关注哆嗒数学网每天获得更多数学趣文在这个安静的夜晚，刚看了一篇关于哥廷根应用力学学派思想发展的综述论文，思索再三，终于敲打起键盘，写我喜欢的应用力学。应用力学的思想精髓是什么？应用力学研究什么？应用力学的发展历史是怎样的？有哪些著名的力学大师？我国的力学发展情况？我会就我个人的看法，一一回答。总之，仅代表我个人的看法，望能激起你对应用力学的兴趣。应用力学，我个人认为是沟通自然科学与工程科学的桥梁，从生活实践中提取，归纳理论，进而形成规律，然后运用于生活，这便是其思想精髓。自然科学侧重探索自然的奥秘，工程科学侧重运用理论解决生活实践中的实际问题。理论在与实践结合的过程中，力学扮演了重要的角色，处于核心地位。那么，应用力学的研究内容主要有哪些了？我举具体的例子说明这个问题：力学就其历史上经典的门类，可以粗略的分为固体力学，流体力学（现在还有物理力学，生物力学等等）。在二十世纪以前，弹性理论，流体力学是理论物理的一部分。在后来的发展过程中，弹性理论主要运用于分析材料的力学性能，形成一门经典的学科，也就是固体力学。现在，我们大学开设的工科力学基础课程就包括，材料力学，弹性力学，结构力学，还有建筑系的建筑力学，可以说都是固体力学的一部分。固体力学就完成了力学在工程实践中的应用，但同时和物理保持着深刻的联系。流体力学在当时也是理论物理的一部分，至今在某种程度上也可以说是理论物理的一部分。流体力学的分支学科包括：空气动力学，多相流体力学，燃烧学，湍流与流动稳定性等等。可以这样说，流体力学既是基础科学又是应用科学。空气动力学主要应用于航空航天领域，解决飞行器飞行过程中的具体问题，包括：激波，边界层减阻，音障突破等。多相流体力学主要研究汽液固三相物质之间的相互作用。简单的例子就是，气泡在液体中的生成和溃灭现象；以及海洋中，海水与固体建筑物，船只等的相互耦合作用。燃烧学的应用非常广，比如在发动机领域，燃烧室的燃烧现象是一个涉及面广且困难的问题。燃烧现象涉及到复杂的热化学反应，复杂的湍流运动，还有各种未知的环境影响，综合来说，燃烧学是一个与流体力学结合紧密的学科，了解燃烧现象，对很多基础学科都有本质上的进步。湍流与流动稳定性领域，主要研究流体如何从层流状态过渡到湍流状态，以及流体在湍流状态后的一切动力学特征。这是一个非常困难的领域，世界各国都有很多科学家致力于湍流的研究。从哥廷根大学的应用力学研究所开始，普朗特曾致力于湍流的研究，提出了著名的“混合长度理论”；普朗特的学生，冯•卡门也曾孜孜不倦的研究湍流，写下了著名论文《湍流的力学相似原理》。这些领域的应用，都说明了流体力学既是一门重要的应用学科，同时又是一门重要的物理科学，从而也论证了，为什么力学是联系自然科学和工程科学的桥梁。应用力学的发展历史是怎样的了？我才疏学浅，仅就我所了解的范围斗胆谈论这个问题，恳请有识之士批评指正我，并改正，补充和完善相应的内容。在哥廷根应用力学研究所建立以前，我所知道的力学大师有泊松，欧拉，达朗贝尔，阿佩尔，拉格朗日，拉普拉斯。我们能发现，其实我所列举的力学大师更准确的说，应该称为数学家。没错，我曾在费米的传记中看到一段话，在当时的意大利，力学都是由数学系的老师授课的，也就是说，力学是作为数学系的一部分，这个现象在当时很多国家都是类似的。在哥廷根应用力学研究所建立以后，力学作为一门独立的学科逐渐开始从数学，物理中分化出来。在二十世纪初叶，哥廷根是世界的数学中心，有着深厚的数学底蕴。高斯，黎曼，希尔伯特，克莱因都是鼎鼎有名的数学大师。同时，在哥廷根大学还有一个传统，就是既要在纯粹数学领域深入研究下去，另外还要把数学应用于生活，以及其他科学领域。从高斯起，哥廷根大学就坚持着这个传统。所以，我们会发现，高斯既是一位数学家，又是一位在物理学领域颇有建树的物理学家。在希尔伯特和克莱因作为哥廷根数学领袖的时候（二十世纪初），希尔伯特更侧重纯粹数学的研究，但也支持相关的物理学研究（曾支持波恩建立物质结构研究所，海森堡曾在这里学习）。与此同时，克莱因较侧重应用数学的研究，建立了哥廷根应用力学研究所，邀请著名科学家普朗特带领应用力学研究所。两位数学大师在各自的信仰下，使数学在各个方面蓬勃的发展。应用力学研究所成立以后，力学进一步蓬勃的发展。当时的哥廷根，力学主要在固体力学和流体力学方面得到了充足的进步。后来应用力学研究所又继续分为流体力学研究所，由普朗特主持；以及空气动力学研究所，由贝茨任主任。此后，应用力学研究所有着许多成果：托儿明研究了非定常边界层的稳定性；尼姑拉兹在管道的阻力方面做了一系列的开创性实验；贝茨研究了翼型阻力；阿克莱特研究了超声速流相似律和吸气边界层等等。应用力学研究所培养了一个时代的力学大师，冯•卡门，铁摩辛柯都在应用力学研究所学习过。学成的冯•卡门更是培养了一个时代的力学家。我们国家的钱学森先生，钱伟长先生，郭永怀先生都师从于冯•卡门。总之，从哥廷根应用力学研究所建立开始，力学作为真正的科学开始在自然科学和工程科学间建立起沟通的桥梁。有哪些著名的力学大师了？当然，我所列举的力学的大师，可能存在我个人的偏爱。普朗特，当之无愧的力学大师，开创了哥廷根应用力学研究的先锋，并使工程科学的思想开始生根，发芽。泰勒尔，英国著名的流体力学家，湍流统计学派的代表。冯•卡门，继续把哥廷根应用力学的工程科学思想发扬光大，把空气动力学应用于航空航天，取得了相当大的成就，著名的卡门涡街应该是人人皆知。并培养了钱学森，钱伟长，郭永怀等我们国家一个时代的科学家。巴彻勒，英国著名的流体力学家，师从泰勒尔，在局地均匀各向同性湍流中取得了很大的成就，同时开创了悬浮流体力学的研究，也是剑桥大学应用数学与理论物理系的创始系主任。我曾看过我国著名物理学家温景嵩老师对巴彻勒老师的回忆，深深感动于巴彻勒老师的品质。我对我自己的要求是，一定会去剑桥大学，去看看巴彻勒老师工作过的地方，巴彻勒老师也是我前进的目标。科尔莫果洛夫，前苏联著名的数学家，力学家。提出的湍流“负5/3律”，至今都是，湍流领域的重要成果。铁摩辛柯，著名工程力学家，被誉为“现代工程力学之父”。周培源，我们国家著名物理学家，力学家，在湍流统计领域取得了巨大成就，对我国的力学事业做出了巨大贡献。还有很多力学大师。我个人认为，前辈们的品质，纯真好奇心的求知，值得我们用心学习。我国的力学发展情况是怎样的？我国力学学科的发展，我认为有两个平行的方面。第一个方面是周培源教授带领下的湍流研究，使我国的湍流研究在国际上有一定地位。第二个方面是钱学森先生，钱伟长先生，郭永怀先生在二十世纪五十年代回国后所做的贡献。钱学森先生，郭永怀先生创建了中科院力学研究所。中科院力学研究所为我国的火箭发动机，风洞研究做出了巨大贡献。今年，我国发射了首颗微重力研究卫星，力学所是主要负责研究所。随后，钱学森先生还在中科大成立了近代力学系。钱伟长先生在上海建立了应用数学和力学研究所，进一步发扬工程科学思想，把数学理论应用于生活实践。简单的叙述，也就到此为止了，这些都是我平时看的点滴，肯定有叙述不当或错误的地方，望亲爱的读者能批评指正，更希望能激起你对力学的兴趣。我了，也得踏踏实实努力，继续在力学考研的道路上前进啦，共勉。关注哆嗒数学网每天获得更多数学趣文

如果数轴有两个原点会怎么样？关注哆嗒数学网每天获得更多数学趣文原文作者，Evelyn Lamb，数学及科学普及自由作家。翻译作者，Math001，哆嗒数学网翻译组成员。校对，donkeycn。你即将搬家，所以你得在子事先没有过目的情况下租一个新的公寓。你网上也找了，电话也打了，终于相中了一个看上去不错的房子。但你到了你的新家的时候，总觉得有的地方…昏暗无比。实际上，房间所有地方都黑漆漆的，因为根本没电。你重新去翻看房屋出租的广告，的确，广告没有任何地方强调了房间就通电的，但你不会考虑你需要将这件事情当成一个问题去询问房东。对于很多数学家来讲，豪斯多夫性质就像一个房间就应该通电一样自然。当然，你能构造一个不是豪斯多夫的空间，但你研究问题的时候，多少会认为，一个正在思考的空间是豪斯多夫的。在一个不是豪斯多夫的空间里做拓扑问题，那种感觉和在一个乌漆嘛黑的房间里乱撞没有区别。豪斯多夫性质是以德国数学家费利克斯·豪斯多夫的名字命名的。豪斯多夫性质描述的是数学空间中关于分离性的众多性质中的一个：空间中的点，它们之间的的分离程度到底有多大？一个拓扑空间是豪斯多夫的意思是，任意两个空间中不同的点，都能把它们分别放入两个不相交的开集里面。开集是拓扑空间中最基本最普遍的概念，你可以看看我们之前的文章，来了解一下为什么开集如此重要。为了进一步了解豪斯多夫性质的重要性，我们来思考一些常见的空间，比如说实数轴。实数轴中的开集就是那些开区间(编者注：以及开区间并起来得到的并集)，比如(0,1)。两个数轴上的点，无论他们距离有多近，他们之间总有一个距离区隔，所以我们能找到两个足够小的开区间，这两个开区间各自包含了一个点，并且这两个区间没有重叠的部分。其他常见的空间——诸如二维欧氏平面、三维欧氏空间——同样具有这个性质。我们似乎有点难以想象一个空间没有这样的性质。这里我们来引出一个有两个原点的数轴——最简单的没有豪斯多夫性质的空间之一。为了作出一个有两个原点的数轴，我们从作普通的两个数轴开始做工作。我们标记好两个普通数轴上的点，上面那条数轴的点为(x,0)，下面那条上的点为(x,1)。现在，我们说我们把除了x=0以外的所有的(x,0),(x,1)这样的点都看成相同的点。而且我们设定，新的空间继承之前那两条普通数轴的通常拓扑，就是说，新空间的开集还是由那些开区间组成。你可能无法接受我们把那样的两个点看成相同点的设置，但是思考拓扑问题的时候我们必须设定一些类似这样的规则。就像乔治·奥威尔的小说《一九八四》中设定“我们和东亚国的战争永无完结”（We have always been at war with Eastasia）一样，(1,0)和(1,1)在我们的设定中就是相同的点。你能明白有两个原点的数轴不是豪斯多夫的原因吗？毫无疑问，定义中“除了x=0”引起了我们的注意。在上面的那条数轴中，每个包含(0,1)点的开区间，都和下面数轴中包含(0,1)的开区间有重叠的部分，这是因为两条普通数轴中，几乎所有的点都是相同的点。虽然，我在本文中画了一些图形，但是仍然难以用准确的图形展示有两个原点的数轴。实际上，我们能在数学上证明我们不可能画出有两个原点的数轴，这也是豪斯多夫性质之所以重要的原因之一。一个没有豪斯多夫性质的空间是很难直观的展示的。但是一个空间如果满足豪斯多夫性质，那么我们就可以以某种适宜的方式将它纳入到某个欧氏空间，或者维数再高一些的空间中讨论。两个原点的数轴不能嵌入到任何一个欧氏空间来展示它的本质。于是，我们退而求其次，我们在纸上或者电脑屏幕上作图的时候，会省略掉一些点和线，希望读者能大致能理解。关注哆嗒数学网每天获得更多数学趣文

环面：我们和数学家都喜欢的甜甜圈原文作者，Evelyn Lamb，数学及科学普及自由作家。翻译作者，Jessie仪，哆嗒数学网翻译组成员。校对，donkeycn。关注哆嗒数学网每天获得更多数学趣文数学总是将可定向亏格比作一种甜点，即拓扑例子里最美味的那种。.啊，这个简单的环面是拓扑学家们最初的朋友，它也展示了理论与实践的差距。环面有很多特性而且在数学的各个领域都会出现。第一，他有一种拓扑的特性。拓扑学并不关心你看它的具体形状像什么，它只关心大体上的特征。具体来讲，它关心物体在没被撕裂或粘合的情况下，那不论是被拉伸还是被压缩都不改变的方面。在拓扑世界中，环面是一种带着一个洞的二维空间，或者说是一个曲面。（更高大上说来，它是一个亏格为一的可定向曲面。）急于将他们自己与更吸引人的烘焙学科联系在一起的拓扑学家们将环面描述为甜甜圈，虽然在某种无聊的精确角度来看，它其实仅仅是甜甜圈表层的糖浆涂层。（甜甜圈的面包胚是一种叫做实心环面的三维空间。）. 我们经常以一个被完美充起的甜甜圈来代表环面，但是拓扑学家们偏向于以一种更抽象的方式来描绘它。在下面这张图片中，我们将它画成带着几个标记的长方形，这些标记叫做特征点。图中上面带“A”的箭头所对应的边和下面带“A”的箭头所对应的边将会被粘合在一起，左面带“B”的箭头所对应的边和右面带“B”的箭头所对应的边将会被粘合在一起。正如在经典游戏小行星（Asteroids）中，当你从长方形上方的边走出长方形时，你会在下方的边上再次出现；当你穿过长方形的右边时，你会在左边重新现身。这幅图尽管不如甜甜圈那么令人垂涎，但仍然向我们展示了环面所有的重要拓扑性质。这幅平面的长方形图片也良好承担了通向另一个环面生命的责任：作为几何物体的生命。不同于拓扑学，几何学确实关注实际的形状与距离。一个“环肥”的环面和一个“燕瘦”的环面尽管在拓扑概念上相同，但就几何概念而言，是不一样的。几何学家们之所以关注这张环面的长方形表示，是因为本质上这是一个平坦的有限平面，就像一个无限平面。如果你曾不愉快地意识到格陵兰岛其实只有非洲大陆面积的7%，而不是和非洲面积一样大，你潜意识里就已经明白了一个事实：球面不可能被保持距离的展到平面上。这是因为球面曲率为正的，而平面是平的（注：曲率为0）。同样存在一种负曲率的曲面，他们也不可能被毫不扭曲地扯平。这个长方形图片展示了“环面是平的”这个事实。那么，这可就太好了，因为这样的话，它就能成为一个三维空间中实实在在存在平坦曲面，从而我们能直接观察到它；而不只是把它画在纸上然后还需要运用我们的想象力去想象。我们可以试着通过操作那些长方形上的被标记的那些边来这么做。我们从一个长方形开始。第一次粘合把一张平坦的白纸变成了一个圆柱体。第二次粘合将圆柱两端连在了一起。实际上操作起来还是有些困难的。得到这个环面并不像计划那么顺利。这是一个理论与现实的不和谐碰撞。当它们进入现实世界，当一个数学对象进入现实世界后，一般来讲，它很难再保持完美。我们没法画出一个严格意义圆，而且那个我们用来画图的曲面，也并非一个严格意义下的二维对象。但专心致志与优质圆规可以让我们画出与我们目标足够接近的圆。然而，环面，那可就是个噩梦了。所以，我们到底能不能把环面放进三维空间中而不改变任何距离？我们当然能！但是这没有你所希望的那么容易。一个选项是，我们放弃那个完美平滑的曲面。在平面上，那个长方形没有任何折痕，但如果我们搞出一些来，我们就有处下手了。这么干的方法有很多。几年前我就做了一个。数学3D打印的大魔法师Henry Segerman有一个脊被接合在一起的优秀例子。要是我还不满足呢？要是我想把这些不和谐不雅观的折痕除掉呢？嗯，我们也能这么干！不过这就有点复杂了。在2012年，Vincent Borelli, Saïd Jabrane, Francis Lazarus, Boris Thibert, 以及Damien Rohmer发表了第一批没有任何尖角的三维空间平坦环面的图片。他们写道：“这些图片展露了一个令人意想不到的对象，处于分形和普通曲面的中间：一个平滑的分形。”换句话说，他们将分形的无限特质与一个平滑过程结合到了一起，从而避免了尖角的出现。最后，这个“平坦的”环面看起来一点也不平坦，但它成功体现了它的字面意思。所有的距离都与他们还在那个平面上的长方形时完全一样。（若想进一步了解这种平滑分形的环面，请参见http://tieba.baidu.com/mo/q/checkurl?url=https%3A%2F%2Fwww.youtube.com%2Fwatch%3Fv%3D5qu3WETuf6c&urlrefer=ffa2743f29ca9f42b6ee3df44594300b）环面还有很多其他变体：在拓扑学中，它是乘积空间中的最初例子之一，也是在运用 Seifert-van Kampen定理的第一次有用尝试。在动力学中，它是学生们最初碰到并能在其上“打台球”的平移曲面之一。在我所研究的领域，Teichmüller 理论，这是少有的几个简单到你真正可以理解并进行计算其Teichmuller空间的空间之一。一般来说，环面看上去就是那种每当遇到了新观点时，值得用千百种定理来描述的例子。带着感恩节季的精神，就让我们花点时间来感谢环面，因为它是让我们无论在二维几何还是拓扑学中都可以染指的好例子。（毕竟，数学总是比一个可定向亏格为一的甜点要好。）关注哆嗒数学网每天获得更多数学趣文

代数拓扑的数学方法正在变革脑科学此文原载于《麻省理工科技评论》网站。译文作者：芝城柿子芝士，哆嗒数学网翻译组成员。关注微信: 哆嗒数学网每天获得更多数学趣文没有人彻底了解大脑各部分间的连接图全貌，但是代数拓扑的工具正逐渐帮助人们管中窥豹。人的连接体指的是大脑中不同部分间的网络连接。这些连接表现为大脑中的白质：轴突束。轴突是神经细胞上的突起物，它们连接了组成灰质的神经细胞体。脑科学的传统观点认为，灰质主要负责信息处理和认知，而白质负责大脑中不同部分间的信息传递。所以白质，也就是连接体，就是大脑的连接图。人们对这个结构所知甚少，但有几个引人注目的项目正在对它进行研究。研究表明连接体比人们原来认为的还要复杂。人的大脑里有大约10的10次方个神经元，它们之间有10的14次方个突触连接。找出它们连接的方式是个极富挑战的工作，特别是因为连接体的结构取决于观察的大小尺度。研究还发现了证据，表明白质在学习和协调大脑活动方面发挥的作用比人们所想的重要。但是这作用和连接体的结构的具体关系仍处于未知。所以说在跨度巨大的不同尺度上了解连接体的结构是神经科学最大的挑战之一，但人们并没有合适的数学工具来研究这个课题。如今，由于代数拓扑这个数学领域的发展，局面开始改变。这门传统上只是关于分类空间和图形的晦涩学科，现在也逐渐开始为神经科学家们所用。宾夕法尼亚大学的Ann Sizemore和她的同僚向人们展示了它如何革命性地推进了我们对连接体的了解。代数拓扑学家的目标非常具有挑战性：他们致力于研究拓扑空间在不同尺度下的对称性。在数学领域内，对称性指的是任何从不同的视角下看起来不变的东西。比如说正方形旋转90度后看起来没有任何变化，这就是一种对称性。还有一些数学结构，它们在不同大小尺度下保持不变。它们被称作稳定同调(persistent homology)。寻找它们成了研究连接体的关键步骤。神经科学家早就知道某些认知功能需要调动分散在大脑各处的许多神经节点。这些节点如何被白质连接起来的是整个连接体项目的中心问题之一。神经科学家们通过观察水在其中的扩散来研究白质纤维。扩散核磁造影技术可以显现出水扩散的路径，从而显现出白质的结构。为了进一步研究，Sizemore和她的同事们测量了八个健康成年人的大脑，这样他们就可以寻找在每个人大脑中都相同的结构。他们专门研究了已知在认知系统中有作用的83个区域之间的连接，这些区域包括听觉系统，视觉系统，和触觉、压力、痛感有关的体感系统等等。这样得到了一个连接图以后，Sizemore和她的同事们运用了代数拓扑的技巧来研究它。这个新方法让他们得到了一些重要的新认识。首先，它揭示了某些神经节群之间是“完全连接”的——意思是节群里的每个节点都和其他所有节点相连，整个节群组成一个叫做团的结构。所有和认知有关的系统都是由包括不同数量的节点的团组成的。但是，研究还揭示了另一组重要的拓扑结构。这个结构叫做圈，就是闭合的环。它指的是一个节点连接着另一个节点，第二个又连着第三个，等等，直到最后一个节点连接上了第一个节点，就是一个完整的圈。圈在大脑中产生了一个神经回路，不仅可以在大脑各处传递信息，还可以帮助反馈环作用。这些作用大概是记忆的产生或行为的控制。Sizemore和她的同事们说他们的研究发现了许许多多不同大小的圈。不像团的范围主要局限在大脑中的特定部位比如皮质，圈的延伸范围很广。它们连接起这些功能非常不同的区域。“这些圈用一个长环连接了进化上早期和晚期出现的区域，使两者在控制脑功能上发挥的独特作用都有所降低。”Sizemore和她的同事们说。团和圈的另一个区别体现在他们的密度。团代表了完全连接的节点，所以它们是密集的结构；环状的圈则相对比较分散。事实上，看和它们有关的大脑各部分间的所缺失的连接数量，是描述它们特点的一个方法。圈实质上描述了连接体中的洞。Sizemore和同事们的工作表明了这些洞的作用很重要。“这些结果第一次向大家展示，代数拓扑的技巧给连接体结构的研究提供了全新的视角。这个视角把环状回路作为大脑建筑结构的关键特点。”研究团队说。这个引人入胜的工作使代数拓扑在更好地研究连接体方面的贡献初露端倪。正如所有好的科学研究一样，这项工作不仅回答了问题，更提出了许多新问题。既然发现了圈可以比其他任何网络结构提供更多认知上的计算，那就可以问：这是些什么样子的计算呢？另一个研究新方向是：现在的人工智能系统所依赖的神经网络是从大脑的结构中取得的灵感。既然分析发现了大脑中新的结构，人工智能领域将如何吸收这些结果，又如何在他们的工作中引入代数拓扑呢？无疑这是一个代数拓扑学家的激动时刻。参考: arxiv.org/abs/1608.03520 : Closures and Cavities in the Human Connectome

