众所周知数列规律问题都可以用万恶的拉格朗日插值求得通解，但一般而言由拉格朗日插值所得的表达式都极不美观，那么加上一个前提条件，即所得通式计算的结果，在项数为任意数时结果也必须仍为整数，能不能有效限制暴力破解
举例，诸如0 1 3 7 15 31 63能否得出n的二次方-1以外的其它整数通项公式，如果有，是巧合还是可以复刻的

诸如1、2这样只有两项的数列可以轻易找出很多不同的整数通式，但一旦当数列开始变长，想找到不同的解就会变得极为困难。
那么是否存在一种整数列，可以证明有且只有一种算式表达形式的整数通式（不能使用分类的方式表达），不存在其它能得出不同结果的整数通式
或者是否可以证明，所有这类数列都必然存在多种不同的解

找数列规律的题目在正常情况下应该是考验瞪眼法和注意力的巧妙题目，但部分出题人所建立的规律过于刁钻诡异，而部分解题人又过于依赖拉格朗日插值，导致这类题目开始变得无趣。
作为理想的数列规律题目，出题人所设想的解答式应力求简洁巧妙，数列应力求列短而数小，让解题人的思维可以更加集中在数字本身的规律之中，而非刁钻的计算和读数。
所以我有了这种想法，能否让这类题目有一个较好的规范性，使得出题和解题不再变成相互刁难，而是真正考验巧思和享受规律。如果不能，其中的数学原理也想必十分值得探究

拉格朗日插值的是有代数证明的，
事实上就是考虑K_(n-1)［X］到Kⁿ的一个代入，左右都是K线性空间，而且维数相同，显然是单射所以是线性同构，于是任意n个点唯一确定一个n-1次多项式。
但是这个证明不适用K不是域的时候，所以你要求的Z上拉格朗日插值公式不一定存在（但是存在一定是唯一的）
另外，限制什么表达式并没有意义，楼上已经说了原因（这个蛮有趣的，事实上利用这个东西你可以在普通的计算器（对，就是那种归零归零叫的就够了）上编程，可以利用这个写出分段函数然后利用计算机的最大截断误差来编程，我高中时玩的不亦乐乎）

不行。你再怎么写也只能写出有限项，而数列的行为与有限项无关，所以你说的所谓规范化是行不通的

众所周知，只有有限项的数列通项公式不唯一，因为本质上数列是定义在正整数上的函数，可以画出无数条曲线穿过这有限个点

你只给出有限项的话本来就可以写出无限个通项公式，所以这种题目真的考试做做得了没有研究的价值

就比如你说的例子，我可以很轻松的写一个n^2-1+k*（n-1）（n-2）……（n-7），k为任意正整数，这依然是一个整数列，并且其前7项与n^2-1相同

给定整数列a_n，有多项式函数f使得其在n处的值为a_n当且仅当通过有限步差分后得到一个常数列。如果存在，这样的多项式是唯一的，若不然作差之后的多项式有可列多零点，只能是零。

你去考公吧问这个问题