莫比乌斯带：这里没有四色定理，只有六色定理原文作者，Evelyn Lamb，数学及科学普及自由作家。翻译作者，金星光，哆嗒数学网翻译组成员。校对，mathyrl。关注哆嗒数学网每天获得更多数学趣文遇见莫比乌斯带——拓扑世界中最具有“讲故事”潜力的拓扑结构。如果你和数学家戴在一起或者去参加数学拓展项目，你很有可能会遇到莫比乌斯带。它在数学世界中是一个很特别的存在，原因在于它很容易被制作，娱乐性很强并且隐藏着一些令人吃惊的数学秘密。你可以在自己舒适的家里，仅仅用一条纸带或者意大利面团就可以做一个莫比乌斯带。将纸带（或面团拉成条状后）一端固定，另一端旋转半周后，将两端粘到一起就可以得到一个莫比乌斯带。它看起来很像一个圆柱体，但还是有些不一样的。如果碰巧你是一个编织手的话，或许能够制作一个可以穿戴的莫比乌斯带。我们通常使用莫比乌斯带来说明拓扑学中的可定向性。可定向性是你所熟知的但却很难被定义概念之一。我不记得有多少次我盯着我的教科书里对于“定向”的定义:“一个对于局部定向的连续选择。”我觉得这个解释毫无用处。为什么这个词的定义中还会包含这个词。还有一个更直观的方式去理解可定向性,至少对于一个在三维空间中的二维的物体来说,空间是可定向的。如果你可以选择“向里”和“向外”或者“向上”和“向下”，来定义二维空间表面每一点的方向，并且这个方向具有一致性。你该不会用“从上到下”来定义一个相同点的方向吧？或许弄清楚莫比乌斯带最直观的方式是将一个球体、一个圆柱体和一个莫比乌斯带一起把玩。如果你拿着一个球体，在北极点处你可以宣称此点方向“向外”，指向为竖直向上。当你在球面上移动该点时，“向外”的方向仍然指向球体外部。相比之下，试着在莫比乌斯带上任意选择具有“向上”或者“向下”的点。当你沿着莫比乌斯带滑动时，最终回到最开始所选择的点，方向已经由“向上”变成“向下”了。尽管你用一张具有正反面的普通纸制作成莫比乌斯带，但此时已经失去了正反面。你可以通过直线移动，从纸的正面到背面，而不是把纸翻转过来。在莫比乌斯带中蕴含着很多数学中的奇妙现象。一个经典的做法是将莫比乌斯带沿中间剪断，看看你能得到些什么。如果将莫比乌斯带沿三等分线剪开呢?如果你将莫比乌斯带再多旋转几个半周、结果又会怎么样呢?比起在博客上阅读，不如自己在家里验证会更有意思。我最近才了解到到的有关莫比乌斯带的特性是六色定理。你可能听说过四色定理:任何一张地图都可以用四种不同的颜色将其涂满，并且相邻的国家颜色不同。这个定理并没有它所陈述的那样正确。我们需要指定这张地图是在球面或平面上。准确来讲，不同的表面上有不同的地图颜色定理，而对于莫比乌斯带，它是六色地图定理。要使这个定理得到验证，首先要记住莫比乌斯带是像任何好的数学对象一样，是一个理想化的存在，它并不存在于我们混乱的现实世界中。它是二维的，不是像真实的纸张那样是三维的，因为不存在任何的厚度将它前后面分开。为了将这一观点形象化，你可以用一张透明的纸制作一个莫比乌斯带。这样，当你绘制你的地图时，你就不能在任何一点上把纸的两侧染成不同的颜色（莫比乌斯带是二维的）。如果你在一张纸上绘制地图，然后再把它折成一个莫比乌斯带，那么平面上的四色定理将会起作用。在这里我有一张需要用六种颜色涂满的莫比乌斯带的图片。在你的电脑屏幕上可能很难看出来，最好的方式是自己在家里制作一个吧，而不是听我在这里讲！莫比乌斯带也同样吸引着艺术家。你可以制作或者购买印有莫比乌斯带图案的围巾、吊坠和戒指，你甚至可以演奏有关莫比乌斯带的音乐。它讲故事的潜力也是很强大的：你沿着某个东西转了一圈，回到起始的地方但迷失了方向。向上变成向下，向里变成向外。或许以莫比乌斯带作为故事的创作背景，最赞的就是Vi Hart创作的感人故事啦， Wind 和 Mr. Ug，两个“似乎”永远不可能相见的朋友。（http://tieba.baidu.com/mo/q/checkurl?url=https%3A%2F%2Fwww.wimp.com%2Fmobius-story-wind-and-mr-ug%2F&urlrefer=c17cf6491f98cd82646b5144961ea9a4 这是这个故事的链接视频，没有字幕但很容易听懂。整个创作是在一个莫比乌斯带上完成的，先是讲了 Wind and Mr. Ug的故事，后来是Wind 与她的a little pet dog的故事，但后来发生了地震，至于这个故事的结局还需要大家自己去制作一个莫比乌斯带去探寻哈~）关注哆嗒数学网每天获得更多数学趣文

“双一流”数学学科建设学校名单，你怎么看？搜索关注哆嗒数学网每获得更多数学趣文根据中华人民共和国教育部官网消息，教育部、财政部、国家发展改革委联合发布了《教育部财政部国家发展改革委关于公布世界一流大学和一流学科建设高校及建设学科名单的通知》，该通知附件中公布了世界一流大学和一流学科（简称“双一流”）建设高校及建设学科名单。“双一流”建设学科名单中，数学作为建设学科的学校一共有14所，均没有添加“自定”标示。按文件中的说法，说明所有以数学学科为“双一流”建设学科的学校均为“根据‘双一流’建设专家委员会确定的标准而认定的学科”。（注，有“自定”标示的学科为“‘双一流’建设专家委员会建议由高校自主确定的学科”）这14所以数学学科为“双一流”建设学科的学校是（以学校编码为序）：北京大学、清华大学、北京师范大学、首都师范大学、南开大学、吉林大学、东北师范大学、复旦大学、上海交通大学、中国科学技术大学、山东大学、中南大学、中山大学、四川大学。我们哆嗒数学网的小编注意到，一般人们认为的数学强校没有出现在这14所大学的名单中，比如浙江大学、南京大学、武汉大学、华东师范大学等。同时，也应该注意到进入“双一流”的名单不意味着这些学校的学科已经成为“一流”。是否成为“世界一流”取决于未来该学校的建设和努力。搜索关注哆嗒数学网每获得更多数学趣文

对于没有大学数学基础的人，如何对于没有大学数学基础的人，如何向他介绍序数。

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人工智能伦理学：宇宙归于计算？本文转自：渤海湾的飞天红猪公众号本文是Stephen Wolfram于2016年10月14日-15日在纽约大学哲学系,脑,意识和认知研究中心举办的人工智能伦理学会议(Lecun, Russell等人有出席)上的讲话. 关注哆嗒数学网每天获得更多数学趣文作者介绍 Stephen Wolfram, 计算机科学家，理论物理学家，数学家。早期，在英国著名的伊顿公学读中学，但是很早就离开了学校。后来，17岁进入牛津大学圣约翰学院学习，但觉得那里课程“太差”，于是没毕业就离开那里。19岁进入美国加州理工学院，第二年就拿到粒子物理博士学位，时年20岁。后创立 Wolfram Research 公司，旗下产品有著名的数学软件Mathematica和Wolfram|Alpha等，这些软件在数学研究与其他科学研究都应用广泛。正文如下：谢邀! 要知道, 我出现在这里(纽约大学哲学系)本身就很有意思. 我妈妈是牛津大学的哲学教授, 所以我从小就下决心不讲或者研究有关哲学的任何东西. 但是这次我来了. 在具体讨论AI之前, 我先谈谈自己的世界观. 我的人生基本上是在研究基础科学和开发工程技术之间摇摆. 自打有记忆起, 我就对人工智能产生了兴趣. 但我从孩提时代开始研究的却是物理和宇宙学.之后我又搞了能够自动化数学计算的技术. 这件事情做的非常成功, 因此我开始思考是否可以面向所有事物提出理解和计算一切的理论. 大约是1980年我开始琢磨如何建造象大脑一样的东西, 因此研究了一点神经网络, 但不是太深入. 就在同时, 我又对科学中也许更大的问题产生了兴趣: 如何得到有关一切的普遍理论. 近代300年来占统治地位的思路是用数学和方程来描述. 但是我想在此之上走的更远. 我意识到这个更大的问题原来可以用类似程序的思路, 来考虑计算宇宙的全部可能程序.这导致了我个人的伽利略时刻(伽利略通过望远镜观察宇宙做出了伟大发现)出现, 我通过制造我的程序望远镜, 一些简单的计算程序, 其中有一条我称作30号规则的规则(详见：http://tieba.baidu.com/mo/q/checkurl?url=http%3A%2F%2Fwww.wolframalpha.com%2Finput%2F%3Fi%3Drule%2B30&urlrefer=259fe5263632a0e0dd475a5cede957aa)，能够从无到有制造出永不可穷尽的复杂性.(简单解释一下这两张图, Stephen 所谓的简单计算程序, 是从一个方块开始, 两种颜色表示0/1状态, 下一行的方块是0还是1, 根据上一行最相邻的3个方块来决定, 这样只要有一共2的三次方全部8种可能的组合规则.就可以无限计算下去, 第一张图是不同规则得到的计算结果, 可见大部分规则都没有演化出复杂图案, 有一些非常简单, 稍复杂一点有类似分形的, 而其中用30号规则计算出现的图案就是上图, 是Stephen最喜欢的, 宣称是自己毕生最伟大的发现之一) 当我看到30号规则时, 我意识到某种在计算宇宙——或者包括所有自然世界中普遍存在的东西出现. 这是令我们看到的现实世界如此复杂的真正秘密. 同时也是一扇窗户呈现出原始(Raw),无约束计算的模样. 而我们传统意义上在工程中使用的计算都是足够简单也可以预期行为的。当我们真正跳进计算宇宙中, 所遇到的事物会更加宽广. 我的公司做了非常多的研究, 发现类似程序可以用于多种不同目的, 比如30号规则可以用来产生随机数. 而现代机器学习也是对与传统工程方法不同且范围更加自由的计算模式的探索。对一般意义上的计算宇宙我们能说什么? 好, 考虑所有的这类程序都在做计算, 我多年前就发现了我称之为计算等价性的原理( Principle of Computational Equivalence)——具体是说, 如果某个计算明显不是简单的, 它通常就会对应于某种最大化复杂性的计算. 基于这个原理可以做出非常多的推断. 比如计算宇宙是普适的, 也应当是非决定的, 也就是我称之为计算不可规约性(computational irreducibly).(见上图的结果) 你可以预期接下来会发生什么吗? 它或许就是计算不可规约的, 你不能提前判断发生什么(不存在简单规律和模式), 只能通过一步一步的计算过程来推导. 整个结果虽然都是决定的, 但是某种意义上确实自由的, 因为(不通过每一步的计算)你并不能预期(某个特定未来时刻)会发生什么. 现在我们来谈另外一件事情, 什么是智能? 我们的大一统原理说, 一切都是从微小的程序(规则)计算而来的. 我们的大脑也是可以被计算等价的. 在智能和大多数计算之间并没有明确的界限. 天气本身没有脑子. 但是天气变化所涉及到的计算并不比大脑更简单, 虽然对我们来说, 两者的计算非常不同. 因为天气的计算与人的目标和经验没有任何关联, 只是自己在演化自己的原始(Raw)计算。如何来驯服计算呢? 我们必须把它和我们的目标融合起来. 而第一步就是描述我们的目标是什么. 过去30年我就是在做这样一件事情! 我建构了一种语言--称之为Wolfram语言- 用来表达我们要做什么. 这是一种计算机语言. 但是和其它计算机语言都不同. 因为它并不是用来告诉计算机每步做什么, 而是用来建构有关计算和世界的知识. 这样只要我们人类用我们给出的方式描述目标, 这个语言可以让实现目标所需的其他一切都尽可能的自动化。其中的基本思想, 从Mathematica这些年不断的发现和进展中来, 运转的非常好. 它同时也是Wolfram|Alpha的内核, 在那里处理纯自然语言问题, 理解问题, 并用关于我们文明的某种精心组织好的知识和算法来回答问题. 而且, 同时, 它是非常典型的人工智能事物. 因为我们回答了十亿级别的用户提出的数以十亿计的问题. 我最近有个有趣的经历, 关于如何用我们的技术来教会孩子计算性思维. 我在给一本书写习题, 起初的题很简单, 类似"如何编程实现X", 随后的问题开始复杂, 我知道怎么用Wolfram 语言来描述, 但是不知道怎么用英文来说. 当然这就说明了我们为什么要花30年来构建Wolfram语言。英文包括大约两万五千个通用词汇, 而Wolfram 语言现在有大约五千条经过精心设计的基本构件(Built-in construct)——包括所有最近的机器学习进展——以及描述了百万级不同的基于精心组织的数据的事物. 其中的思路是任何一个计算世界中的事物, 都应当可以很容易的用Wolfram 语言来描述. 最酷的是, 这真的有用。人类, 包括孩子都可以用这种语言来读写, 计算机也一样可以. 这是某种高层次的桥梁, 用来连接计算和人类在自己文化上下文中的思考. 好, 那么关于AI呢? 技术通常是对已存在事物的发现, 并驯服事物自动达成人类的目标. AI中我们驯服的是计算宇宙中的事物. 现在, 我们身边就有非常多可见的原始(Raw)计算. 因为自然界中这样的事情一直在发生(想象天气, 洋流). 我们感兴趣的是如何让它和人类的目标关联起来. 那么回到伦理学, 也许我们应当约束计算, 也就是AI, 只做符合伦理学的事情. 这意味着我们需要找到某种方式来描述它. 那么, 在人类世界, 我们做事情的方式是制定法律, 但是我们如何把法律和计算联系起来? 或许可以发明"合法代码"的提法. 但是今天的法律和合同都是用自然语言写的. 在金融领域有很多简单可计算的合同，比如说金融衍生品领域。现在一些人又在谈论基于加密数字货币的智能的合同. 对于大量存在的法律怎么办? 好, 莱布尼茨, 下个月是他逝世三百周年纪念日, 一直在讲要构建一种通用的, 我们正在探讨的, 能全部用计算的方式来表示的语言. 作为先驱他想的可能太早了, 但是现在正是我们该做这件事情的时候了. 上周我写了一篇长文, 这里总结一下, 用Wolfram 语言我们可以处理好对世间许多种不同事物如何来表示. 这些事物包括人们问Siri的各种问题. 我想我们现在已经可以提出当年莱布尼茨想要的: 通用符号话语语言来表示人类世界的一切事物. 我意识到这是一个语言构建的问题, 是的, 我们可以通过自然语言获取线索, 但是最终会构建自己的符号化语言. 这实际上跟我最近几十年在Wolfram语言上做的事情同类. 比如就一个单词"加"(Plus)来说, 在Wolfram 语言中有个函数叫 Plus(加法), 和这个单词不是一个意思. 它是一个特殊版本, 必须是一个数学意义上的加法. 同样, 在我们设计通用的符号话语语言时, 英文中的单词"eat"(吃)有各种各样的含义. 我们需要一个概念, 也许同样用 eat(吃)这个符号来代表, 但是特指可以计算的吃. 所以当我们拿到一个以自然语言表示的合同时, 为了得到一个符号化的版本, 可以用所谓自然语言理解技术, 就像我们在Wolfram|Alpha 网站处理数以十亿计的请求所做的那样, 让人来区分歧义. 另外一种办法也许是类似用机器学习描述图片一样, 但是最好的方法就是用符号形态的语言来写. 而且我猜律师们不久以后就会这样做. 当然, 当你有一个符号形态表示的合同时, 就可以直接用来计算, 自动验证是否合规, 模拟预测不同的产出, 自动聚集条理化,诸如此类. 最终合同能从现实世界中自动获取输入, 而这些输入天生就是数字化的, 象计算机系统处理的数据, 或者交易比特币一样. 这些输入可以从各种传感器和不同测量中来, 通过机器学习转换成符号. 那么, 当我们把法律表示成可计算的形式之后, 我们就可以开始告诉AI 我们想要AI怎么做. 当然, 如果我们能把每一件事情都分解成基本原则会更好, 类似阿西莫夫的机器人三大守则. 或者功利主义之类的东西。但是我不认为这样的事情会发生. 我们最终想做的是发现关于计算的完美约束. 但是计算在某种意义上是无限“向外开荒”(wild)的东西. 哥德尔完备性定理已经证明了. 就象我们看待整数, 通过建立公理来约束它们, 并且让它们按照我们想让它们做的那样做. 哥德尔指出没有有限的公理集合可以做到这一点。任何一个你选定的公理集合, 里面不会只包括通常意义的整数, 还必然包括某些其它“野外”(wild)的东西. 而计算不可规约现象意味者这件事情的更一般版本. 基本上给定任何法律集合, 必然会存在某些“非预期的结论”. 从人类法律的发展历史来看这并不稀奇, 关键点是从理论上就没办法规避。这是计算宇宙普适存在的。现在我想很清楚AI在今后的世界中会越来越重要——最终会控制有关人类事物的所有基础设施, 就象现在的政府. 或许也像政府一样, 该做的是建立AI的宪法来规范AI应当怎么做. 这个AI宪法会是什么? 它应当基于现实世界的一个模型, 而不可避免是不完美的. 这样可以说在各种不同条件下该如何做. 最终所做的是让对计算的约束正好与我们的目标一致。那么这些目标又是什么? 我不认为现在就能给出合适的答案. 事实上, 我们列举目标就象在计算宇宙中列举程序一样。不存在一个能抽象出来的挑选准则。但是我们还是可以做出选择, 因为我们有特定的生物学, 有特定的基于文明和文化的历史. 这让我们从各种不同的不可规约计算中来到此处, 我们只处在计算宇宙的某个点上, 对应者我们现有的目标。人类的目标在历史进程中可以看的很清楚, 是一直在演化的. 我猜测今后会演化更多. 我认为我们的意识不可避免的会和技术越来越多的融合. 最终我们的整个文明将终结于一个类似包含千亿计的人类灵魂上传的盒子. 那么接下来的大问题是, 他们会选择这样做吗? 或许我们现在都没有语言来描述这个问题的答案. 让我们上溯到莱布尼茨的时代, 我们可以看到所有的现代的概念当时都还没有成形. 而当我们看看现在机器学习或者定理证明系统的内部, 应当可以谦卑的看到如此之多的概念和它们的有效形式尚未被我们当前的文化吸收. 以我们当下的视角来看, 那些未来没有实体的虚拟灵魂就像是在玩一个永远不停的游戏. 但是他们可能只是一开始在我们的现实宇宙的模拟中操作, 随后他们就会在计算多重宇宙的多种可能宇宙之间进行探索。但是从某些层面来说, 他们所做的也只是计算—— 就计算等价性原则来来说, 一个复杂计算本质上与其它任何复杂计算等价. 这有点让人失望, 我们的骄傲未来将终结于计算等价性, 或者说平淡的物理, 甚至是微小的30号规则. 当然, 这只是关于我们并不是本质上不同的一群的一个很长的科学故事的扩展. 我们无法预期我们能够达到的终极. 我们无法定义一个终极目标, 或者终极伦理学, 某种意义上, 我们只能被我们的历史和现实的细节所包围. 不存在一个简单的原理可以在AI宪法中给我们提供想要的避风港. 将会有大量的细节对应于我们自己的历史和现实的细节. 而第一步只是要搞明白如何来表示这些细节. 我认为这正是我构建的符号话语语言。还有, 是, 过去30年，我正好在做这种建造框架的事情, 我更倾向于用它,也知道如何用它来构建我们的AI宪法. 所以我最好不要再继续谈哲学. 先回答一些问题吧. 关注哆嗒数学网每天获得更多数学趣文

数学家利用虚拟现实技术（VR）让人们体验非欧几何原文作者：Rebecca Hills-Duty。译文作者：Jessie仪，哆嗒数学网翻译组成员，就读于布里斯托大学。搜索关注哆嗒数学网每获得更多数学趣文俄克拉荷马州立大学和佐治亚理工学院的数学家们正在尝试为生活带来一个不同的世界：通过创造一个虚拟现实空间来探索那些我们所熟知的规则无法实现的“另类几何学” 在我们平时所学的一般几何学中，两条平行线永远以相同的距离延续，从来不可能靠近或者远离对方。然而在非欧几里得几何中，同样的平行线最终会相交，或者改变方向渐渐远离。佐治亚理工学院的Eilsabetta Matsumato与俄克拉荷马州立大学的Henry Segerman日前正在研究一个叫做“双曲VR”的项目，该项目旨在共同努力来向大众科普双曲几何学——一种两条平行线可以渐渐发散的非欧空间。Elisabetta Matsumato说：“你当然可以想象出这种现象，但是你很难切身感知它，直到你真正体验到了这种情况。” 在现在已经创造出的双曲世界中，使用者们除了四处走动以外，并没有太多可做的事。但是该团队正在计划在虚拟现实世界中创造双曲房屋以及街道，甚至建造一个非欧几里得版本的篮球。在非欧空间中做体育运动并非一个新生事物，先前已经有一位伊利诺伊大学芝加哥分校的拓扑学家David Dumas在学生的帮助下制造了一个虚拟现实(VR) 壁球游戏。在此游戏中，在撞向不同的方向后球可以返回起始点。 Dumas说：“解决如何使用虚拟现实(VR) 作为一种研究工具现在才刚刚起步。”运用数学原理的可视化一直帮助良多，比如使用分形的视觉实现使人更好地理解潜在的数学世界。搜索关注哆嗒数学网每获得更多数学趣文

下雨没伞：跑还是不跑？原文作者：Atheeta Ching，伦敦大学学院数理生态学博士。译文作者：radium，哆嗒数学网翻译组成员。搜索关注哆嗒数学网每获得更多数学趣文编者按：有一个故事，说下雨天，大家都拼命的在雨中跑。有一个人却慢慢的走，别人问他为何不跑，他说，你没看见前面也在下雨吗，跑有用吗？很多人都是把这人当笑话来看的，但是这篇文章告诉你，问题没那么简单！下雨了，你没有伞，你是跑还是不跑呢？你应该怎么样做出这个决策呢？很多事情都影响着我们的生活，其中一件事便是天气，特别是下雨天未带伞（或者我们懒于将伞从包里拿出来）时的窘迫。凭直觉就知道似乎奔跑就是最好的选择，或者至少我们走快一点，就可以少淋一些雨。但是这也意味着雨点会以更快的频率从正面打在我们身上。所以，如何才能让雨点在我们衣服上画的地图的面积少一点呢？这个问题实际上在过去的几十年里被众多的专家或爱好者们讨论过，无论是数学杂志还是像《流言终结者》这样的科普电视节目（事实上他们关于这个问题做了两期节目，第二期是对它的更正）。让我们从最简单的模型开始，想象雨点匀速竖直落下。在图中，你就是那个灰色的长方形（因为下雨让你的心情不好，灰色可以表达这点心情）。同时我们也要假设雨点均匀降落，其次第二个假设是假设雨点只从人的头上落下，而不考虑打在身上的情况。在这种情况下，无论雨点下落的速度有多快，你最好的选择便是“跑”。跑的越快你在雨中所淋到的雨越少。好了，现在我们考虑，如果雨点因为风的缘故以一个角度降落在你身上又会如何呢？对于这个问题我们将会介绍一些真正的数学。和前面一样，我们将假设雨速度为定值Vr均匀下落。雨域是这个问题的一个很重要的概念。这个区域包含了所有将会淋到你身上的雨点的初始位置。假设你以s的速度运动，因此在二维图上你的速度可以表示为向量Vu=(s,0)，这使得你在雨中花费的时间为1/s。在你身上取一个点P，在雨域取一点Q，在t时刻后在这一点上的雨点会淋到你身上。然后我们就可以得出出雨点会在Q + Vr·t这一点上淋在你身上。而你的原始位置P可以表示成为 P=Q + Vr·t − Vt·t。从而对于每一个你暴露在外可以淋到雨的位置P,对任意时间t∈[0,1/s]，点P+(Vr−Vt)·t在雨域内.完整的下雨的区域由这些斜线勾勒出来了。每一条斜线的长度为 ||Vr−Vt||/s。这样就十分清晰了：如果雨以一定的角度下落，你应该跑的越快越好，缩短雨域的水平长度（下雨区域内的“宽”是定值，而和人的身高成比例）。要是雨从你背后方来，又会怎样呢？这样一来，事情变得有一点复杂。雨点速度的分解为Vr=(V1,V2)，因为雨点有向前方的速度，因此 V1>0。于是一些不同事情将会发生（假设雨以一定的速度均匀下落）。之前我们提到，你以速度s移动。如果s>V1你就不会被你背后的雨淋到，但是你的头部和你身体的正前方会被淋到。如果 s=V1，也就是说，你的速度和雨在你前进方向的速度一样，那么仅仅只有你的头部会被淋到雨。最后，如果s<V1显然你的背部和头部会被淋到雨，但是你的身体的正面会保持干燥。令Af为你身体正面或背面的暴露在雨中的面积，而At为你头部暴露在雨中的面积。在我们之前的二维案例中，这些只是表示你所代表的长方形的高度和宽度。雨点淋湿的这些部分的总量分别正比于Rf =|V1−s|·Af 以及 Rt=|V2|·At。上述中在雨中的时间为1/s，被雨淋湿的函数为R，正比于： R1(s) = [(V1 - s)·Af + |V2|·At]/s 若 s≤V1 R2(s) = [(s- V1)·Af + |V2|·At]/s 若 s>V1 其中比例的乘子是雨的密度。注意这个函数可以被应用到之前的例子。即雨点向后方下落，V1<0。我们发现我们总会有R=R2，因此让R最小化的方法便是尽可能地增加s。雨点向前落下的例子中我们有V1>0. 让C = -V1·Af + |V2|·At 然后注意到R是连续的R1是一个关于s的减函数，而R2的变化依赖于C的正负。如果C>0，R2也是关于s的减函数，要取R的最小值，那么s应该增加到最大值。如果C=0，R2是一个常值。我们可以通过取任意的s≥V1来最小化R 如果 C<0，R2是一个关于s的增函数，那么我们仅仅只能通过让s=V1来最小化R。例如：你精确地于雨水平分量相同的速度奔跑。 C依赖于你的体格和在雨中的速度。如果雨向前方的速度很小，那么你最佳的选择任然是尽可能快的跑。但是，如果雨向前的速度很大，使得C<0，那么你最好精确地于雨水平分量相同的速度奔跑。同时也意味着雨点会打湿你的头部，但这些都是理论上讲的情况。关于这个问题还有很多复杂的模型，考虑不同的形状（不是正方形的情况下）或者突然来阵一阵大风，都会影响最终的结论。最后，我们将以Matthew Wright（很遗憾不是之前Chalkdust的成员）写的五行打油诗来结束。固执的青春暴露在雨中的执拗若雨从背后拥抱我我便与雨同行但若迎风而行最华丽的步调便是与雨赛跑搜索关注哆嗒数学网每获得更多数学趣文

以Naive的方式讲述公理集合论我想没人会反对这样一个观点：“每一个做数学相关工作的人，都应该知道一些集合论的知识”。分歧在于，这个“一些”具体指多少。而这本Halmos的《朴素集合论》（Naive Set Theory）就做了这个尝试。这本书是斯普林格出版社的经典数学系列丛书“数学本科生系列丛书”（UTM）中的一本，是作者提供给读者为以后进行更高级数学学习的一本集合论的通识教材。作者认为，即便是数学专业学生大多数也不会做集合论的专门研究。于是作者试图用最少的哲学讨论，和最少的形式化的内容来讲述公理集合论。所以不要被这本书的书名所欺骗，它讲述的不单单是朴素集合论的内容，而更多的是用朴素的方式讲解公理化集合论中的梗概。我们哆嗒数学网将使用这本教材与大家一起探讨集合论的内容。本次朴素集合论讨论班的所有课程由网主亲自主讲，由哆嗒数学网的授课普及团队参与讨论。第一讲：前言、外延公理及分离公理将于8月9日19:30开讲报名地址： http://tieba.baidu.com/mo/q/checkurl?url=https%3A%2F%2Fm.qlchat.com%2Ftopic%2Fdetails%3FtopicId%3D270000425192600&urlrefer=ff0c89b2a344ccfd2adba35133d5cab1

纪念一位靠出逻辑题目找到老婆的数学家原文作者：RICHARD SANDOMIR，纽约时报记者。译文作者：mathyrl，哆嗒数学网翻译组成员。校对：donkeycn 搜索关注哆嗒数学网每获得更多数学趣文雷蒙德·斯穆里安(Raymond Smullyan)，他的快乐，敏捷的头脑使他成为一个音乐家，魔术师，数学家，最妙的是，他还是一个创作谜题的逻辑学家（哆嗒小编注：实际上他的头衔里还有哲学家和道教学家），2017年2月6日（星期一）在纽约州哈德逊市去世，享年97岁。他的亲人黛博拉·斯穆里安（Deborah Smullyan）确认了他的死讯。斯穆里安教授是一名正儿八经的数学家，他的出版物和博士学位证明了这一点。但他最伟大的遗产可能是他设计的极其烧脑的逻辑谜题，它们或呈现在许多书籍中，或者只是出现在休闲的谈话中。有时他们是一次性的，有时他们被嵌入更长的叙述中来解释数学概念，例如布尔逻辑，就像2015年他在《乔治·B的魔法花园和其他逻辑谜题》（The Magic Garden of George B and Other Logic Puzzles）中所做的那样；或者回溯分析，1981年他在《阿拉伯骑士的象棋奥秘》（he Chess Mysteries of the Arabian Knights）中进行了探讨。他也是一个有趣的人。斯穆里安教授有着长长的白头发和胡子，长得像《指环王》系列电影中伊恩·麦凯伦（Ian McKellen）饰演的法师甘道夫（Gandalf）。他身材瘦长，讨厌健身，酷爱牛排和鸡蛋。他研究东方宗教。他讲老套的笑话，对身边的人表演近距离魔术。直到90多岁他仍带着激情和才华弹钢琴。（尽管他年轻时因肌腱炎而脱离音乐事业。）他对他自己的哲学、谚语情有独钟，例如，“我为什么要担心死亡？这不可能在我活着的时候发生！“ 纽约城市大学研究生中心（Graduate Center of the City University of New York）的数学、哲学与计算机科学退休教授梅尔文·费廷（Melvin Fitting）回忆了斯穆里安教授的风采，在20世纪60年代，斯穆里安教授在叶史瓦大学（Yeshiva University）是费廷的老师，而费廷当时正在攻读博士学位。教授在一次采访中说道：“他会微笑着期待他将要展示的许多美丽的东西。” 几十年来，斯穆里安教授似乎不停地创作的谜题，从中看到数学之美，并将其视为传播数学福音的工具。在他1982年的书《‘女士还是老虎？’以及其他逻辑谜题》（The Lady or the Tiger? And Other Logic Puzzles）中，他写道，如果希腊数学家将其作为一本谜题书，欧几里德的《几何原本》将会获得更大的普及。他写道：“问题：给定一个等腰三角形，对应的两个角是否必然相等？为什么相等或者为什么不相等？” 他的谜题几乎是他本身的一部分，他与后来成为的妻子布兰奇（Blanche de Grab）第一次约会的时候就提出了一个谜题。他向她提出的命题，就像他所描述的那样，一定能得到她的吻。回想起这件事，他写道，这是一个“赢得一个吻的相当狡猾的方式，不是吗？” 哆嗒小编插播：这是一个在数学圈流传很广的美谈。斯穆里安第一次见到女神时，达成一个约定——斯穆里安说一句话，如果这句话是对的，女神要给斯穆里安一张女神的照片，如果是错的则不给照片。斯穆里安说的话是：“你既不会给我你的照片，也不会亲我一下”。于是斯穆里安成功的获得女神的一个吻。詹姆斯·麦迪逊大学（James Madison University）的数学教授杰森·罗森豪斯（Jason Rosenhouse），他在2015年编辑了一本书，书中赞美斯穆里安先生，对于那些以前不了解数学的人，他的谜题可以清晰地揭示数学之美。 “就像哄小孩子吃蔬菜，” 罗森豪斯教授在接受电话采访时补充说：“雷蒙德用一串逻辑谜题作为工具来展现诸如哥德尔不完备定理。“ 马丁·加德纳（Martin Gardner），一位著名的数学谜题作者，把斯穆里安教授与牛津大学逻辑学家查尔斯·道奇森（Charles Dodgson）相提并论，道奇森也是以笔名路易斯·卡罗（Lewis Carroll）而更广为人知的作家。斯穆里安教授在1982年的书《爱丽丝漫游谜题王国：一个给八十岁以下儿童的卡罗式的故事》（Alice in Puzzle-Land: A Carrollian Tale for Children Under Eighty）中向卡罗致敬。在其中一章，斯穆里安教授写道：爱丽丝心中思忖这个蛋人（Humpty Dumpty）是多么的混乱，但又相当合乎逻辑。 “我想知道，”她说，“他怎么做到既混乱又合乎逻辑的？” 在斯穆里安先生曲折的人生道路上，似乎有过一些令人困惑的逻辑。雷蒙德·梅里尔·斯穆里安于1919年5月25日在皇后区法洛克威（Far Rockaway，Queens）出生，他的父亲伊西多尔（Isidore）是一名商人；他的母亲露西娜·弗里曼（Rosina Freeman）是一位家庭主妇。他的求学经历是到处游学和不拘一格的。他曾就读于俄勒冈州的太平洋大学（Pacific University）和里德学院（Reed College），然后自己研究数学和逻辑。他还学习魔术。他创作了一些国际象棋谜题，这些谜题更为关注已经走出的棋步而不是将要走的棋步。他以艺名Five-Ace Merrill在夜总会表演魔术，比如芝加哥Pump Room夜总会，他在那里工作获取报酬。他继续攻读并取得芝加哥大学的数学学士学位和普林斯顿大学的博士学位。他分别在普林斯顿大学、叶史瓦大学、纽约市立大学莱曼学院和印第安纳大学任教。他的教学理念有点令人困惑。“我的原则是教给学生尽可能多的东西，并尽可能少地要求他们”，他对2008年的《Mathematical People: Profiles and Interviews》一书的作者Donald Albers和Gerald Alexanderson如是说。但是，他补充说，明显的宽容所造成的影响是许多学生在他的课程中比在任何其他课程更努力。斯穆里安教授身后遗下了继子杰克·科蒂克（Jack Kotik）、六位继孙子女和16位继曾孙子女。他的妻子布兰奇，比利时出生的钢琴家和音乐教育家，2006年去世。他的第一次婚姻以离婚结束。科蒂克先生回忆说，他和妻子在纽约Elka Park的斯穆里安的房子里，听了有关职业运动员高薪的广播报道。他的母亲布兰奇说，他们的薪水过多了。斯穆里安教授说，拿这么高薪水是不公平的。 “我说，‘雷蒙德，你比大多数人更聪明，不是吗？’”科蒂克先生在接受电话采访时说。 “‘是的，’他说。所以我说，'我认为这是不公平的。我们应该把你的大脑分出一部分分发给可以使用它的人。’” “他沉默了一分钟，最后他说，‘我无法给出任何理由，但我不会这样做。’” 谜题是斯穆里安先生的一个重要组成部分 —— 逻辑学家打招呼和考验他人的方式。当他遇到他最近的编辑罗歇尔·克伦泽克（Rochelle Kronzek）时，他要求她解答一些问题。 “一开始吓到我了，但我想出了创造性的答案，”世界科学出版社执行编辑克伦泽克女士在接受采访时说，“他不止一次地笑了，因为他喜欢我的思考方式。看到别人如何思考，他从中得到很大的乐趣。” 搜索关注哆嗒数学网每获得更多数学趣文

奥数竞赛题目：召唤师峡谷中的追杀关注哆嗒数学网每获得更多数学趣文柔弱可怜的兔子提莫与攻击力爆棚的猎手艾希在一个无阻挡物件、大小无限的召唤师峡谷相遇了。艾希以为见到了软柿子，一定要击杀提莫！但他们交手时发现，它们的技能不知道被谁修改了，再也不是《英雄联盟》游戏中的那些了。提莫有一个强力的被动隐身技能，让艾希在任何时候无法看到他。还有一个更加恐怖的免疫任何伤害的技能，施放后10亿秒内免疫一切伤害。另外，还有一个逃跑技能，冷却时间1秒，作用是跑向离自己当前位置1米的地方。艾希也不是吃素的，她有个大杀招可以把周围100米范围内的任何猎物秒杀，而且可以任意时间使用。还有一个用来搜索猎物位置的技能，但是这个技能不能给出猎物的准确位置，可能与猎物的实际位置有不超过1米的误差，即是说她只能探测出猎物存在的一个圆形范围，冷却时间1秒。当然，她有个追击技能，作用是自己向自己想要的方向追出一米，冷却时间是1秒。假设，游戏时间可以无限，提莫和艾希现在处于相同位置，那么艾希是否有办法一定能击杀提莫？好吧，如果我告诉你，上面的游戏描述的是2017年第58届国际数学奥林匹克竞赛（IMO）第3题的内容，你会惊讶吗？但事实上就是如此。当然，IMO比赛会用非常严谨的数学语言表达，原题表述如下：不知道参赛的同学们在考场上会不会想到自己在娱乐游戏中的场景。按往年的经验，IMO竞赛的第3题和第6题会是最难的两道题目。我们这里不提供答案，实际上现在答案已经能从网上搜到。从网上提供的答案来看，提莫10亿秒的免疫时间还是太长了，兔子提莫完全有机会逃脱。于是我们排开竞赛的因素，想问几个更加有趣的问题： 1、把免疫时间减少到多少秒时，艾希能有办法一定能击杀提莫？ 2、把艾希大招范围增加到多大时，艾希能有办法一定能击杀提莫？ 3、考虑艾希搜索技能的概率因素，怎么样设置提莫免疫时间和艾希大招范围，使得游戏的平衡的？另外，我们总希望把一些数学题目变好玩，可以从身边的题目玩起呀！关注哆嗒数学网每获得更多数学趣文

天妒英才：世界首位女性菲尔兹奖得主逝世搜索关注哆嗒数学网伊朗天才数学家，世界首位女性菲尔兹奖得主，玛利亚姆·米尔扎哈妮，因乳腺癌医治无效，于当地时间7月15日在其所在医院去世，享年40岁。“世上的一盏明灯就此熄灭了，我的心都碎了……她走得太快了，”美国宇航局的伊朗裔科学家，Firouz Naderi，在他的Instagram（注：国外著名图片社交平台）上的最新消息中写到。后来他发推补充到：天才？没错。当然她还是一位女儿，一位母亲以及一位妻子。米尔扎哈妮从2013年起，已与癌症斗争了四年，最近因癌症已经扩散到骨髓而住院。米尔扎哈妮1977年出生于伊朗德黑兰，儿时的梦想是成为一名作家。后来在其哥哥的激发下进入了数学学习。她为代数几何做出了开创性贡献，于2014年获得菲尔兹奖。米尔扎哈妮于1994年和1995年两次获得国际数学奥林匹克竞赛(IMO)金牌，于1999年获伊朗谢里夫理工大学数学学士学位并于2004年获哈佛大学数学博士学位。在2004至2008年间，她是普林斯顿大学克雷数学研究所的研究员和助理教授。后来她在斯坦福大学担任教授。她获得的荣誉包括2009年因在纯数学领域研究中所做的贡献而获得的布卢门撒尔奖，以及2013年美国数学学会颁发的萨特数学奖。2013年获得萨特的获奖感言中，米尔扎哈妮隆重感谢的自己在伊朗接受教育的两所学校的老师——德黑兰Farzanegan女子高中（为女子天才设立的专门学校）以及谢里夫大学——称赞他们是“伟大的教师们”。米尔扎哈妮是世界上获得被称为数学最高荣誉菲尔兹奖的第一位女性（也是目前唯一一位女性），也是第一个获得此奖伊朗人。当2014年米尔扎哈妮的获奖消息传回伊朗，伊朗舆论当时有截然相反的态度。当时伊朗总统哈桑·鲁哈尼在推文上发出了米尔扎哈尼没有带头巾的照片。回帖立刻分为两派，强硬派对此照片强烈抗议并拒绝对米尔扎哈尼获得的成就表示祝贺，而另外一派认为鲁哈尼此行为具有进步意义并点赞。伊朗国内还有人向国家施压，认为应该按照伊朗的伊斯兰刑法典处罚米尔扎哈妮。搜索关注哆嗒数学网

哪怕最伟大高深的数学成果也需要解释！原文作者：Ben Orlin ，英国数学教师。译文作者：小饕，哆嗒数学网群友。就读于邯郸市第一中学。搜索关注 MathDuoDaa每获得更多数学趣文你想把我卷入一阵热血沸腾的盛怒之中吗？这儿有以下几个选择：烧毁一个废弃的书店；赞助商立法禁止在甜品中添加花生酱；不假思索地告诉我你觉得黑猩猩宝宝不太可爱。（编者注：有人喷作者画的人物太丑，像小黑猩猩）再或者，简单干脆些，就直接对我说出这句出自伟大数学家哈代的语录：热血啊…… 沸腾啊…… 啊！热血沸腾啊……我尽力了，但我就是做不到去痛恨哈代。他创作了完美的教科书，把数学之美当做毕生的信仰，还完成了许多其他的功绩。但是我可以厌恶这个观点，这个有毒的文化基因，这些在我看来是我们对数学潜在的固有成见：产生新的数学观点的信念一直是对人们的最高召唤，而沉湎于陈旧的思想只能是无趣的唠叨，也只适合那些我们称作老师的顽固而堕落的傻瓜。这并不是哈代发明的观点，他只是把它讲了出来。所以，在此我代表那些被称作老师的顽固而堕落的傻瓜，希望能够发起一场保卫解释之艺术的运动。 1、解释转化知识我的第一个证人嘛，下面有请……欧几里德！这么说吧，欧几里德并不是第一个进攻几何学的希腊学者，而且远远不是。在他初涉这个领域之前，好几个世纪的杰出的数学家们早已名留青史。那么，是什么让他成为数学证明的鼻祖而名扬四海呢？又为什么传统学校的几何学通常都叫做“欧几里德几何学”？为什么我在他去世后的2500年又提出他的名字？这是因为他写了一本书，《几何原本》。这是因为他强化了自己的思想观点。这是因为他做出了解释。在欧几里得之前，几何学零散地排列着，正如同收藏的珠宝散落在沙滩上。观点存在。证明也存在。但它们之间少有组织、结构和条理性。欧几里得把几何学统一成了一个清晰、逻辑的系统。他罗列出基本的假设（称为公理），然后把每个几何定理都追溯回这些公理，不论它们看起来多么互不相干或者繁琐复杂。他的工作把支零破碎的数学整合成了一个单个的连贯的有机整体。欧几里得改变了数学，不是通过创造新的主张，而是通过阐述已有观点之间的联系。也就是说：通过解释。二流的大脑也挺不错的，是吧？ 2.解释改变世界欧几里得并不是唯一一个通过数学解释来改变世界的。比萨的列昂纳多（也就是人们熟知的其死后的昵称斐波那契）带领现代数字体系登上了新大陆。在列昂纳多之前，欧洲也算是受够了罗马数字：计算起来低效、缓慢又繁琐。但在阿尔及尔的一家造船厂里，小列昂纳多学到了一套更好的系统。这些数字——1，2,3,4,5,6,7,8,9，还有这个奇怪的0-都诞生于印度，并在阿拉伯半岛得以完善，而现在通过列昂纳多传播到了欧洲。它们很快在商人阶级中流行起来。然后终于，倾扫了整个世界。列昂纳多向整个大陆重新诠释了算法。在此期间，他将历史推向了现代，实现了数字语言的全球化。二流智商们再得一分。 3、解释衡量理解程度艾伯特·爱因斯坦——很明显又一个他们口中的傻瓜——曾说过：“如果你不能把它简单地解释出来，就说明你还没能很好地理解。”但其实我们并不需要利用爱因斯坦来解释这儿的智慧。每一个上学的孩子都知道向朋友们解释一些东西可以帮助你自己更好地掌握它。每一位导师（从小学的到大学的）都能体会到教授知识可以帮助自己将那些松散的片段整合到自己的理解中去。而每一位研究人员也都见证过将自己的观点写下或说出能够使它们更加纯粹和清晰-就像蒸发掉多余的水而使调料更顺滑，更浓醇。可见解释不仅对他人有好处，也对解释者本身有好处。 4、解释营造交流圈哈代是一个骄傲的，有着卓越贡献的数学研究团队成员。所以我认为他如此盲目和坚决地把“学术研究”和“交流圈”分开也是挺令人费解的。如今，研究数学就是要发展新的观点。这对集体智慧的书库做着不断地补充。这显然是一件很酷的事。但是当你传授这新的观点，或者写作易懂的书籍—也就是说，当你解释的时候——你也是在做一些很酷的事儿。你在组织和安排这座图书馆。如果我们都采用了哈代提出的说法，我们就只能是将一大堆从未读过的新书堆砌到书架上。没有人会去编辑或巩固整理这些知识。没有人会去组织整合前人的努力。也没有人会在图书馆中去引进新的学者。哈代的这点建议实是自我打击。它在构建一个只有研究而没有交流的学术研究圈子。它创建了一个有书无人读的图书馆。那么我们应该感到高兴，因为哈代看到了他自己过去的坏主意——尽管他对这种事很不情愿，但他的确写了一些像《一个数学家的辩白》这样的书以及其它一些容易理解的文章。 5、未解释的知识从世间消失也许你会觉得我夸大了数学对于解释的反感。当然，这样的支持研究而反教学、反与教学有关的全部的也不见得全都那样普遍和那么严重的危害，是吧？这样一来，我推出最后一件展品：ABC猜想。 ABC猜想于1985年首次提出，是数学界尚未证明的伟大猜想之一。它是一个与数论有关的有力说法，如果它正确，定将产生许多深刻的间接影响。然后，就在2012年的8月，它被证明了。嗯……或许被证明了吧。我们不能确定。这位掌握着证明全过程的数学家名叫望月新一。他花了几十年的时间去发展自己的理论，那包括了500页难以理解的信息，充满了各种符号和文字，还有新颖的概念模式。这项成就太具创新性以至于——不幸的是——还没有人有能力去检查和验证。他在解决问题方面的个人成就被几个典型的解释错误所隐没了。他的证明就在那儿，没有解释，没有改变，就如同蛇颈里没有消化的大餐。我们最好找些二流的大脑来帮忙吧。对吧，哈代？当然，我的控诉不是针对哈代的。我的控诉甚至不针对研究中片面的精英主义。（想要把学术研究带头人的自我重视和智商优势的自我感觉从他们那里清除，就如同想要从摇滚乐中清除性别差异。这几乎不可能实现，而且就算实现，结果也未必如你所愿。）我的控诉是针对你应当关注观点本身而痛恨分享观点这样扭曲的信念。我的控诉是针对把学术研究从持续支持和解释的生态系统中分离出来这样的做法，那完全是搬起石头砸自己的脚！我的控诉是针对那些认为解释是次要艺术的人。而最重要的是，我的控诉是针对那些不觉得黑猩猩宝宝可爱的人。我是说，快来看，伙伴们。睁大你们的眼睛！搜索关注 MathDuoDaa每获得更多数学趣文

来自未来的围棋：假如围棋棋盘有无限大作者，Math001, 哆嗒数学网网主。关注 DuoDaaMath每天获得更多数学趣文 AlphaGo和世界排名第一的中国棋手柯洁的比赛结束了。不出所料，即便柯洁这样的围棋大师，也已经完全不是我们人类发明的围棋程序的对手。但是，熟悉人工智能的人都知道，无论人工智能有多么强大，他能做出能让现在的人们多么惊奇的事情，它的本质并不是黑魔法，而仅仅是数学。数学里有一个分支叫做博弈论，英语叫做Game Theory，直译过来就是“游戏理论”的意思。围棋是一种游戏，这个游戏的很多理论也符合博弈论的一些经典结论。博弈论里有一种游戏叫做完全信息博弈，意思是无论是自己还是你的对手，和游戏有关的所有信息都是知道的。自己能走哪里，对手能走哪里，自己之前做过什么，对手之前做过什么，都是相互知晓，没有隐藏。相反，现在最火的电脑网络游戏之一的《英雄联盟》则不是完全信息博弈，因为迷雾的影响，你在某个时刻并不知道对手是在打野还是回城升级装备。我们的故事现在开始。用一种数学表示围棋诗人歌德曾经调侃：数学家就像法国人一样,无论你说什么,他们都能把它翻译成自己语言,然后完全不是你刚才说的那样。我不知道这是在膜还是在黑，我保证读完这一小节后，有很多读者都会有这样的感觉。当执黑先行，棋盘上有19×19=361个交叉点，加上Pass（即是说不走，让对方走），黑棋有362种下法可以选择，当黑棋下完第一步，那么因为之前黑棋下过的位置不能再下，白棋还剩360个位置可以行棋。当棋局进行到某个局面，考虑到按围棋规则不能落子的点，黑棋和白棋能下位置数量会有所不同，但可选择的下法有仅仅是有限个——不超过362个。我们把每个局面下起手可以选择下法编号，0号下法是Pass，1号下法、2号下法、……n号下法。那么不嫌麻烦，我们下棋的时候，完全可以不用摆子，叫出下法编号就可以。比如黑棋叫出1号下法，白棋叫出8号下法，然后黑棋再叫出下完1号、8号下法局面下的5号下法，再来给白棋叫出他的下法。实际上，这个时候，黑白双方已经不是在玩一个落子的游戏，而是在玩一个叫号的游戏，叫出的都是自然数。黑方叫号： 1 5 8 9 … 11 12 白方叫号： 8 3 6 11 … 55 4 围棋会在有限步后终止游戏，判定胜负。终止的那一刻，我们记录下了一个序列，比如上面对局的序列就是<1,8,5,3,8,…,12,4>，这是一个记录比赛进程的行棋序列，我们把这个序列一个符号x表示，特别的上面行棋序列的x(0)=1,x(1)=8,x(2)=5用它也可以来判定胜负。按中国规则，黑棋要要还三又四分之三字给白棋。我们制造一个集合 A = { x : x为行棋序列，x使得黑棋子数-3.75 大于白棋子数+3.75 }，那么黑棋赢的表述就成了，行棋序列x∈A 。白棋赢的表述就是 x ∉ A 。我们可以改变集合A，从而改变游戏的规则。比如比较温和的改动是改变还子个数，比如以前的围棋是不还子的。激进的改动是，如果行棋序列中使得围棋棋盘上首先出现五连珠的一方算赢，那么这游戏变成了一个可以吃子的五子棋，而不再是围棋。但无论怎么改变集合A，有一点始终没变，游戏始终是一个完全信息的有限游戏（就是说每次能选择下法有限，游戏也会在有限步内终止）。博弈论经典结论：完全信息的有限游戏，必有一方有必胜策略。意思是说，围棋在双方都有能力最强招的情况下，其实胜负已定。这种有一方有必胜策略的游戏，叫做决定的游戏。穿越到未来的围棋好吧，如果一个职业棋手对我说，“你说胜负已定，你说是黑棋赢还是白棋赢？我们来下下？”，我只能报以微笑，并认输回应，虽然最强招在数学上被证明存在，存在性并不能保证我能知道它具体是什么。就算棋力远远超过人类AlphaGo现在他也不能保证他知晓这个其实已经存在最强招法。然而，我们可以试想一下，到某个遥远的未来。人类的智能水平发展到一个让现在的看来人匪夷所思的高度。每个人都知道围棋的最强招法，于是围棋变得无趣，因为还没有落子我们就知道了结果。未来的人不再满足只有361个交叉点，他们设计横竖都无穷个行列（确切的讲是可数无穷），以满足每一次轮到他落子的时候，自己可以有无穷个可以落子位置。他们也不再满足在有限步结束的游戏，而把游戏规定成需要无限的进行下去。他们还是叫号地玩游戏。这样，黑棋第一步，在0号下法，1号下法，..., n号下法，…选择出一种下法落子，然后白棋在对应局面的，0号下法，1号下法，..., n号下法，… 中选择一种应对。棋局的出牌会变成这样：黑方叫号： 1 3 6 81 4 … 白方叫号： 3 6 33 45 99 … 这样，行棋序列会变得无限长，成为<1,3,3,6,6,33,81,45,4,99,…> 这是一个在有限步之内无法完成的游戏。在当前的现实中，是无法完成这个游戏的。但是在数学中，无限是一个可以达到完成的实体。也许智能高度发达在未来，我们能在大脑的意念中，玩耍这个游戏。那么如何判定输赢呢？和前面一样，事先设定一个集合A，A由一些无限长的自然数序列组成，如果最后得双方的行棋序列x是A里的元素，则黑棋赢。否则，x ∉ A 白棋赢。新的游戏，似乎只是把有限的情况改成无限。它仍然的完全信息的游戏。那么无论我们怎么改变A，是不是黑白双方，必有赢的策略呢。现在，我可以告诉你，之前的都是铺垫，真正的内容才刚刚开始。这是什么游戏？这不是小编杜撰的游戏，数学家，尤其是集合论学家们早已经研究了很多。这个游戏带来的相关论题，却和公理体系和实数结构有关系。为了标记方便，我们把前面无限游戏下选定集合A为胜负判定集合的游戏叫做Game(A)。为了阐述和实数的联系我们先做一个铺垫。如果你有拓扑学的基础知识的话，会很容易看懂下面再说什么。取集合NS = { x： x为自然数的无穷序列} 对于两个自然数的无穷序列： x = <x(0), x(1), x(2), …, x(n), …>∈NS y = <y(0), y(1), y(2), …, y(n), …>∈NS 定义距离d( x, y) 如下：你还能验证距离函数d( x,y )在NS中还是一个完备的距离。而这个距离诱导的拓扑竟然和无理数同胚（你试试用连分数验证一下）——虽然我们知道无理数在通常的距离下，无理数并不是完备距离空间——而无理数在很多数学意义下，占有了实数的大多数。研究NS这个自然无穷序列的空间就和实数的研究联系起来了（实际上，集合论学家更关心的是Borel同构，实数和无理数是Borel同构的）。实际上，如你可以想到的，集合论里，把一个自然数的无穷序列称为实数。实际上，集合论学家把他看成实数的一种形态。下面的部分，当我们说到实数的时候将不区分这样的具体形态。是不是我们无论怎样改变集合A， Game(A)的黑棋和白棋中都有一方有必胜的策略呢？在现行使用最多，也最被人接受的数学公理体系ZFC中，你是可以用选择公理构造一个集合，使得黑白双方都没有必胜策略。有很多办法，从不同角度去构造这样的集合。但我们不会在这里去表述这种集合的构造细节。这里只是提示一下其中的一个办法：无论黑棋的策略或者白棋的策略，都只有连续统基数c那么多个，而实数的子集实在是比这个多得多。用这个实数，超限的归纳和用一些对角线方法，就能造出这样的集合。有一个集合A，使得游戏Game(A)的对局双方都没有必胜策略。但是，只要有人愿意开一把，行棋的序列总能判定胜负——这样的游戏是不是变得好玩了呢。一些人的吐槽：选择公理是真的吗？ “什么？居然有一个集合A，让Game(A)不能被确定，我完全不能接受！”好吧，熟悉选择公理的人一定会说，选择公理做出来的东西不具有构造性，那意味着样的集合是看不清也摸不着的。的确，有的人更愿意相信所有的Game(A)应该有一方有必胜的策略，有就是说，游戏是决定的，这就是决定性公理。决定性公理（Axiom of Determinacy，简称AD）：对所有NS中的子集，所有的Game(A)都是决定的。按照一般的要求，一个命题要成为公理，它应该至少要和常用的策梅洛-弗兰克尔公理体系(ZF公理体系)不矛盾，集合论中叫做协调。但是，这里有个很奇怪的结论，因为AD能推出ZF体系是协调的，于是根据哥德尔的第二不完备定理，ZF + AD这个体系是否相对于ZF协调，不能被证明。另外，虽然ZF+AD中对普遍的选择公理（即任意多的集合簇有选择函数）不成立了，但是它对选择公理的的否定没有完全彻底，对可数选择公理还是成立的——ZF+AD能将可数个集合有选择函数变成定理(Countable Choice)。于是，实分析中一些常用的定理，在ZF+AD还是成立的（至少在实数范围内是成立的），比如可数个可数实数子集的并还是可数的。海涅归结原理：当x→a时，实函数f(x)→b，当且仅当，对任意序列x(n)→a，n→∞，f(x(n))→b。贝尔纲定理：实数这个完备度量空间中，可数个稠密开集的交稠密。历史上，波莱尔曾经旗帜鲜明地反对选择公理，但他认为可数的选择公理是可以的，并且可数选择公理就够了。也许决定性公理可以成为他的一个选项。实际上，决定性公理会牵涉到实数的一些底层性质。而这些联系，是通过设计一些新的游戏来展示的。新游戏一：关于第一纲集和贝尔性质如果一个集合的闭包没有内点，那么这样的集合被称为无处稠密集合。而第一纲集就是可数个无处稠密集合的并。一个集合如果它和某个波莱尔集的对称差是第一纲集，我们说具有贝尔性质。我们现在来看一个新的游戏。在之前的Game(A)中，黑白双方叫出的是一个数字，而这个新游戏中，黑白双方叫出是一串数字，一个有限长度的自然数序列。黑方叫号： <0,3,5,6> <2,1> <8, 9,7,9,5,9> <4,12,5,7,8,0> ... 白方叫号： <0,5> <2,1,34,5> <9> <4,12,5,7,8,0> ... 同样，我们把这些序列拼接起来，能得到一个无限长的自然数列，比如上面的拼接起来就是 <0,3,5,6,0,5,2,1,2,134,5,8, 9,7,9,5,9,9,4,12,5,7,8,0,4,12,5,7,8,0, ...> 我们还是设定一个集合A，规定得到的序列x∈A，黑方赢，否定白方赢。这个游戏叫做Banach-Mazur游戏，在设定的集合A下，我们把它名字叫做Game1(A)。如果你理解了前面的编号思想，你很容易想清楚，如果所有的Game(A)是决定的，那么所有的Game1(A)也是决定的。你可以试试证明这样一个事情：Game1(A)中，白方有必胜策略，当且仅当，A是第一纲集。于是，有人能利用上面的结果，得到：如果决定性公理成立，则任何实数子集都具有贝尔性质。因为，贝尔性质是一种拓扑性质，所有决定性公理其实能说明实数在拓扑性质上的一些确定性。新游戏二：完备集性质和连续统假设如果一个实数子集是没有孤立点的闭集，我们说这个集合是完备集。如果一个实数子集是有限的或可数，再或包含一个完备集，那么我们说这个集合具有完备集性质。我们新游戏二的规则发生重大改变。黑方能叫的号还是一串数字，不过数字只能在0和1中选择，而白方只能叫出一个数字，同样只能在0,1中选择。黑方叫号： <0,1,1,0> <0,1> <0, 1,1,1,1,1> <0,0,1,1,0,0> ... 白方叫号： 0 0 1 0 ... 同样，我们把这些序列拼接起来，能得到一个无限长的0-1列，比如上面的拼接起来就是,<0,1,1,0,0,0,1,0,0, 1,1,1,1,1,1,0,0,1,1,0,0,0,...>。这里，我们其实已经只是在0-1序列组成的空间里叫号了。取集合TS = { x： x为0-1无穷序列}， x = <x(0), x(1), x(2), …, x(n), …>∈TS y = <y(0), y(1), y(2), …, y(n), …>∈TS 这个TS空间里，如果我们按前面相同的方式定义距离那么通过这个距离诱导得到的拓扑空间，和康托集同胚。我们设定一个TS的子集A，规定得到的序列x∈A，黑方赢，否定白方赢。定名Game2(A)。同样，用一些小技巧，我们可以知道，在决定性公理成立的情况下，所有的Game2(A)都是决定的。关于这个游戏，有两个经典的结论。 Game2(A)中，白方有必胜策略，当且仅当，A是可数或者有限集合。 Game2(A)中，黑方有必胜策略，当且仅当，A是包含一个完备集合。于是，如果决定性公理成立，那么任何实数子集都有完备集性质。如果，你对完备集合一些性质比较熟悉的话，会知道完备集合的是和实数集合等势的。于是，我们在决定性公理成立的情况下，得到一个比较弱的连续统假设成立：任何一个实数子集要么和实数等势，要么至多可数的势。新游戏三：勒贝格测度与可测集合这里，由于篇幅原因，我们不再具体介绍新游戏三了。新游戏三的大致思路就是，想办法把游戏移植到传统形态的实数上去，并把勒贝格测度结合起来。通过前面两个变种游戏，大家应该能相信，这样事情是能办到的了吧。这里要说的重点是下面这个有意思结论。如果决定性公理成立，所以实数子集都是勒贝格可测的。于是什么不可测的Vatali集，Banach分球怪论什么的，都不存在了。结束我们从一个传统的围棋游戏开始讲述，把围棋用数学转化成了一个大家只呼喊自然数的游戏，然后进一步让它“进化”成了一个无穷游戏。然后发现它居然能与实数的结构有着深刻的联系，难怪有集合论学家自嘲：集合论学家就是一群不知道实数是什么的数学家。关注 DuoDaaMath每天获得更多数学趣文

2017软科世界一流数学学科排名：普林斯顿世界第一、北大中国第一关注MathDuoDaa每天获得更多数学趣文软科世界大学学术排名（ARWU）这个排名名字大家也许有些陌生。他实际上是以前的上海交大世界大学学术排名，始于2003年。2016年以前，每当这个排名公布，几乎所有的媒体都会指明这是上海交通大学发布的排名。但是，在2016年起，这个排名不再强调这个关系。虽然是国内机构给予的排名，但是据说有一定分量。这里举两个例子台湾大学连续四年在这个排名下降，校方专门出面解释：“台大本身没有退步，只是其他学校进步太快。他们经费投入多！”。另外一个例子来自菲尔兹奖得主维拉尼的自传《一个定理的诞生》，自传中写道，作者去普林斯顿进行访问拜访了著名女数学家张圣容，向她询问是否因为普林斯顿大学的数学为在这个排名中保持第一而感到自豪——张圣容的回答就请大家在书中寻找吧。同样，任何排名都会有争议。比如2015年的数学学科排名中，兰州大学中国内地第一，被广泛讨论。 2017年开始，学科排名单独发布。排名的计算按照论文总数(PUB)、论文标准化影响力(CNCI)、国际合作论文比例(IC)、顶尖期刊论文数(TOP)、教师获权威奖项数(AWARD)五大项指标评分后，加权综合得到的总评分由高到低排名。如果你真有兴趣，可参见http://tieba.baidu.com/mo/q/checkurl?url=http%3A%2F%2Fwww.zuihaodaxue.com%2Fsubject-ranking%2FARWU-SUBJECT-Methodology-2017.html&urlrefer=a25ebe6e6232626a35268fd51a73e7d6 。数学学科方面，来自美英法三国的高校瓜分了前十的所有交椅。其中美国6所、英国和法国各2所。依照顺序依次是普林斯顿大学、纽约大学、巴黎第六大学、麻省理工学院、巴黎第十一大学、加州大学洛杉矶分校、剑桥大学、斯坦福大学、德克萨斯州大学奥斯汀分校、牛津大学。在亚洲，因为并列的缘故，前10名中有12所高校。来自以色列的大学成为亚洲排名的主角（按地理划分，以色列的确属于亚洲国家），耶路撒冷希伯来大学以全球排名第11的成绩排在亚洲第一，第二是日本的东京大学，全球排名第20，第三是全球排名第28的沙特阿卜杜勒阿齐兹国王大学，中国最高的是北京大学，全球排名第36，亚洲第4。中国共有73所高校进入榜单。然而仅有北大进入前50名，所以没有以并列的方式出现在排名里。全部排名如下：关注 MathDuoDaa每天获得更多数学趣文

如何证明素数有无限多个？关注 MathDuoDaa每天获得更多数学趣文素数又叫做质数，小学生都知道是什么意思。如果这位小学生对于数学的课外阅读还不错的话，很容易就能证明素数是无限的。那么，这篇文章岂不是很水？再讲一个小学里总所周知的事？我们哆嗒数学网小编的回答：“是，也不是！”，我们的确在讨论一个简单的数学结论，但却在用不同的数学方法。方法可能涉及抽象代数、拓扑学以及集合论这种大学生都不一定会学习的方法。文章受到《GÖDEL’S LOST LETTER AND P=NP》博客中文章的启发（WordPress上的博客，一般打不开），想和大家一起分享。点击可放大图片观看。关注 MathDuoDaa每天获得更多数学趣文

我们养着纯数学家干嘛？作者，Ben Orlin, 英格兰数学教师。翻译，诗人。，哆嗒数学网翻译组成员。关注 MathDuoDaa每天获得更多数学趣文 ——无用之用，方为大用娶一个纯数学家当老婆，有很多乐趣，家里会时常发现她的笔记本上染指咖啡渍，上面却写满了积分，除此之外，另外一个有意思的事就是听她向别人解释她的职业。 “是不是要大量使用电脑呀？” “你写方程吗？你懂我的意思，我指的是，那些很长很长的方程。” “你是不是要和一些极其大的数字打交道？” 对上述三个问题的回答分别是：不，有时会，不。她几乎不用计算机，不等式用得比等式多得多，另外，和她搞的小方向下的很多研究者一样，她觉得5以上的数字就已经大的离谱了。尽管如此，她还是乐于回答那些问题。纯数学的研究是一项奇葩的职业，并且很难向人解释清楚。那好，作为全体不在场纯数学家的一个代表，这位教师弱弱地做了次尝试，向人们解释一下这种工作。问：那么什么是纯数学呢？答：你可以把整个数学想象为一张大的阴阳图，但是并不是光明与黑暗之间的绞杀，火与水之间的对决，而是纯理论和应用之间的博弈。应用数学专注于数学在现实世界中的应用。工程，经济，物理，金融，生物，航天——所有的这些领域都需要利用定量的技术手段来解决问题和克服困难。但是纯数学，却恰恰相反，它是为数学本身的完美而发展。问：那么如果应用数学意味着有用，那么是不是纯数学就意味着.... 答：没用？问：这是你自己说的，我可没说。答：好吧，我更偏向于“为了数学本身而发展”这个说法，不过说没用也不是一点道理没有。纯数学并不关注应用，它不以现实世界为中心。它不会去考虑制作出更快捷的浏览器，建造更加牢固的大桥，也不会去建立投资银行，用来巩固世界的经济。纯数学是关乎数学模式，解题，和抽象的一门艺术。思想是它的血肉。产生于最初的朴素数学观念之上的想法，隐藏其背后的意义，可以引领我们继续前进的灵感，或者高于原始理念的构思，对这些剩下的（可能存在的）所有思想，纯数学家们孜孜不倦地探索着。它永远都在向天发问，“如果那个被证明是正确的，那么对于其他的，什么是正确的呢？” 它永远走向问题的更深更远处。问：你是说就在此刻，那些不在这里的纯数学家们，正是在做那些纯数学嘛，虽然这些玩意可能对一些人来说永远没用。答： [我瞥了一眼正在工作的妻子，确认她并没有在看她的美剧《实习医生格蕾》。] 是啊，就是这样的。问：那，为什么呢？答：因为纯数学非常美妙呀！他们勇猛地开垦着人类知识的新地。他们和哲学家，艺术家，以及其他领域的纯理论研究者无异。问：我懂了，那就是他们正在做纯数学的原因。但是(既然他们做的东西没啥卵用)为什么我们养着他们干嘛啊？答：哎哟，这是一个更加难回答的问题。让我先岔开这个问题，给你讲个故事吧。在19世纪，数学家们开始对证明非常痴迷。整个世纪，他们致力于对已知正确的数学成果的反思和创新(就像对微积分理论基础的重构)，但是他们却不能完全地解释究竟为何如此。所以在20世纪新黎明的破晓之际，一些研究介于数学和哲学的交叉领域的学者，开始了一项宏伟的工程:证明一切。他们渴望将所有的数学知识建构在一个坚实的基础之上，以此来创造一个体系，运用十足的精确和彻底的演绎，将真理与错误永远分离。这个想法从过去开始酝酿已久（2000多年前，欧几里得将所有的平面几何建立在了相似的基石之上），但是这项工程放眼的视野却是全新的，具有里程碑式的意义。在数十年中，一些站在世界之巅，智力超人的数学巨子们，对比如“1+1=2”这样的命题，进行着孜孜不倦的探索，找寻着隐藏在其背后的，严谨而又神秘的意义。你能想象出还有什么事情能比这更加抽象，更加纯粹吗？好奇心指引着他们前进。数学的应用在他们心中去留无意。问：那，之后发生什么了？答：这项计划失败了。最终，哲学家库尔特•哥德尔证明了无论你最初选择什么样的公理，任何一个数学系统都会最后陷入某一些命题总是无法被证明的困境。你无法证明那些命题是正确的，你也无法证明它们是错误的。它们让人很无语。我们称这些命题为“无法确定真伪的命题”。事实就是，很多事情都可以被证明，但是某些事情就是无法被证明。问：哎！这简直就是对时间的极大浪费！纯数学最差劲了！答：好吧，我姑且先说你是对的。当然了，研究者们试着从数学废墟中重新利用一些东西。在这些工作的基础上，一位英国的数学家构思了一种机器，它能够帮助我们去判断某个数学命题是真的，还是假的，还是无法判断真伪的。那将成为一个自动的真理判决者。问：那我们是否曾经制作了它呢？答：制作过的，那位数学家叫做阿兰•图灵，今天我们都称这种机器为“计算机”。问： [目瞪口呆] 答：然而正是如此。作为曾经令纯数学家呕心沥血的最为纯粹的数学事业之一，这项企图证明一切的浩大的工程，像凋零的烟火一般消逝远去了，没有得到实现。当然了，预定目标的确没有得到完成。但是通过澄清（并且有时是革新）一些观念的过程，比如关于证明方法、真理和信息的探讨，数学成就了一些更加伟大的事业。它带给了我们计算机，计算机相应地给我们带来现在这个，你懂得的，这个世界。问：所以也就是说现在的纯数学可能有一天会给我们带来一种全新且极具变革性的实际应用咯，就像当时的纯数学为我们带来了计算机一样？答：有可能会。但是你却不能一定认为任何一个数学工作都能达到那样的标准，那是做不到的。这个世纪之内会有成堆的论文，大量的纯数学工作，都是看不到（催生伟大实际应用的）曙光的。它们不会在任何有实际意义的领域得到应用。顶多它们会被相关领域的极少数专家阅读，然后沦为灰溜溜的背景知识。这就是残酷的数学生活。但是当你随意地去读那些20世纪初的逻辑学家写的文章时，你会觉得他们的工作同样地无意义。如果你把那些论文沿着时间轴一一排除之后，那么我们智力工作者奋斗史的“砖砖瓦瓦”将会变得非常中规中矩而毫无新意。但那并不会使得那些论文变得黯淡无光，因为伟大的研究成就并不是零散孤立的个人独白的简单拼凑。数学成就是交流对话的果实！每一项研究都建立在先人的研究之上，并且它又会指点后人去猜测下面可能要研究什么。这些暗示可能是价值重大的，或者有一些价值，或者毫无价值。无法提前判定。在长达数十年的对话中，没有什么特别的言辞必然会具有重要的指导意义的。说太多会被遗忘，或者陷入晦涩。那都没什么大不了。关键的是对话一直在进行。人们需要不断地分享那些令他们兴奋不已的思想，甚至尤其是那些特殊的，连他们也不知道为什么的灵感。问：那也就是说，纯数学，为自己的终身美丽而生，永远献身于革新性的洞察咯？答：是的，这就是纯数学。关注 MathDuoDaa每天获得更多数学趣文

高考志愿填报：关于数学专业的三大误区搜索关注哆嗒数学网每获得更多数学趣文高考结束了，大家马上会进入志愿填报。志愿填报中，专业选择是其中顶重要的一项，每年都有高考生因为对专业了解不足，填报了让自己后悔的专业，造成遗憾。说实话，我们哆嗒君这方面也帮不了什么忙，谨以此文，帮助大家少进点坑。下面的三大误区，在数学专业内也许是常识，但是对于不了解的学生和家长来说，却可能是重要的信息。请帮哆嗒君转告给他们。误区1 数学与应用数学专业离计算机很远的确远，但是不如大多数人想象的那么远。这个专业虽然几乎所有的课程都是数学，但就专业而言数学与应用数学覆盖的范围很广。数学与应用数学，是联系数学与自然科学、工程技术及信息、管理、经济、金融、社会和人文科学的重要桥梁。该专业在考研上有很大优势，一些非数学专业的研究生招生上，对数学专业有偏好。比如比较热门计算机、金融等专业的一些方向的教授更偏爱招收本科数学背景的学生，而非他们本专业的学生。而对于考试本身，对于考研要考数学的专业来说，数学统考是大多数人的噩梦，但不是数学专业学生的噩梦。另外，即便是大学毕业直接找工作，IT行业与金融行业这两个行业也是数学与应用数学专业就业的大户。误区2 信息与计算科学专业离计算机很近的确近，但是不如大多数人想象的那么近。大部分学校信息与计算科学专业开在数学学院或者理学院，它其实就是一门数学——计算数学，数学的一个分支。信息与计算科学是以信息领域为背景，将数学与信息、管理相结合的交叉学科，主要核心课程首先是数学专业的核心课程，然后才是该专业的特色课程，比如金融分析、软件设计方法等。信息与计算科学专业着眼于培养不仅数学功底扎实，而且掌握信息科学和计算科学的理论与方法的数学人才。这个专业在考研和就业有着前面数学与应用数学专业几乎相同的优势。IT行业与金融行业这两个行同样也是该专业就业的大户。误区3 统计学专业是数学的分支统计学专业要学很多数学，甚至数学可能会是一个人在该专业的学习瓶颈。我们从小学、中学开始，统计学的基础就是从数学课中习得的。但是统计学是一门和数学并列的独立学科，不是数学学科的分支。统计学是通过搜索、整理、分析、描述数据等手段，以达到推断所测对象的本质，甚至预测对象未来的一门综合性科学。从学位授予方面看，大部分统计学专业授予经济学学位，另外还有很多学校授予理学学位。这要看具体学校的设置，一般来说，如果统计学在经济学院下授予经济学学位，如果在数学学院或者理学院下授予理学学位。特别注意，部分学校，分别在经济学院和理学院都分别设有相同名称的统计学专业，但是授予的学位是不同的。最后，我们哆嗒对高考志愿填报的建议是：无论你选择什么专业，无论理科、工科，甚至文科，无论你的专业培养方案中有没有数学课程，认真对待对数学的学习，你都会终生受益的。搜索关注哆嗒数学网每获得更多数学趣文

520：向你心中的数学家表白吧！原文作者：Ben Orlin，英国数学教师。翻译作者：Humphrey Liu，哆嗒数学网翻译组成员，中学留学教师。关注 MathDuoDaa 每获得更多数学趣文分析学家：所有的判别法都无法检验我对你的感情，对你的爱永不收敛！双曲几何学家：直线有无数条平行线，但你没有。无论我奔向哪里，都将与你相遇！拓扑学家：无论生命历经何等沧桑，只需要通过一个微分同胚，你就能看见，我对你的心万年不变！统计学家：与你一瞬间的偎依，就足以拒绝零假设！图论学家：我的心就是一个引出1000条弧的节点，每条弧都指向着你！组合学家：你问我爱你有多深？选择组合代表我的心！概率论学家：说“百万里挑一”完全不能表达你在我心中的地位，你是零概率事件！运筹学家：我终止所有搜索算法的运行，因我已经找到了全局最优解——就是你！逻辑学家：我对你的爱，不单单是必须的，更加是充分且必要的！数论学家：我和你之和一定是一个质数，因我我们一旦在一起，就永远不会再分解了！关注 MathDuoDaa 每获得更多数学趣文

惊！歌德巴赫、孪生素数猜想还可以这样玩！作者： Math001，哆嗒数学网网主。关注 MathDuoDaa 每获得更多数学趣文这篇文章把约数、素数、孪生素数猜想、歌德巴赫猜想用一种“可视化”的办法，把它们“变”成了一个可以看见的填字涂色游戏。而这种转化为“变戏法”的过程所涉及的知识，只涉及初等数论的知识，如果有兴趣的读者不嫌麻烦，可以耐心地把其中的转化过程一一验证，如果没时间验证也没关系，可以暂且相信我们哆嗒数学网的小编，跳过一些繁琐的证明过程，一起领略另外一种“数形结合”的奇妙。首先声明，我们的目的是把一些数论问题变得“好玩”、“好看”。即便把这些问题变成了小游戏，问题的难度可能依然没有得到任何程度的降低（有可能变得更难）。如果你觉得真的变好玩了，不妨让更多的人看到这些玩法并一起玩，这会是件非常有趣的事情。起航：做一张巨大的正整数表格我们按下面的步骤，来做一张表格：第1行，依次从左到右写出所有正整数1、2、3、…… 第2行，还是依次从左到右写出所有正整数1、2、3,、……，不过每两个数字之间要间隔1个空格。第3行，还是依次从左到右写出所有正整数1、2、3,、……，不过每两个数字之间要间隔2个空格。 …… 第i行，依次从左到右写出所有正整数1、2、3,、……，不过每两个数字之间要间隔i-1个空格。 …… 理论上，这是一个有无穷行和无穷列且大部分地方都是空格的大表格（无穷矩阵），不过我们可以截取它的一部分来说明一些问题。据说，几百年前的欧拉已经用过这样表格研究数学问题了。如果真是这样，欧拉真是一位十分有耐心的数学家。用“人肉”绘图的方式，哪怕只有几百行几百列，也是一件耗时耗力的工作。因为一会儿我们要在这个表格上做一种类似“跳格子”游戏的操作，我们把这个表就叫做“跳格子表”吧。不过现在有了计算机，我们可以轻易的做到这样的事情。下面是我们哆嗒君用Excel软件做的17行50列的表格（点击图片放大观看）：我们稍微地归纳一下这个表格的填字规律，第i行第j列，即位置( i , j )的“填字”N( i , j )将是事实：位置( i , j )的填字不是空格的充要条件是，j-1 是 i 的倍数，即i是j-1的约数。约数与质数“重定义” 我们知道，对于两个正整数来说，如果a是b的倍数，b就是a的约数。如果一个大于1正整数的约数只有1和它本身，我们就说这个数是素数，也叫质数。然而，我们这里既然做了表格，目的就是要重新利用表格上语言来说，到底什么是约数。观察下面表格的红色路径，它们都是从第1行的某个数字开始，向左下方一路斜着拉了条斜线拉到最左侧的那一列的1。比如我们图中的6, 11, 18。从6拉的路径里，除了空格，经过的数字有6,3,2,1，而从18开始的，经过的有18,9,6,3,2,1。恩，你发现了吗，经过的数字，正好是起始数字的约数。于是，我们说，在这样的表格里，约数可以这样表述: 约数的“跳格子”定义：正整数n的约数就是“跳格子表”中，从第1行的n出发（即（1,n）位置出发），向左下行走到第1列的“1”的路径中经过的数字。对于观察到的这个结果，我们给出一个简单的证明。我们来看，从(1,n)出发所经过的格子( 1+i , n-i ) , i = 0,1,2,3,…,n-1。根据前面的事实1，N( 1+i , n-i ) 是一个数字，当且仅当 n-i-1 = n-(1+i) 是 1+i的倍数，就是说n是1+i的倍数。而当n是1+i的倍数时，格子中的数字是N( 1+i , n-i ) = 1 + (n-i-1)/(1+i) = n/(1+i) 。这个是一个正整数且是n的约数。而i从0到n-1遍历的时候，1+i遍历了n所有可能的约数，而且每个约数恰好出现一次。有了这个结果，我们还可以“重新定义”素数：素数的“跳格子”定义：正整数n的约数就是“跳格子表”中，从第1行的n出发（即（1,n）位置出发），向左下行走到第1列的“1”路径中，除了路径的起点与终点，经过的全是空格。上面图中的11便是其中的一个例子。孪生素数猜想的玩法如果两个(奇)素数之差是2，我们就说这两个素数是一对孪生素数。比如3和5、11和13,、17和19等等。直到2016年9月，发现的已知的最大的一对孪生素数是下面两个数，展开后，这两个数都有388342位，这里一定是写不下了的。孪生素数猜想是说，有无穷多对孪生素数。那么在我们的表格中会怎么表述这个猜想呢？我们从第一排的某个数字出发（即（1,n）位置出发），如果往右下一路斜走，踩过一路空格后，踩到3，而从左下一路斜走，一路空格走到1，那么这个n以及n-2都是素数。下图中的13就是这个情况。证明这个的思路，也和前面一样，是一些简单的倍数、约数验证。从(1,n)位置向右下斜走n-3格，踩中的位置为N(1+n-3,n+n-3) = N(n-2,2n-3) = 1 + (2n -3 -1)/(n-2) = 3 。就是说从任何(1,n)出发，n-3格的时候踩中3是必然的。另外，因为是一路空格踩过来，所以 i = 1,2,...,n-4的时候，N(1+i,n+i)都是空格，也就是说n+i-1= (n-2) + (1+i)不是1+i的倍数，即n-2不是1+i的倍数。就是说2,3,...,n-3，都不是n-2的约数，从而n-2是素数。而n本身是素数是从(1,n)出发的左下斜线路径决定的。于是我们有了，孪生素数猜想的“跳格子”表述：孪生素数猜想的“跳格子”表述：存在无穷多个n，使得从“跳格子表”中第一排的n位置出发，往右下一路斜走，踩过一路空格后，踩到3，而从左下一路斜走，踩过一路空格走到1。还没玩够，马跳模式下的孪生素数猜想猜想你下过中国象棋、国际象棋吗？如果下过，就会知道象棋中马的走法。俗话说“马走日”，意思马会形状如“日”字的一个角跳到对角线上的另外一个角。当然如果你不知道象棋而知道围棋，那么围棋中“小飞”的走下法和“马走日”的走法差不多都是我要表达的意思。马跳可以横着跳，也可以竖着跳。横着跳的相当于跳了一个平躺的“日”的对角线，而竖着跳就是一个站立“日”。下面我直接给出两个结论，然后简单的验证了其中一个。另外一个读者可以自己验证，都是简单的约数验证。 2n-1是素数，当且仅当，从第一排的n位置出发，往左下竖马跳，踩过一路空格，踩到1 2n-3是素数，当且仅当，从第一排的n位置出发，往右下竖马跳，踩过一路空格，踩到2。当从(1,n)位置出发的时候，往左下竖马跳n-1步后踩到1是非常容易判定的。由于一路踩过的都是空格，所以(1+2i, n-i )位置在1< i <n-1上都是空格，就是说n-i-1 不都不会是1+2i的倍数。因为1+2i是奇数，所以相当于是说 2(n - i - 1) = (2n-1)-(1+2i) 也不是1+2i的倍数，即2n-1不是不会是1+2i的倍数。这时1< 1+2i <2n-1 ，就是说奇数2n-1没有奇素因子。2n-1为素数。 2n-3的素数条件验证是相似的。下图从10出发的两个方向的马跳，说明了19、17是一对孪生素数。于是，我们有了第二种表述：孪生素数猜想的“跳格子”第二表述：存在无穷多个n，使得从“跳格子表”中第一排的n位置出发，往左下一路马跳，踩过一路空格后，踩到1，而从往右下一路马跳，踩过一路空格后，踩到2。说好的歌德巴赫猜想呢？这一部分，我们就会来实现这个猜想。玩之前我们会介绍一种“跳格子表”上的新走法——k级马跳，以及我们会换一个更大的棋盘来玩。前面介绍的马跳的位置，其实是向横（竖）着移动一格，然后朝另外一个方向竖（横）着移动2格所得到的位置。如果我们把第二次的2格换成其他数字k，然后将这个新的走法称为k级马跳。那么，前面的走法就成了k级马跳的特例。最早棋盘上的斜着走，就是1级马跳，而上一部分的默认马跳其实是2级马跳。另外还有一种特殊情况，0级马跳，横着的0级马跳竖着直走，竖着的0级马跳是横着直走。为了玩得开心，我们引入0和负数，把之前的表格向左边无限扩展，得到下面样子的表格。我们省略负号，把0和负数涂上绿色。这个表格是之前的升级版，我们叫做“跳格子表2”。“跳格子表2”保留几乎所有之前未升级版本表格的性质，比如N(i,j)的值，我们可以计算N(2,-1)=1+ (-1-1)/2 = 0, N(8,-63) = 1+ (-63-1)/8 = -7 , 以及 N(3, -6) = 空格。因为-6-1 = -7 不是3的倍数。现在我们的准备工作完毕，开始要说歌德巴赫猜想的玩法了。歌德巴赫猜想是说，每个不小于6的偶数可以写成两个奇素数之和。我们说一个不小于6的偶数2n，如果存在一个非负整数k，使得从第一行的n+1位置出发，向往右边一路横着进行k级马跳，踩过一路空格，最后踩到k+2，往左边一路进行k级马跳踩过一路空格，最后踩到2-k。那么2n能写成两个素数的和。我们来看看为什么。从(1,n+1)往右横着k级马跳，跳n-k-1步踩到的点的值N(1+(n-k-1),n+1+k(n-k-1)) = N(n-k，1+(1+k)(n-k)) = 1 + (1+(1+k)(n-k)-1)/(n-k) = k+2 ，就是说n-k-1步后必然踩到k+2, 由于是一路空格踩过来，说明当1≤i≤n-k-2 的时候， 1+i都不是n-k的约数。即2,3,4,...,n-k-1 都不是n-k的约数。于是n-k是素数。利用相同的办法可以验证，n+k也是素数。只需要验证向左边移动n+k-1步的情况。相反，如果一个不小于6的偶数2n = p + q，其中p≤q是奇素数。那么我们令k = n-p = q-n。那么这个k对应的k级马跳就是符合游戏设定k级马跳。那么这个时候，我们可以表述歌德巴赫猜想了。歌德巴赫猜想的“跳格子2”表述：对每个不小于4的正整数n，存在一个非负整数k，使得从“跳格子表2”中第一排的n位置出发，往右横着进行k级马跳，踩过一路空格后，踩到k+2，而往左横着进行k级马跳，踩过一路空格后，踩到2-k。下面的例子是对从16可写成两素数之和的验证。这个时候n=8，n+1 = 9, 所以从第一行的9开始跳，k的取值是3，所有最终右边跳到k+2=5，左边跳到2-k = -1 ，于是n+k = 8+3 = 11, n-k = 8-3 = 5, 16 = 11 + 5 ，16写成了5和11两个素数和。注意，k=0 的特殊情况是这样的：从n+1一直直线往下走，踩过一路空格踩到2。比如上面图从4出发向下走的黄色部分，说明了6满足哥德巴赫猜想。谁发明的这个游戏？好的，我们把孪生素数猜想和歌德巴赫猜想都在一个有趣的表格上重新实现了。那么这个游戏是谁发明的呢。发明这个游戏的人叫Cloitre,是一位法国的数学的业余爱好者。他把他的这个发现写成的论文，可以在http://tieba.baidu.com/mo/q/checkurl?url=http%3A%2F%2Fwww.les-mathematiques.net%2Farticles%2FChemins.pdf&urlrefer=c1874a1812abd8a13645a0ce39c3769a 看到。我们哆嗒君把他的玩法优化，并处理完几个小错误之后呈现给了大家。这个游戏不是他在数学上唯一的发现。Cloitre的很多发现并不逊色于在大学任教的数学专业人士，。比如2004年，他发现了ζ(2) = 1 + 1/4 + 1/9 + ... + 1/n² + ... 的一个极其简单，但之前无人发现的公式，这个公式被收录在WolframMathWorld的词条中。一些专业的数学教授也乐意和Cloitre合作，Cloitre也乐于在网上分享他的数学上点点滴滴。著名数列百科网站OEIS有Cloitre的4000多条贡献，一些数列中隐含的问题也激发了一些专业人士的研究兴趣。所以，业余人士做的数学，也会被人叫好，也是会被人们承认的。这个时候，专业人士也不会叫你“民科”，当然——前提是你的研究是对的。关注 MathDuoDaa 每获得更多数学趣文

神奇的分数维编者按：如果你第一次看到豪斯多夫维度的严谨定义，你一定多少有点晕吧，过程是：对于度量空间X， S为X的一个子集，d为非负实数 1、先定义S的d维豪斯多夫容量（d-dimensional Hausdorff content ）2、然后定义S的豪斯多夫维度为使得S的d维豪斯多夫容量为零的那些d的下确界，即：但当你用这样定义去验证一个简单集合（比如康托集）的豪斯多夫维度的时候，过程是比较复杂的。但你细细评味，你会发现，证明过程貌似就是在做收缩，放大之类事情，也是本文介绍的豪斯多夫维度最初始的思想。有的时候，数学的难度就是这样产生的：一个简单的思想，教科书只能用最严谨的方式告诉你，这时候用的表述已经看不到最早的想法，于是你必然开始用最复杂的字面意义去理解它。如果，这个时候有个知道背景的人提醒你，那能少走多少弯路呀。作者：金星光，就读于重庆师范大学数学与应用数学专业。投稿可发至邮箱[email protected]。搜索关注 DuoDaaMath每获得更多数学趣文看过《哈利波特》的人想必对于9又3/4站台并不陌生，这是通往霍格沃兹魔法学院的入口。当年哈利、赫敏与罗恩推着装满魔法物品的小推车冲进墙内的场景到现在都还令我记忆犹新。9又3/4站台为我们揭示了一个魔法世界中的一个分数维的车站，那么在数学世界中是否存在着维数为分数的事物呢？今天我们就来探究一下神奇的分数维。众所周知我们生活在一个三维的空间中，我们需要三个数值就能唯一的确定我们在空间中所处的位置：经度、纬度和高度。在这里我们对维数的定义借用了拓扑中对于维数的定义：空间的维数等于决定空间中任何一点位置所需要变量的数目。显然这种拓扑方法定义的维数当然只能是整数，那么对于分数维我们就不能采用拓扑中对于维数的定义了。接下来我们就要从另一角度重新定义维数。首先我们要先要了解一个概念叫做图形的自相似性，即一个图形本身可以看成是由许多与自己相似的、大小不一的部分组成。如一条线段是由两个与原线段相似、长度一半的线段接成的；一个矩形可以看成是由4个与自己相似、面积为原矩形面积的1/4的小矩形组成；一个立方体则可以看成是由8个体积为原立方体体积的1/8的小立方体组成；利用自相似性，维数就可以这样简单而直观的理解：首先将图形按照M:1的比例缩小，然后，如果原来的图形可以由N个缩小之后的图形拼成的话，这个图形的维数d=ln(N)/ln(M) 。（注：这个数也叫做豪斯多夫维数Hausdorff dimension）。我们可以用这个办法轻易的计算立方体的维数为3，当将正方体按照2:1的比例缩小，可以得到8个小正方体，即M=2，N=8，则d=ln(8)/ln(2)=3。其实对于非整数维的几何图形，早在1890年，就已经被意大利数学家皮亚诺（G.Peano）提出。当时他构造出一种奇怪的曲线，被称作“皮亚诺曲线”。具体的构造方式见下图。按照这种方法最后所逼近的极限曲线，应该能够通过正方形内的所有的点，充满这个正方形，即曲线有面积。这个结论令当时的数学家惶恐。在皮亚诺之后，科学家对于这种几何的研究形成一个新的几何分支叫做“分形几何”。另一个在数学中比较著名的分数维的图形是科赫曲线(Koch snowflake）。它的产生可以采用如下方法：在一段直线中间，以边长的1/3为边的等边三角形的两边来代替直线中间的1/3，得到图形(a)，对(a)的每条线段重复以上做法又得到图形(b)，对(b)的每段线段又重复得到图形(c)，而对(c)的每段线段又重复就得到了图形(d)，如此无穷地继续下去得到的极限曲线就是科赫曲线。我们采用上述计算维数的办法来计算科赫曲线的维数。首先将科赫曲线的尺寸缩小至原来的1/3，然后用4个这样的小科赫曲线便能构成与原来一模一样的科赫曲线。即此时：M=3，N=4, 即d = ln(4)/ln(3) = 1.2618…… 很明显我们可以看出科赫曲线的维数不是一个整数，而是一个小数或分数。分数维的出现滋生出数学中“分形几何”这门学科的发展，为我们打开了一个新世界的大门，它的神奇之处在于弥补了我们的未知、颠覆了我们的已知。数学的发展始于观察、形于思考、终于证明。每次新事物的出现看似是对于已有数学框架的撼动，其实本质上是一种进步与发展，来弥补这个美好的数学世界。而数学以其自身的魅力吸引着每一位热爱他、追随他的人，在远方智慧深处闪耀着永恒的星光。搜索关注 DuoDaaMath每获得更多数学趣文

从一到无穷大：对应与计数作者：桃夭灼灼。搜索关注 DuoDaaMath每获得更多数学趣文一、伽利略的疑惑物理学家伽利略曾提出这么一个问题。我们知道任何一个偶数都可以写成2n（n为自然数）的形式，因此对于任何一个自然数n，都可以将它乘以数字2而得到一个偶数2n。此外，如果有两个不同的自然数n和m，按照上面的方式可以得到两个不同的偶数2n和2m，换句话说，不可能有两个不同的自然数对应着同一个偶数。现在的问题是，按照这个方式，可以将自然数和偶数作一对一的对应，同时表明自然数似乎和偶数是一样多的。但是直觉告诉我们，偶数只是自然数的一部分，或者仅占自然数的一半，因为还有另一半是奇数。伽利略对于这个问题思考很久，但无法给出令人满意的结果。在此之后的两百年间，数学家对于涉及到无穷大的问题，总是以“比任何数都大”的方式处理。二、康托的解答 19世纪，数学家康托作出这么一个设想：如果我们承认自然数的确是和偶数一样多，那会带来什么样的影响？要承认这个事实，首先从有限多个事物开始说起。比如有五个苹果装在篮子里，有五本书放在书架上，我们的第一反应是它们的数量都是5，但我们忽略了一个过程，我们是用阿拉伯数字5来表达这个结论。可是，一旦停止使用任何一种计数方式（如阿拉伯数字，罗马数字等），我们的想法仍然认同它们一样多，因为可以给这五个苹果和五本书贴上不同的标签，比如用大写字母ABCDE表示五个苹果，用小写字母abcde表示五本书，然后让每一个大写字母与相应的小写字母对应，这样五个苹果和五本书是一样多的。此外，对于五个苹果和七本书，可以肯定它们是不一样多的。更进一步，只要所研究的问题中事物数量是某个自然数，类似于上面贴标签的方法，总能得出谁多谁少的结论。但是语言文字中使用的字母、符号总是有限（例如英语有26个字母，俄语有33个字母，日语有71个假名），而对于事物数量稍多一些的整体，却无能为力，因此数字起到了一个非常重要的作用，其中自然数的引入帮助我们自动完成了这么一个一对一的贴标签过程。接下来考虑这么一个事实。如果事先有100个人，旁边还有一堆书，但不知有多少，现在让每个人都拿一本书，最终正好拿完，并且没有一个人会拿走两本书，也没有一个人没有书，那么一定有100本书，自然不需要一本一本地去数。如果实现的人数也不知道，当然我们还是不知道有多少本书，但仍然可以肯定，人数和书本的书目是一样多的，尽管我们对于其中的数量一无所知。这个事实表明：由人所构成的集体与由书本所构成的整体之间的个数相同。总之，只要所研究的问题中事物数量是有限，那么一定可以建立一个一对一的对应来确定谁多谁少，而无需知道有多少和是多少。这个结论给予我们一个启发：对于涉及到无穷多个事物的两个整体，能否用类似的方式来区别这两个整体所含有事物数量是否有差别？但是要注意，在无穷多个事物组成的整体中，已经不能用“数量”或“个数”的概念。康托对此给出了一个令人满意的结果。他认为凡是有无穷多个事物的一个整体，可以用“势”（“基数”）来描述这个整体中所含有事物的多少。当然，对于一个数量有限的整体，势就是它所含有事物的个数。其次，对于两个整体A和B，只要能在A和B之间建立起一个一对一对应，而不管A和B究竟有多少（即使有无穷多个），我们就认为他们有相同的势。例如，取A为全体自然数，而B是全体偶数，根据开始给出的对应方式，A和B有相同的势。这样自然就解决了伽利略提出的问题，但它打破了我们的常识性认识，即欧几里德在《几何原本》一开始就提出的规定：整体比部分多。对于集合中元素的“个数”，如果可以用一个具体的数字来表达，则称这个集合是有限集，反之，如果找不到一个具体的数字来表达“个数”，或者说集合中元素的“个数”比任何一个自然数都大，则称这个集合是无限集。对于有限集，在组合数学中有广泛研究。对于无限集，根据康托的思想，将无限集中元素的“个数”称为“势”。两个无限集A和B之间如果有一个一一映射（既是单射又是满射），则这两个集合有相同的势，称为对等的。对于全体偶数组成的集合，显然和全体自然数组成的集合有相同的势，当然还有很多集合与全体自然数组成的集合有相同的势，例如分数和自然数一样多，有理数和自然数一样多。为此，规定全体自然数组成的集合的势为“阿列夫零”。这个称呼来自于希伯莱字母“阿列夫”，其原因或许在于数学家康托是犹太人。如果一个无限集的势为阿列夫零，称为可数集，反之一个无限集的势不是阿列夫零，称为不可数集。除了阿列夫零以外，康托还为我们规定了阿列夫一、阿列夫二、阿列夫三……等无穷多种势，同时他得出了一个重要的结论：任何一个集合的幂集(即它的一切子集构成的集合)的势都大于这个集合的势。这就说明没有最大势。此外，康托首先看到了一个自然而重要的问题：在阿列夫零和阿列夫一之间是否存在一个中间势？他并没有解决这个问题，但他相信没有这个中间势。这就是著名的康托连续统假设。这个假设现在终于被人们搞清楚了，它可以作为一条公理，并且与集合论中其它一些公理是独立的。三、希尔伯特旅馆在1900年第二届国际数学家大会上，希尔伯特把康托的连续统假设列入20世纪有待解决的23个重要数学问题之首，他本人则提出了一个有趣的故事。有一个旅馆，我们称它为希尔伯特旅馆。第一天来了一位客人要求入住，但老板表示已经客满，不过老板想出了一个方法。首先，他让一号客房中的客人搬出，让外面等待的客人入住一号客房。然后让二号客房中客人搬出，让原先一号客房中的客人入住二号客房，再让三号客房中的客人搬出，让原先二号客房中的客人入住三号客房。依此方式，最终让每个客人都有自己的客房（包括新来的客人）。第二天，又来了一些游客，人数大约在100人左右，旅馆老板表示已经客满，不过聪明的老板又想出了一个方法。首先安排第一个游客入住，所作的安排与第一天入住的客人所作的安排一样。待第一个游客住下，又安排第二个游客入住，所作的安排与第一个游客所作的安排一样。最后，依次安排第三个、第四个游客直至最后一个游客入住。第三天，又有很多游客要求入住，人数无法确定，总是有无穷多人，老板表示已经客满，但他有方法可以让每个客人有自己的客房。我们暂时不去关心老板最后的安排，这个故事被数学家们称为希尔伯特旅馆，借此他引出数学上的“可数无穷大”概念。与现代图论结合，又产生了网络枢纽无堵塞观点。四、尾言自康托提出连续统假设以来，数学家一直致力于解决这个问题。但不久人们就在康托的集合论中发现了悖论，为了消除这些悖论，就开始对集合论进行公理化处理，并先后尝试建立了几个集合论公理系统。人们通常使用的是策梅洛和弗兰克尔建立的ZFC公理系统。进行公理化后，基本上都能消除悖论。1938年哥德尔证明了连续统假设和ZFC公理系统不矛盾，两者是协调的。1963年美国数学家科恩又证明了连续统假设和ZFC公理系统是彼此独立的，是不可能判定真假的。这样在ZFC公理系统中，连续统假设是不可能判定真假的，这是60年代集合论的最大进展之一。正如帕斯卡比喻的那样：人只是漂浮在无限和虚无这两个无底深渊之间的一叶扁舟，我们总想要追求某种确定性，但却永远也抓不住，一不小心我们的整个基础就会分崩离析，而下面就是那无底深渊。在数学上，人永远只是探索者，没有“终结者”。搜索关注 DuoDaaMath每获得更多数学趣文

一位小学生写给华罗庚的信这是到目前为止我们哆嗒数学网收到的年龄最小的作者投稿——一名小学五年级的同学写的一篇书信体作文。这篇文章，内容切入点和一些用词稚气未脱，大概符合现在小学生的思考方式。但是，文章行文所用的手段还是比较老练，相信其指导老师费了不少心力帮助修改。我们哆嗒的每个读过此文的小编，都有非常喜欢。哆嗒一直希望身边每个人都来普及数学、数学家、数学界的知识。你知道一分，就分享一分，知道十分，就传授十分，不必在意别人嘲笑你“半灌水响叮当”。只要对数学知识有足够尊重，投稿文章无论水平高低，内容深浅都可能是我们发布的内容。——这位王怡淋小同学做到了。本来所有文章会有个一起投票的流程，对于这位小朋友，我们觉得把他放到一堆成年人里投票排位是一件残忍的事情。所以，未来投票列表里不会出现这篇文章，我们也准备了一份小礼品，直接寄给这位小作者（貌似是他老师代收）。作者：王怡淋，河北省保定市永华南路小学五年级学生。投稿可发至邮箱[email protected]，详情参见征稿说明（截止日期延期至4月28日）。搜索关注 DuoDaaMath每获得更多数学趣文致华罗庚的一封信河北省保定市永华南路小学王怡淋敬爱的华罗庚大师：您好！我是五年级的一名小学生。数学课上，老师总是提起您的名字；语文课上，老师也总是给我们讲起您的事迹。我对您充满了好奇：为什么您的数学学得那么好？为什么初中毕业就能成长为伟大的数学家……读了您的传记，我才对您有了更深入的了解，更加敬佩您了！我敬佩您的自学能力和刻苦精神！虽然您从小就显出数学天赋，但因为家境贫寒，初中毕业不得不退学。在您应当接受教育的岁月，一个“穷”字剥夺了您的梦想！但是您并没有丢掉数学学习，依然边帮助家里干活边自学数学，顽强的自学到了十八岁！这得需要多大的毅力呀！想想我们现在，生活条件优越，不愁吃不愁穿，想要什么有什么，我们还有什么资格不好好学习，珍惜我们现在的学习机会？我们应该在学习上刻苦努力，勤动脑，勤动手。课上跟紧老师，课下认真完成作业，珍惜并用好我们的美好学习时光！我敬佩您对数学的痴迷与热爱！您在帮家里干活时，冬天在账台上看数学书，演算数学题，入了迷，竟然忘了接待顾客，被人称为“罗呆子”！进入清华，您就给自己五、六个小时的睡眠！想想自己对待学习和时间真是不应该！我一定向您学习，对学习要认真，尤其是听课、做题时注意力要集中，不能走思，不能干别的事；对待时间，要有计划有安排，要做很多有用的事！我敬佩您的坚强品质！由于您得了一次重病，造成终身残疾，只能借助手杖走路。但您并没有被吓倒，您还幽默却很坚定地说：“我用健全的头脑，代替不健全的双腿！”这种精神，让您从一个初中毕业生成长为一代数学大师！您真的很了不起！我们四肢健全，身体健康，学习生活中遇到点儿困难算的了什么呢？我们应该笑着生活！我更敬佩您的爱国精神！您这样一位大师，完全有条件留在美国，和家人一起享受优越的生活——住洋房，开汽车。可是您毅然放弃这些，在新中国诞生后，“为了国家民族”，回到了祖国的怀抱。用自己所学，为我国的现代化建设做出了突出的贡献。华罗庚大师，您是我们学习的榜样！您如同一盏明灯，指引我们在知识的海洋尽情遨游；您如同一股清泉，滋润着我们健康快乐成长。我一定好好学习，勤奋努力，学习更多的知识，增长本领，用自己的力量为国家做出贡献！此致敬礼崇敬您的小学生：王怡淋 2017年4月5日搜索关注 DuoDaaMath每获得更多数学趣文

拆解一个极限的前世今生作者：季真俊，就读于华东师范大学。搜索关注 DuoDaaMath每获得更多数学趣文在同学刚刚步入微积分时，相信有很多人都会在这一个极限上摸不着头脑：这是一个的“∞的0次方”形式的未定式，因此常规的四则运算都对其无济于事。在华东师范编写的第四版数学分析上，给出了两边夹的做法：可这个证明有些让人有点摸不着头脑，下面我们就来介绍这一个极限的由来：引理1：证：令，则可以得到以下结论：引理2：再令，则又可以得到以下结论：引理3：再来看我们一开始提出的那个问题：求，由引理3可直接得到而且还可以得到这个极限的加强形式：当然，有些了解stolz定理的同学也会说，这个极限完全不需要这么麻烦，取对数之后使用stolz定理，也可以直接得到答案。不错，但是如果我们认真研究一下引理1和stolz定理的关系，则不难发现引理1的逆命题便是stolz定理的一个特殊情况，而在与均存在的情况下，引理1及其逆命题是互相等价的。因此我们并不需要用上stolz这把“牛刀”去宰一只鸡，而仅仅使用其一个特殊情况就够了。除此以外，也可以先对其取对数后利用归结原则将数列极限转化为函数极限以后洛必达求解。下面我们考察这个极限的一个变型：例：求，其中，方法一：方法二：以上两种方法虽然本质相同，但由于处理原式的技巧不同，其繁简度亦有很大差异，因此我们在思考问题时同样要注意：是否有更快的捷径？搜索关注 DuoDaaMath每获得更多数学趣文

用数学技术修复艺术珍品原文作者：多贝茜，女，国际数学联盟前主席，被誉为小波分析奠基人之一。翻译作者：我是崔小白，哆嗒数学网翻译组成员，大学教师。校对：donkeycn 搜索关注 DuoDaaMath 每获得更多数学趣文近期在北卡罗来纳州艺术博物馆(NCMA)展出的圣约翰事迹祭坛画，是14世纪Francescuccio Ghissi的作品。它共有九个场景组成：8副小图描绘了圣约翰传教时的场景，而中间大图描绘了圣约翰肋部被钉死在十字架上的场景。19世纪末该祭坛画被锯开，九块中的八块被卖给了不同的收藏家。而描绘一个较小的场景的最后一块却丢失了。数学在该幅祭坛画近百年首次展出中功不可没。该项工作是我和我的几个同事参与的一个项目中的一部分。我们已经开发出新的数学技术, 不仅可以逆转老化的观察效果, 同时也可解决并消除善意但并不令人满意的保护工作的影响。这些技术也可以用于世界上其他艺术品的修复工作。（下面便是复原后的Francescuccio Ghissi圣约翰祭坛画）无独有偶，数学化图像分析多年来一直在使用,而且有形式多样。但另外一个关键事件是修复了另外一幅作品，解决了艺术史学家们几十年的争议。 15世纪休伯特•凡•艾克和扬•凡•艾克两兄弟共同创造了一件伟大的艺术巨作——根特祭坛画。该作品有12块木板组成，其中的八块由铰链链接。当画屏合上的时候，中间一层的最右边一块显示了圣母领报的场景；而在其背景中，放在支架上的是一本中世纪著作中翻开的一页。然而尚不清楚凡•艾克兄弟只是想画一本书还是想将书上的真实文本一起画上。如果是后者,那么艺术历史学家想辨识那些文本。该幅画的部分问题在于其表面上有深浅不一的棕色细裂缝，非常类似于画上的字母，许多裂缝倾斜方向类似字母的笔画。这些裂缝阻碍了潜在的文本的阅读,甚至连破译手稿的专家也难以理解。 2010年，艺术品保护工作者展开了根特祭坛画的恢复工作。该项目的部分工作，就是对该作品进行高精度的摄影。这是破译画板上潜在文本的机会。艺术史家马克米兰•马滕斯询问我和我的同事能否采用高分辨率扫描及数学方法解决问题。我们的工作有两个步骤：找到一种方法来自动检测众多的裂缝，然后再进行修补（或消除）。后者是采用他人开发的先进的处理方法。但裂缝检测变成了一个难题。最后,我们不得不依赖于画板的X射线成像,选出明显的裂缝, 结合几种滤波方法，测出合适的数据。裂缝修复后,尽管产生的潜在文本看起来和以前一样难辨认。但是不依赖古文书学家，他们辨认出了12组单词,明确表示凡艾克画了一个真实的文本。令艺术史学家欣喜的是,他们识别出这些是来自于托马斯•阿奎那在圣母领报节写的神学文本并在14世纪初在弗兰德斯由文士复抄下的。在这个项目中获得的经验对于修复Ghissi的祭坛画是至关重要的。在展览准备的过程中，荷兰艺术家和艺术品修复专家夏洛特•卡斯珀接受委托画一幅丢失的画板的替代品。他和北卡罗莱纳州艺术博物馆馆长大卫•斯蒂尔一起设计了Ghissi风格的构图；场景的构思来自于《金色传奇》（Golden Legend），一本记载中世纪圣徒生活的畅销书，以及前面的七块小画板。当更换面板准备好时，它生动地展示了崭新的祭坛画有多么明亮和闪闪发光。但人们还清楚地发现，卡斯珀的画板很难和其他相邻的八块画板在同一个画框中展示。原画板的年代比较老，色彩也不那么鲜艳，新画板的“光彩”会喧宾夺主。虽然原话板才是真正的祭坛画而在某种程度上讲新的画板并不是。于是，数学分析有了用武之地。在研究了老画板以及新的画板之后，我们做了一个高分辨率的数字版的新画板，模仿650年的老化色素使得金色看起来更加陈旧而色彩更加柔和。我们还增加了一个可信的裂缝模式。总之，我们在无形中老化画板。老化版本的印制使得我们完成了圣约翰祭坛画。同样的技术分析也可以应用在相反的方向：原来是将微调后的数字图像处理从新过渡到老，而现在我们也想把现有画板进行高分辨率成像并且将陈旧老化的颜色匹配成为“粉饰一新”的版本，由此复原14世纪的成果。为此我们仍然需要检测和修复裂缝，但重要的是我们已经学会了如何处理根特祭坛画。在根特祭坛画裂缝移除的过程中，X射线成像起到了至关重要的作用。所以我们要求NCMA的管理员提供圣约翰祭坛画的X射线照片。在这些X射线照片中最显著的特征是一个恼人的重叠网格结构。这个后来发现是由于在19世纪和20世纪初一个相当标准的保护措施。为了减少翘曲，管理员计划在修复老欧洲绘画时将木板厚度降至1厘米或更少。为了达到这个效果，他们随后在后面支撑了硬木网或硬木支架。这个硬木网包括沿着木纹方向的固定组件和穿过固定部分垂直于木纹的滑动组件构成。然而支架不能一直支撑。在极端的情况下，实木板所反应的应力约束会产生大的裂缝。专家被要求仔细清除原有的支架，取而代之的是一个具有较小刚性的支撑结构，这使得面板能够自然翘曲。然而这是一个非常棘手并且耗资巨大的过程。令修复人员烦恼的是，支架的网格结构会隐藏在绘画和试图从X射线成像收集到的保护修复细节中。我们想知道数学分析和图像处理能否有助于移除这些真实影像时,我们的初步方案受到了热情的帮助, 数个不同博物馆的工作人员尝试提供各种数据以实现我们的想法。特别有用的是同一幅画在有支架和没有支架的情况下的X射线成像，对我们验证计算结果是至关重要的。Rujie (Rachel) Yin，杜克大学数学系的研究生，负责了该项工作。这个项目是我们面临的最大挑战。其中一个复杂的问题是即使在一块木头里，木纹也会有很大的变化。这使得当其他细粒度和细长的纹理存在时，难以可靠地识别木纹纹理——很可能修复人员要在图画的X射线成像中更好地揭示笔触模式的不同。只消除支架木纹的目的使得任务变得更加具有挑战性，因为被观测到的木纹一般都不是孤立的。支撑区域包含画板和支架的纹理，而无支撑区域只包含画板的纹理。(不幸的是,辨别这个木纹图案没有太多用处,因为画板的纹理将是不同的,而且只有几厘米。) 我们求助于机器学习算法区分那些有可能属于画板和其他有可能来自于支架的特征。当支架和画板的纹理显著不同时，我们开发的算法取得了良好的效果。不幸的是对于根特祭坛画,相同的木材——佛兰德橡树——同时用于画板和支架,算法在解析纹理的时候遇到了一些麻烦。此外该算法速度非常缓慢。幸运的是,目标用户是地球上最有耐心的人: 艺术品修复人员在用棉签和蒸馏水清理绘画时通常连眼睛都不眨一下, 所以对他们来说,一个算法运行几个小时是完全可以接受的。Yin的概念验证代码已经被转变成一个更强大的版本，附带一个能够被艺术品修复人员使用的端口。该开源软件可以免费下载。新展览中，新老版本的祭坛画都在大屏幕上展示，除了短纪录片展示图像处理以外，还（非常印象派地）解释了数学进行“复原”和“老化”的过程。现在我们致力于其他问题。例如, 19世纪极少数情况下会遇到的一种画板,两面都有绘画,但没有分开，使两面可以同时展示，画板的x射线图像比可见光照片显示了所有的更为突出的典型细节——但缺点是该图像是两面画混合的结果。能否利用两个单面画的可见光照片的信息，将混合x射线图像分解为两个单面画的x射线图像吗?这也是一个具有挑战性的问题,我们已有了初步结果,但仍然希望做得更好。另外还有很多其他问题也亟待解决。到目前为止，我们的艺术史家和艺术文物修复工作提供了有趣的数学问题，已经让我们远远地超出了现成工具的简单应用。尽管我们还没有建立新的数学理论，但我认为这只是一个时间问题，我愿意打赌它会发生在未来10年之内。而且我敢打赌，10年前我们的艺术界的合作者都不会预测数学会在他们自己的工作中如此有价值。他们发现了我们一直都知道的事情——数学无处不在。

原文作者：德夫林，斯坦福大学数学教授，英国数学科普作家。翻译作者：Y.W.，哆嗒数学网翻译组成员，就读于北京四中。校对：donkeycn 搜索关注 DuoDaaMath 每获得更多数学趣文格雷•安东尼克在纽约时报上好玩的专栏“数趣”刊登了伯克利数学家艾迪•弗兰克关于人类大脑在理解无穷上的难题的贡献。如果你还没有读这期报道，你应该去看看（http://tieba.baidu.com/mo/q/checkurl?url=http%3A%2F%2Fwordplay.blogs.nytimes.com%2F2016%2F05%2F30%2Ffrenkel-cantor%2F%3F_r%3D0&urlrefer=bc65f2223098dc70d6fe48b31cf0ae86）。无穷带来了不少反直觉的结果。举个经典的例子：希尔伯特的旅店。这里有无穷多个房间，每个房间都印上各自的自然数编号：房间1，房间2，房间3等等，直到所有自然数都被用到，有一个晚上，一位旅客来到宾馆前台，前台告诉他说宾馆的房间已经满了。“但是不要担心，先生，”前台服务生说，“我刚刚在大学上了一门数学课，所以我知道怎么帮你找个房间。给我一分钟，让我打几个电话。”过了一会儿，这位旅客得到了一个房间。服务生让每位客人搬到房间号为下一个整数的房间。所以房间1的客人搬到了房间2，房间2的客人搬到了房间3，以此类推。每个人都换了房间，谁也没有离开旅店，但是房间1为这位新客人腾空了。我认为所有MAA Online（MAA为美国数学协会的缩写）的普通读者都熟悉这个著名的例子。但是我觉得大多数人都不能把这个例子上升到无穷的层面来理解。一会儿看到可数无穷（基数为א_0）和第一个不可数无穷（基数为א_1，小于等于实数的基数c）的时候，你们就会发现这比想象的还奇妙。无穷带来的另一个让我目瞪口呆的结果和树有关。不是在森林里长的树，是在数学家使用的术语中提到的树。一棵树就是一个偏序集 (T,<)。树中所有小于x的元素构成的集合{y∈T: y < x} 是良序的。也就是说这棵树有特定的生长方向（通常是图中的竖直向上方向），分支也都向上生长。通常来说，一棵树有一个独特的最小元素，这个元素被称为根。如果遇到了一棵没有根的树，你可以在不改变树的其他部分的结构的情况下手动加一个根。由于每个树上的元素都位于它的前继构成的唯一良序集的顶端，因此每个树上的元素在树中都有良好定义的高度：即前继构成的集合的序数。对于每一个序数k，我们可以用T_k来表示树中所有高度为k的元素的集合。 T_k被称为T的第k层。T_0包含树的根，T_1是根的所有直接后继的集合，以此类推。综上所述，树靠下的部分如图所示，（树中每一个“小黑点”就是一个节点）：（其实可以有所不同，每一层的元素数量没有限制，或者说每一个元素的后继元素的数量没有限制） König引理是集合理论的经典例子。König引理指出，若T是一棵有着无穷个节点的树，且对每个自然数n，T_n是有限的，则T有一个无穷的分支，即有一个无穷的线性序子集。这很好容易证明。你可以用递归来定义一个分支{x_n: n为自然数}。令x_0为树的根。尽管树是无穷的，但T_1是有限的。 T_1中至少有一个节点元素的上面有无穷个元素比这个节点大。令x_1为T_1中这样的一个元素。由于x_1 的上面也有无穷个元素大于x_1，而在T_2中只有有限个后继元素，所以T_2中至少有一个x_1的后继元素的上面有无穷个元素比x_1大。令x_2为T_2中一个这样的元素。同理，可定义T_3中的x_3，使其上面有无穷个元素，以此类推。这个简单的过程可以清楚地定义一个无穷分支{x_n: n为自然数}。以上是König引理成立的理由。然后人们试图通过类比来证明如下命题：若你有一颗不可数的树（即基数至少是א_1的树）T，且对于每一个可数序数k，T_k是可数的，则T有一个不可数的分支，即满足如下条件的一个线性序子集：对于每一个可数序数k，该线性序子集与T_k的交不空。但就这样下来，然而事实显示上述命题不成立。我们可以构造这样一棵不可数的树：对于每一个可数序数k，T_k都是可数的，然而这棵树却没有不可数的分支。这样的树被称为Aronszajn树。这样的树最初被一个俄罗斯数学家构造出来。下面是构造Aronszajn树的具体方法。树的元素是严格递增的（有限或可数超限）有界有理数序列。树中的序为序列的扩展（比如序列(1,2,3,5)是序列(1,2,3)的扩展）。显然，这样的树不会有不可数的分支。因为否则它的极限（更确切地说：集合论意义下的并集）将是一个不可数的严格递增的有理数序列，这与有理数构成可数集合的事实矛盾。你可以通过对树的层来递归构造这样的树。 T_0由空节点构成。构造完T_k后，你可以通过给T_k中的每个序列s加上任意一个可能的递增值来得到具有（k+1）的项严格递增的有理数序列，从而得到T_(k+1) 。也就是对于每一个T_k中的s和任一大于或等于s的上确界的有理数q附加到s，并将结果放入T_(k+1)。T_(k+1)就是可数个可数集合的并集，因此它自己也可数。当范围仅限于自然数时，这样的常规递归就满足定义了，但当递归覆盖到可数序数时，你需要处理极限序数，即那些不是任何更小序数的后继序数的序数。为了实现这棵树关于极限层的定义，你需要构造一棵符合以下被称为Aronszajn性质的树：对每一对层T_k和T_m，其中k<m，对T_k中的每个序列s及大于s的上确界的有理数q，存在T_m中的序列t，序列t扩展了s且序列t的上确界比q小。由于我们把T_k中的每一个序列都扩展到所有可能扩展到的序列，所以刚才给出的从T_k出发得到T_(k+1)的定义满足上述特性。现在假设m是一个极限序数，且我们已经对每一个k<m定义了T_k。对于满足k<m的T_k中的每个任意给定的元素s及每个大于s上确界的有理数q，根据整数的递归来定义一条通过树已构造部分的路(s_i : i为自然数)，且使它的极限（作为有理数序列）的上确界为q。首先，你要选择严格递增的有理数序列(q_i : i为自然数)，且使q_0超过s的上确界，且极限为q。你还要选择严格递增的比m小的序数序列(m_i : i为自然数)，且极限为m，且使s在树中位于m_0层的下面。现在你可以用Aronszajn性质来构造序列(s_i : i为自然数)使s_i位于m_i层，且s_i的上确界比q_i小。为每一组s和q 构造这样的一条路(s_i : i为自然数)，并令T_m（编者注：原文写的是T_k，应该是作者笔误）包含所有如此构造出来的有理数序列的极限。值得注意的是这样定义的T_m是可数的。显然这样定义的构造满足Aronszajn性质，因此可以继续这样构造下去。于是，我们完成了我们想要的构造。搜索关注 DuoDaaMath 每获得更多数学趣文

跑不完的龟兔赛跑作者：进仰，网络工作者。搜索关注 DuoDaaMath每获得更多数学趣文兔子：如果比赛可以再来，我能在你的龟壳上打瞌睡吗？乌龟：如果可以的话，我能定义起点就是终点吗？这是一个古老而又经典的故事，我们知道，兔子在速度上有绝对的优势，因为大意轻敌，才输掉了这场赛跑。换句话说，如果兔子认真与乌龟比赛，乌龟必输无疑，可伶的乌龟难道就只能把胜利的希望寄托于兔子的粗心大意上吗？在既定的赛道下，兔子凭借速度上的优势，率先跑完整个赛道，根据比赛规则，谁先跑完这段赛道所对应的有限路程谁就取胜，结合现实中的田径比赛，这一点很容易理解。可要是我们把比赛环境从有终点扩展到没有终点，那还会是兔子赢吗？换句话说，我们可以定义这样一种形式的龟兔赛跑：兔子和乌龟同在一个没有终点的无限空间里面比赛跑步。要分出胜负的前提是要制定一个比赛规则，在有限空间里面，谁先到达给定终点谁就是胜利者，兔子比乌龟先到终点等价于在既定的路程下（直线赛跑），当兔子到达终点的时候，乌龟总在兔子已跑完的路程中，所对应的一段路程里，全程来看，乌龟经过的路程包含于兔子经过的路程（如下图所示）。在有限的空间里面比赛，既定的赛道下，兔子和乌龟都会产生一个有限长度的路程集合 S，根据兔子和乌龟所产生路程集合之间的包含关系，来定输赢。同样，依据路程集合之间的包含关系，我们可以把比赛的胜负判定从有限空间推广到在无限空间，假设兔子的速度大于乌龟且都保持匀速，比赛一开始，兔子就会和乌龟拉开差距，可是在这个没有尽头的比赛里面，兔子漫无目标地奔跑着，全然不顾乌龟的情况，对于乌龟来说，也很迷惘，于是它顺着兔子的脚印走，兔子跑过的路程，他也走过，兔子走出个 A 形，乌龟也会走出个 A 形，兔子走出个 B 形，乌龟也会走出个 B 形。我们每隔相同的一段时间 t 记录一次乌龟的轨迹 s，那么比赛一开始，经过时间 t 后我们记录为 s1 ，那么在下一段时间中所产生的路程我们记录为 s2 ，这样我们会得到序列： s1 , s2 , s3 ,... ，对于超于乌龟的兔子来说，兔子也具有这样一段序列，时间的无限性决定了存在无限个 t 时间段，也就会产生无数个si ，这样下来，我们得出一个结果：在无限空间里面，如果兔子漫无目的的跑，乌龟紧跟其后，这样一来，乌龟就会根据兔子所留下的脚印建立与兔子路程元素一一对应的映射关系，兔子和乌龟就会产生同一个由无数个路程元素所构成的无穷路程集合 S，从这个角度来说，乌龟和兔子打平了（如下图所示）。第一回合下来，得知与乌龟平起平坐的兔子心中很不服气，他发誓要在下一回合中以更快的速度来超越乌龟，不明真相的兔子依然漫无目的、四处寻找胜利的目标，聪明的乌龟，终于想出了战胜兔子的方法。比赛一开始，乌龟并没有紧跟兔子其后，而是另辟蹊径的乱走一通，经过 t 时间段后再重新回到了兔子的轨迹上来，沿着兔子的轨迹行走下去，这样一来，乌龟除了产生与兔子一样的路程集合 S，还多出了他自己走出的路程，而就因为这段路程，不管兔子再怎么使蛮劲也无法弥补，从这个角度来讲，乌龟取得了第二回合的胜利（如下图所示）。兔子思来想去之后，终于知道了自己失败的原因，归根结底，智慧才是决定成败的关键，和前两个回合一样，兔子一马当先，乌龟心中暗自高兴，依然沿袭第二回合的战术，可没过多久乌龟就发现兔子正在一棵树下睡大觉，乌龟以为兔子又开始犯同样的错误了，索性撇下兔子不管，自己再次另辟蹊径，当乌龟从兔子留下的最后一个脚印出发，以一条直线往点 A 走去时，兔子突然从侧面杀过来，在 A 点兔子和乌龟相遇，乌龟懵了，他往兔子来的方向一看，再看了看自己走过的路径，和兔子所构成的路径正好围成一个三角形，由于两边之和大于第三边，这样看来，从兔子脚印消失的那段算起，兔子经过了比乌龟多的路程，况且还比最开始自己另辟蹊径所产生的路程加起来还多，这就意味着：从比赛开始到 A点龟兔相遇，兔子走过了比乌龟多的路程。这时乌龟才意识到自己上了兔子的当，那乌龟还能反败为胜吗？是依旧自己走还是回到兔子的轨迹上，此时的乌龟必须为自己做出个选择，如果都不选，那么乌龟就只能和兔子在 A 点处站着直到天长地久，这样下去，兔子赢，可是不管乌龟怎么选择，其结果都一样，只要乌龟稍作移动，哪怕是很小的一段（不妨将一小段近似的看作为一条直线），那么兔子凭借速度上的优势，始终能走出与乌龟围成三角形的途径，这样一来我们把每一次的相遇做一次记录，就构成了两个不同的无限路程集合，兔子所产生的无限路径集合中的每一个路程元素都大于乌龟所产生的。从这个角度上来讲，兔子取得了胜利（如下图所示）。在这个三局两胜制的比赛中，照目前形势来看，第三局的比赛显得尤为重要，经过前两局比赛的洗礼，兔子和乌龟心中都以明了，乌龟：我不能打第一枪，如果我一跑，那么兔子必然会凭借速度优势把我各个击破。兔子：我不能松懈，我要时刻盯着这个老奸巨猾的乌龟，一有机会我就要超越他。乌龟和兔子：我不能一直和他僵持下去，要赢得比赛我一定要放手一搏！比赛开始后，兔子还是采取对乌龟各个击破的战术，乌龟无可奈何，不这道该怎么办才好。乌龟再次陷入迷惘之中，可是希望往往出现在绝望的时候，乌龟发现前方出现了一个很窄的通道，在这个通道里面行走，兔子只能勉强的挤进去，然而乌龟却能行走自如，兔子在整段狭窄的路径里，并没有超越乌龟，只是和乌龟走了一模一样的路程，这让乌龟心中重新燃起了希望，聪明的乌龟终于又一次找到了战胜兔子的方法：如果我总能在这个无限空间里面找到一段路径：只能容我这个狭小的身躯进去，兔子挤不进去。那么我一旦进去，兔子就不能对我实现超越了，当然兔子不会坐以待毙，因为我会一直在这个通道里面不停地走动产生路程，当我在狭窄的通道里够弥补之前兔子超越我的那段路程的同时，沉不住气的兔子必定也会不停的跑动，在地上产生脚印，有了他的脚印，出来后，我就一定能产生和他一样多的路程，然而兔子也会争分队秒的对乌龟实施超越。（如下图所示）变是永恒的，不变是暂时的，在这个无限的空间里比赛，不存在绝对的胜利者，有的只是自身优劣的转换。 QQ搜索关注 DuoDaaMath每获得更多数学趣文

我的折纸，我的数学，我的世界作者：悠然，香港折友会成员。搜索关注 DuoDaaMath 每获得更多数学趣文看过《最强大脑》吗？有一期节目中鲍霣代表中国队与国际战队的PK项目就是折纸。说到折纸，您一定不陌生，小时候都玩过，小纸船、小青蛙、小衣服……可是，但可是，现在的折纸真的不一样了！一纸成型的各种高难作品呈出不穷，在日本、俄罗斯等国家都有大型比赛、专业杂志、年会等，折纸已经进入如麻省等高级学府作为一门学科进行教学，还被广泛应用到如纺织、建筑、医疗、航空、警务防弹等方方面面。本人是在一个偶然的机会接触到现代纸艺，被老外的作品震惊到，原来纸还可以折得这么美，而且还是一张纸，大大超出我的想象！因为得不到资料，又很想拥有那样的作品，于是便利用自己已有的一些数学知识进行破解，终于自己折成了，非常有成就感！发现自己也能玩现代折纸后，首先就是折些自己喜欢的东东，如魔方、数独、九宫图、俄罗斯方块、国际象棋、迷宫等。折纸过程中，想到了能不能把数学中用到的一些递归、衍生、自相似的规律应用到折纸中呢？于是，就有了下面的这些作品：数学解题讲究“举一反三”，不仅为了加深理解、扩展思路，也为了寻求最优算法。折纸也可以作到“举一反三”，你信吗？举几个例子：杨辉三角、谢尔宾斯三角形、二叉树。圆、弧、曲线、点、直线等都是数学研究的对象。那么，基于此观点，有两个符号便忍不住要用折纸折出来，一个是“一生二、二生三、三生万物”的太极符号，一个是左旋和右旋有不同意义的“卍”。数学上，立体几何是三维欧氏空间的几何的传统名称—- 因为实际上这大致上就是我们生活的空间。它是平面几何的补充。但当实际需要三维图形时，我们常常是用二维图形来表现的。折纸也能作到！数学博大精深、学无止境，本人只涉猎了一小部分，将一些数学概念用折纸作品表现出来，以普及和扩展数学的相关知识：下面的作品有勾股定理、莫比乌斯带、不可能三角形、二次曲面、斐波那契曲线及矩形、彭罗斯楼梯及“π”符号。最后，给大家奉献两个有意思的视觉作品。The world is magic, if you don't think so, then find it or make it so. So does math and origami. Bless you, my friends! 【注：文中所用插图皆为作者本人亲手折制拍摄，部分为原创作品。】

别想多了，数学就是无处不在的！原文作者：Anna Haensch，任教于杜肯大学数学与计算机科学系。翻译作者：飞狂腾达，哆嗒数学网翻译组成员，就读于华东师范大学。搜索关注 DuoDaaMath 每获得更多数学趣文上周，数学史学家Michael J. Barany 在《科学美国人》网站上发表博客题为“数学家在过渡吹捧‘数学是无处不在的’”（哆嗒数学网的翻译版见这里）。一上来我们可以讨论这篇文章的主要观点是否有价值，但首先我们可以忽略这一观点就像看待一个笔误一样。看上去Barany打算论证数学并不是无处不在，即使所有的媒体都怀着极大的热情在宣称和试图让你相信：“看看你的周围，数学隐藏在我们生活的方方面面”。但这并不完全是Barany的主要观点，事实上它提到了超出标题的内容，并且步步递进才提到了Jordan Ellenberg，与此相反，似乎Barany正在努力塑造的是数学家并不是到处都有这一观点。他说在制定有关高等数学公众支持的政策决策时，应该考虑这一点。 Barany讨论了从巴比伦时代一直到二战后社会文化中数学的作用。他说，古人把数学当作“做生意的诀窍，而不是一个公众的课程”，并补充说：“几千年来，先进的数学仍然是优越阶层所关注的，无论是一个哲学的消遣还是用来维护特权的手段。” Barany解释说，从历史上看，数学是精英的领域，这是一个力量的源泉，是只适用于最高的阶层的。数学家们栖息于上层领域，他们作为国家元首的顾问，营造出一种神秘感和不可触及的高度。 Barany认为，这种“他者性”和精英地位意味着数学不是提供给所有人，今天的数学仍旧如此。笔者我相当同意。这是一件有意思的事情——即便我还找不到准确的人口统计调查来支持这一点——先进的数学主要被有经济优势的人占据。但是，这里Barany的论证就失去了力量：这不是对任何课程的高级研究都是同样情形吗？能从继续读研究生已经是一件非常奢侈的事情，无论是研究数学，科学，语言，艺术，想无所事事地花4-6年领着微薄的薪水来思考这些东西，那是怎么样的“厚脸皮”才能做到。一些历史学家，尤其是博主Thony Christie，对Barany构建的数学和社会的关系图提出质疑。Christie认为Barany夸大精英主义和数学家的“他者性”，指出数学在十七世纪科学革命发挥了巨大作用。这证实了笔者的猜想，那就是在过去的几个世纪里，数学与其他科学的成长和发展并没有什么不同。在推特上的对话，Barany捍卫了自己的观点来应对数学传奇学者Steven Strogatz 给人们提的两个核心问题，（1）为什么公众支持先进的数学，和（2）为什么公众学习基本层面的数学？人们试图用“数学无处不在”来回答，Barney认为，“数学无处不在”并不是一个合适的答案。但笔者我反对Barney。我认为数学无处不在，正是对回答陈词滥调的问题“我什么时候会用到这个？”的一剂良药。数学无处不在，正如任何事物无处不在。科学无处不在，艺术无处不在，语言无处不在，在某些情况下，无处不在就使足以让人们相信他们会用到这些学科。它无处不在，因此知道它将帮助你理解一切。所以我认为“数学无处不在”是激发公众学习基础层面数学的好方法。我想我们都能认同，学习基础层面的数学是一件很好很重要的事情。因为帮助孩子养成良好习惯的最好方法就是树立一个积极的榜样，我认为政策制定者应该选择支持高等数学，就像他们支持任何先进的科学研究一样。因为尽管它有时候看起来似乎没什么用，但伟大的发现都是从基础研究中迸发出来的。关注 DuoDaaMath 每获得更多数学趣文

数学家们正过度吹捧“数学无处不在”这一观点翻译作者：飞狂腾达，哆嗒数学网翻译组成员，就读于华东师范大学。投稿可发至邮箱[email protected]，详情参见征稿说明（截止日期延期至4月28日）搜索关注 DuoDaaMath 每获得更多数学趣文数学对于社会来说是至关重要的，也是少数人的职责——并且无论在什么历史时期，都一直是这样。有人表示反对本文观点，敬请关注下一篇驳斥这篇文章观点的博文《别想多了，数学就是无处不在的》。大多数人永远不会成为数学家，但是每一个人都和数学有着瓜葛。几乎从人类文明的开端，社会就赋予了数学家们既定的特殊权利。大众如何支持精英数学和为什么要支持精英数学的问题一直然存在，在过去的五个世纪（尤其是最近的两个世纪），什么样的数学应该让普通大众去了解是一个讨论较多的相关问题。为什么数学对社会很重要？听数学家，政策制定者和教育家，答案似乎一致：因为数学无处不在，所以每个人都应该关注它。各种书籍和文章有很多的数学的例子，作者们列举数学的各种例子，声称数学隐藏在日常生活的方方面面，它解锁强大的真理和技术，也强烈联关联着个人和国家的前途命运。数学教授Jordan Ellenberg，畅销书《数学教你不犯错》的作者，他说：“放眼望去，数学就在你的身边，无处不在。” 的确，数字和测算在大部分人的日常生活中出现的最多，但这也极容易让我们产生误解，把数字和测算估计混为一谈，从而影响你生活的方式。当我们谈论公共政策的数学，尤其是公众对数学培训和研究进行投资时，我们不是在谈论简单的加减乘除和测量。在数学的历史长河中，利用它为社会作出巨大贡献已经成为少部分人的责任。社会重视和培养数学不是因为它无处不在，而是因为对于每个人来说数学都很难。我们要认识到数学在历史价值中的重要性，而不是煞有介事认为它隐藏在我们周围。这提供了一个让我们对数学如何融入社会的真实情况的了解，并且可以满足公众一个更负责、更包容的学科的需求。在前农耕时代，数学是传达神谕的工具。祭司们用天文的计算来记录季节和解释神明意志，他们对数学的特殊需求给了他们在社会中的权力和地位。早期的经济体变得越来越大，越来越复杂，商人和工匠把越来越多的把基础数学融入到他们的工作中，但对他们来说，数学是做生意的诀窍，而不是一个公众的课程。几千年来，先进的数学仍然是优越阶层所关注的，无论是一个哲学的消遣还是用来维护特权的手段。第一个比较普遍的想法是，任何超越简单实用数学的东西都应该有一个更广泛的历史，历史学家称之为早期现代时期，大约在五世纪以前，那时我们许多现代社会结构和制度开始形成。正如马丁•路德和其他早期的新教徒开始坚持圣经应该用他们自己的语言提供给大众，像威尔士的博学家罗伯特•雷科德一样的科学作家用印刷机这样相对较新的技术来为人类促进数学。雷科德在1543年的英语算术教科书一上来就有这样的一段言论：“没有人能独自做任何事，更不要说与另一个人讨论或者交易，但他仍然要和数字打交道”，当一些东西“数不清”的情况下我们会用数字（笑）。这个时期更具影响力和代表性的却是与雷科德同时代的约翰•迪伊，他利用自己在数学界的声誉获得了一个权力很大的位置，他还建议伊丽莎白一世女王紧紧的把数学上的想法作为秘密，并且对于一部分数学知识进行保密。这使得他的反对者控告他有研究巫术和其他的一些秘密实验的行为。在第十七世纪的科学革命中，实验科学（至少在原则上）对任何观察者开放，一些新发起人怀疑数学参数是无法接近的，倾向于用错误的确定感来消灭不同的观点。相比之下，在十八世纪的启蒙运动中，法国科学院的学者，这些以往的特权人士，将他们掌握的难学的数学融入了公共生活中，并权衡了哲学辩论和公民事务，同时照顾了女性，少数民族和下层社会阶层。全世界的社会模式都在十九世纪被政治和经济革命的浪潮所改变，但是法国的特权数学模式却在为国家服务这一宗旨上没有变化，不同之处在于谁成为数学精英的一部分。出生在上层家庭的孩子仍然得到政府的帮助，但在法国大革命后历届政府也采取了更多的措施来注重中小学教育，而考试的优异表现可以帮助一些学生提升社会地位，即使他们出身低微。政治和军事领导人在一些著名的学院接受统一的高等数学教育，准备应对现代国家的专门问题，并且融合法国的模式，包括大众化教育与特殊的数学训练结合的方法被欧洲，甚至大西洋彼岸的人效仿。尽管基础数学通过大众教育使越来越多的人了解，但数学仍然是一些特殊的东西，使精英能够被区分出来。尽管更多的人可能成为精英，但数学绝对不是每个人的。进入二十世纪，通过精英训练来引导学生的系统在西方世界中越来越受到重视，但数学本身却不再是训练的中心了。这在一定程度上反映了政府考虑事项的优先级的变化，但部分原因是高等数学的麻烦给政府留下的问题。一旦启蒙数学家从哲学的角度讨论计算实用技术问题，后现代数学家便有借口开始转向研究可怕的抽象理论而不用它们直接解决世俗事务。下一个转折点，它在今天许多方面继续定义数学和社会之间的关系，是第二次世界大战。在这种规模的战争中，主要的参战国遇到了在后勤，武器设计和使用，以及其他领域的新问题，而数学家被证明是有能力解决这些问题。这并不是说最先进的数学突然变得更实用，而是说各国政府发现这些高等数学培训会有新用途，数学家们也找到新的理由说服国家政府重新支持他们。战后，数学家们得到了美国政府为首的大量政府的大力支持，前提是无论他们平时的研究是否有用，他们现在都证明了在下一场战争中需要受过高度训练的数学家。一些战时的活动仍然占据着数学工作者的时间，无论是国内还是国外的，从安全科学家，到代码断路器的技术公司和美国国家安全局的运筹学研究人员都在寻找最优化的生产方法和供应链来影响全球经济。战后的电子计算为数学家们提供了另一个必要的领域。在所有这些领域中，精英们的显著数学进步促使数学家们继续接受今天的公共投资。如果每个人都对数字有信心，可以编写计算机程序，并评估统计证据，这是非常好的，并且这些都是中小学教育的重要目标。但我们不应成为混淆这些主要目标和公共支持数学理论的理由，数学一直都是在顶尖人才掌握的学科而不是每一个人的。想象数学无处不在，这使得它太容易忽略了真正的政治，谁成为数学精英的一部分，谁就可以真正指望拥有先进的技术，过硬的安全和良好的经济，以及打赢最近的战争和下一场战争。相反，如果我们看到这种数学在历史上是由少数人建立的，我们被要求去问谁能成为少数人的一部分，他们用生俱来的专长来守护什么样的责任？我们必须认识到，今天的精英数学虽然比过去的一个、五个或是五十个世纪以前更为包容，但仍然是一个在那些具有性别、种族和阶级的人身上享有特殊权力的学科。如果数学真的无处不在，那么它就已经属于每个人了。但说到学习和支持数学，还有很多工作要做。数学并非是无处不在的。搜索关注 DuoDaaMath 每获得更多数学趣文

如果你不跟你的学生讨论数学，谁来讨论呢？搜索关注 DuoDaaMath 每获得更多数学趣文在我读高中的第一年时，教我几何的老师有一天走进教室向我们发出挑战：用直尺和圆规把一个角三等分。谁成功了谁就可以在这门课上得A。我们将不需要做任何的家庭作业，或者参加任何的测试。什么都不用做了。当然，似乎想解决这个问题的想法太美好以至于不可能是真的。但当时在读9年级的我并不知道这是一个不可能解决的问题。于是我开始着手解决这个看起来简单的问题。我想到了大约十几个错误的证明，这些证明中包括像这样的推理：好了，当你适当移动圆规一点点你就可以画这条线，于是就解决了！当然，这个推理是错误的，这是一种没有经过证明的方法。这是一个刚了解什么的证明的新手最容易犯的错误。但是我的老师没有只告诉我我错了，或是坚定地认为我是注定要失败的；相反，他让我分享了每一个失败的证明背后的想法，让我发现了在我论据中的不严谨之处。他坐在我旁边时，我们广泛地谈论了什么能构成一个证明以及什么不能。他知道我会犯错。他知道这是一个不可能的任务。但是他依然认真地听我讲述。我的老师在倾听我的想法时的开放态度，鼓舞着我继续努力，并不断尝试新的方法。随着我学的数学知识越来越多，我重新回到了这个问题上面。我尝试过三角学，尝试过微积分，尝试过作一条我称作“1”的单位长度的距离。看完电影《心灵捕手》后，我认为如果我做出所有图解的镜像，可能会对解决问题有帮助。我的每一种想法都是错的。但是沿着这条路，我学会了逻辑量词，我学会了证明，我学会了鉴别我证明中的错误。最后，当我在研究生代数课上看见这个证明是不可能被实现时，泪水缓缓流过的脸盘，却浇灌出了我心中快乐之花。这个故事可以引发很多不同的讨论。Ben Braun为这篇博客写了一篇很漂亮的文章（http://tieba.baidu.com/mo/q/checkurl?url=http%3A%2F%2Fblogs.ams.org%2Fmatheducation%2F2015%2F05%2F01%2Ffamous-unsolved-math-problems-as-homework%2F&urlrefer=c11379151cf61095ca6e39f153c1305d），讨论了关于学生致力于困难且不可能解决的问题的价值所在。我很看好这篇文章。我想去探究非正式数学讨论的价值，特别是当这些数学思想是不成熟甚至可能是错误的时候；这些价值在于激励我们的学生和别人分享他们的思想；这些价值在于参与到和我们学生的讨论当中。我们为什么需要花时间讨论数学? . 正因为认识到对学生讲授数学并不是最有效的教育方式，主动学习、探究学习、项目为导向的小组学习以及其他学习方法变得流行起来。在学习数学中鼓励交流是所有这些方法中产生的额外结果；而首先我想说，我十分赞成谈论数学，因为这样做对鼓励课堂内和课堂外开放的数学交流有着额外的教育上和文化上的益处。 1，通过在一起讨论数学，我们的学生提升了他们的表达能力以及对数学思想的直觉。在一次授课中，我绕着教室走了一圈，倾听学生们的想法，我有时会听到学生们的对话可以最好的描述为“电话”游戏（传话游戏）的对立面。一个学生试着对我描述一个问题，尽管语无伦次，但他的队友们了解到他的想法，有时会插嘴，给出一个条理较清楚的表达。由于其他的人给出的更清晰的表达，最后他们给出了一个相当不错的问题陈述。在这个陈述基础上，我们可以引入更多正式的数学语言和定义。如果在第一次语无伦次的表述后，我直接把标准的枯燥冗长的陈述告诉他们了，我可能就剥夺了学生学习发展他们自己的思想的机会。同样，如果我假装我在自己做研究时，或与合作者会面时没有遵循类似的“逆向电话游戏”现象, 那一定是欺骗我自己。 . 2，数学交流可以激发出多元的想法，多元的视角以及多元的解答。恰当地来讲，大多数的我们，或者教育者们，都希望我们的学生能欣赏用不同解法解同一问题的过程。传统的教育可能让我们仅仅能展示一种解法，没法让学生尝试用不同的方式去思考，更糟糕的是，即使他们的解法是正确的他们也可能会认为他们不同的解法是错误的。通过给我们学生一些时间让他们团队学习，团队交流，我们也就给了他们时间让他们从队友之间的交流中学习解决同一问题的不同途径。相比于在全班同学面前，学生也许更愿意在小组讨论或私人聊天中问这样的问题“我们解决这个问题用了这样或那样的方法，这些方法都是正确的吗？” 3，通过与学生讨论他们的想法，在他们的学习过程中，我们可以提供针对性的关注。当我们在与学生交流时，我们可以快速评估出不同学生之间的差异，比如有的学生除了最难的问题几乎可以完成所有的家庭作业，而有的学生依然在努力奋斗第一个问题，与前者谈论第一个问题以及和后者讨论最难的问题都属于浪费时间。因材施教，从学生们已经理解到了什么，我们可以决定他们最需要学什么。最重要的是，我们帮助学生们学习知识的方式是赞赏他们当场提出来的问题和展现出的数学思想；而不是在讲解问题中穿插一些所谓的知识点，并希望学生们多多少少能从其中受益。数学交流是数学课堂的延伸 William Thurston为美国数学会公告写了一篇名为《论数学中的证明和改进》的文章（Thurston 1994)，其中写道：数学家们养成了一个无效的交流习惯......我们按照自已对学生“应当”知道什么的理解，用机械的语言讲述着数学；而学生却在挣扎着实现更简单的目标：理解我们的语言，揣测我们的思维模式。在一个例子中他进一步解释了这个想法。如果Alice和Bob是给定领域的研究人员。Alice有可能可以用一杯咖啡的时间大致给Bob讲述一项最近研究发展中背后的思想。但是相比之下，Bob可能需要从一小时长的学术报告会中势力搜寻相似的见解，或者中花几个小时阅读Alice的论文。Thurston继续说道：为什么非正式的交谈相比与听报告和读论文更加高效？在一对一的交谈中，在正式的数学语言之外有更多的交流途径。他们运用手势，画图表，通过语音语调或者肢体语言，让交流变得更像一个双向式的交流。这样人们才能重点关注他们最需要注意的地方。对比起来，学术报告和写论文有赖于更深入的数学形式描述，它们阻止听众以主观和直觉和方式与其中的数学进行互动。作为专业的数学家，我们都有这方面的经历。我们坐着听完整个学术报告，除了前五分钟外我们并没有听懂任何东西。我们已经读过论文中的一个句子20遍了，但仍不能理解其中的含义。但我们也在喝咖啡时中我们求教同事、合作者或朋友，并从他们的回答中找到灵感。所以，如果这就是当作为专家的我们试图学习新的东西时的情形，这和我们的学生试图学习数学有什么区别？我们怎样才能促进数学上的交流在理论上，这个讨论可能会引起很多人的共鸣，但是因为许多理由，贯彻这些思想或许比较困难。这儿有一些可以在任何地方落实的具体的建议: 1, 让我们在每节课用5分钟让你的学生解决一道例题，这道例题可以简单到“(3x+1)²的导数是什么？”然后让学生与他们的同桌对比答案，如果正确，相互鼓励对方。如果你有更多的时间，用更多的时间给学生更多的问题。一个由学生完成的例子比一个写在黑板上的例子更有价值。 2, 鼓励学生参加你的答疑，你助教的答疑以及校园数学帮助中心。提醒他们每天利用好这些资源。做一个能接受新思想的可亲近的教授。你的学生也是人，他们大多数都对“耍酷”感兴趣。如果你从个人的角度去接近他们，他们更愿意问你数学问题。 3, 和你的学生分享你数学奋斗史。其中一个原因是我们大多数能当上数学家是因为我们乐意去解决那些一眼看上去不可能解决的问题。但是在我们学生的眼里，我们似乎是无所不知的解题指南，可以解决所有数学问题。我们需要努力消除这个界限。 4, 号召学生投入到你解决问题的过程中去。要求他们明确有力地表达，为什么他们要这么做，以及提升他们的灵活变通应对错误思想的能力。Rachel Levy关于此提出了一些有意义的建议（http://tieba.baidu.com/mo/q/checkurl?url=http%3A%2F%2Fmaateachingtidbits.blogspot.com%2F2016%2F09%2F5-ways-to-respond-when-students-offer.html&urlrefer=9d087b2c98036126e6d44ad78f4875da）。 Pelzer老师，希望你能看到这篇文章，感谢你与我分享思想。我三等分角失败了，但这个过程却点亮了我生命中对数学的求知欲。搜索关注 DuoDaaMath 每获得更多数学趣文

五句话证明马费大定理！没错就五句话！五句话证明马费大定理。没错就5句话。 http://tieba.baidu.com/mo/q/checkurl?url=http%3A%2F%2Fmp.weixin.qq.com%2Fs%2FIbql_cEMLuKre5L02IUDSA&urlrefer=98fad8b61ff496cd4e573601c2cca9bb

小波理论创始人获得2017年阿贝尔奖关注 DuoDaaMath 每获得更多数学趣文根据2017年3月21日，挪威阿贝尔数学奖官网消息。77岁的法国数学家伊夫·梅尔（Yves Meyer）因为其在小波数理理论发展的关键贡献，被授予2017年阿贝尔数学奖。奖金为600万挪威克朗，约合75万欧元，485万人民币。颁奖仪式将在2017年5月23日，在挪威奥斯陆举行。伊夫·梅尔被认为是小波理论的创始人之一。现在，小波理论的应用非常广泛，只有设计到“信号”或者“编码”概念的领域中大概都能有小波理论的用武之地，比如信号处理、图像处理、量子物理、生命科学、医学、地球物理、语言识别、语音识别、气象科学、金融工程等等领域都或多或少的能见到小波理论的“身影”。梅尔的研究领域也不止是小波理论，由于在数论、算子理论、同调分析以及小波理论的贡献，梅尔还获得过2010年的高斯奖，应用研究和基础研究都是功勋卓著的。以下是阿贝尔数学奖宣布获奖会议的视频，会议邀请了陶哲轩来介绍梅尔的工作，6分42秒陶登场。视频来自：http://tieba.baidu.com/mo/q/checkurl?url=http%3A%2F%2Fv.youku.com%2Fv_show%2Fid_XMjY2MDE5NjEyMA%3D%3D.html&urlrefer=605780bbb2c08ce97e7f23e76c42d7dd 关注 DuoDaaMath 每获得更多数学趣文

写给大一初学数分高数的朋友们：浅浅说说两个病态函数作者： e^iπ+1=0，就读于上海科技大学生命科学学院。投稿可发至邮箱[email protected]，详情参见征稿说明。搜索关注 DuoDaaMath 每获得更多数学趣文编者按：当我们进入大学,开始大学数学学习的时候，我们发现，尽管我们还是从熟悉的集合、函数的概念学起，但总觉得有哪些不对。函数的样子变得更奇怪，更抽象。那些奇怪的函数，被称作病态函数。此文就是为刚刚学习大一数学的人们，简单的拆解一下两个著名的病态函数。数学的抽象性体现在很多地方，简单的例子如对于高维空间的探讨，又比如对无穷的探讨，都给人高度抽象的感觉。其实所谓抽象，很多时候和反直观或者不直观联系在一起。说道反直观，有一类函数不得不提，那就是病态函数，字面上很容易理解，就是“不正常”的函数，他们具有反直观想象的性质，甚至可称得上是数学家的梦魇。庞家莱曾将魏尔斯特拉斯举出来的病态函数的例子称为“一种对常识的蹂躏”。但是，在数学中，研究病态函数是很必要的，他们的存在丰富了我们的视野，加深了对于数学的了解。最有名的病态函数的例子莫过于以下两个：（a）狄利克雷函数（b）魏尔斯特拉斯病态函数a≥3是一个奇数，b是严格介于0与1之间的一个常数且满足ab≥1+3π/2，则函数是处处连续和处处不可微的。第一个函数相信大家都不陌生，在学习函数连续性的时候都会有所接触，包括在学习黎曼积分的时候应该对其也有一定的了解。狄利克雷函数处处不连续，它的图像是不可能被严格画出来的，但是大致上是两条平行线。（这样说也不符合事实，因为这两条“直线”处处不连续。）正是这样一个函数，打开了一扇新的大门，黎曼积分。事实上在黎曼积分之前，数学家和科学家已经能熟练掌握应用一些基本的定积分规则和使用，但事实上这大多并不建立于严谨的体系。直到黎曼的出现，他给出了黎曼积分的定义，从而为定积分带来了福音。现在依据黎曼积分的定义，我们可以判断这样一个病态的函数究竟可不可积，答案是不可积的。证明其实也很简单，对狄利克雷函数选择相同的分划，但是取不同的介点集，得到的是不同的结果，由此可知黎曼积分不存在。看起来判定一个函数不可积似乎并没有什么意义，但事实上黎曼积分的出现，是对定积分的一次规范，使得数学家可以在定义和逻辑构造的世界中自由地研究函数，而不是只能对结果做猜测，这是极其重要的。但是故事并没有结束。虽然黎曼积分判定狄利克雷函数不可积，但是数学家并没有放弃它，相反，一种新的积分定义隆重登场，使得这个病态函数也具有可积性，这就是勒贝格积分。简单来说，黎曼函数是通过划分定义域取介点集，而勒贝格积分则是通过划分值域来操作。一个经典的解释方式是，假设我们手上有一角硬币，五角硬币和一元硬币，现在我们有两种方式去计算总和，一种是将所有硬币一字排开来数，从头数到尾，这等同于黎曼积分，从定义域的下界走到上界一遍；但我们同样有另一种选择，那就是将相同币值的硬币摞起来然后计算每种币值拥有多少个硬币，相乘再相加得到结果，而这就是勒贝格积分的基本思想。所以我们现在对狄利克雷函数考虑勒贝格积分，狄利克雷函数只有两类值，这里我们选取最初的取值，即1,0的取值情况。那我们可以发现，考虑闭区间0到1上的积分，再将值域分割，考虑值域所对应的定义域的“长度”（术语叫做测度，但是为方便理解这里姑且叫长度），再相乘相加，根据勒贝格测度的定义我们可以得到的是这个和是0。这样一来狄利克雷函数便勒贝格可积了，且积分值为零。这是数学理念上的一种突破，从定义域的探讨转向对值域的探讨。而且事实证明能够勒贝格可积的函数大大扩增，可见理念上小小的突破换来的可能是一片广阔的天空。狄利克雷函数的故事其实还有很多，这里暂且不表，让我们转向一个更有挑战性的病态函数。魏尔斯特拉斯病态函数，可能这个函数不如狄利克雷函数有名，但是对于所有学习数学分析的同学这个函数还是应该有所了解的。而这个函数的性质是如此的病态以至于尝尝被认做理性推导对直觉世界的重大打击。相信大家在学习函数连续性和函数可微性的时候遇到过这样的口诀“可微必连续，连续不一定可微”。是的，函数连续不一定可微，这样的例子数不胜数，最简单的就是绝对值函数y=|x|，在零处连续但是不可微。不知道大家有没有这样的疑问，一个连续函数究竟能不可微到什么程度呢？比如说绝对值函数，虽然在0处不可微，但是在其他点上既连续又可微。那我们猜想，连续函数是不是一定存在可微的点呢？不幸的是，这个直观上正确的答案是错误的。魏尔斯特拉斯病态函数就是这样的一个例子。首先这不是一个初等函数，而它的图像与狄利克雷函数一样是不可能被严格画出来的。关于这个函数连续但是处处不可微的证明相信上百度能搜索得到，证明的核心思路分两步，先证明其连续（这个学了函数项级数的一致收敛后很容易），再证明其处处不可微（这个就很麻烦了）。证明处处不可微的思路是，每一点对应的导数定义的极限，都可以找到一个子列，使得这个子列的极限是无穷大。但是证明过程相对复杂，这里不赘述，有兴趣可参见《微积分的历程——从牛顿到勒贝格》，这里面的证明不像教科书里那样死板。但是看过这个证明的人，无不为魏尔斯特拉斯的卓越推理能力折服。他的证明好比是一场气势恢宏的交响乐，证明中的每个部分都承担一部分职责，而魏尔斯特拉斯犹如指挥家将他们整合为极其协调的整体。这种超越直觉的洞见，用定义，逻辑和不等式狠狠地摧毁了直观主义。这里只介绍了两种比较著名的病态函数，但是这个家族的成员数量远多于此。他们的出现，可以说是对直觉的挑战，是对数学深层次的思考。引用《微积分的历程》的一段评价魏尔斯特拉斯工作的文字来结束全文： “在持续不断的起伏中，数学家们建立起雄伟的理论体系，然后寻找足以揭示他们思想界限的恰当反例。这种理论与反例的对照成为正确推理的引擎，凭借这种工具，数学得以进步。因为我们唯有知道某些特性是如何丧失的，方能了解他们是怎么样发挥作用的。同样，我们唯有认清直觉是如何把人引入歧途，方能如实地评价推理的威力。” 搜索关注 DuoDaaMath 每获得更多数学趣文