什么样的东西是数？符合哪几个条件，可以称之为数？
什么样的东西是实数？符合那几个条件，可以称之为实数？
证明一个数是自然数，是不是证明它等于一个自然数+1就行了？那怎么证明一个数是实数呢？
比如，证明根号2是实数，该怎么写呢？

要搞清楚什么是数学定义

个人目前认为的还算能说得过去说法：
根号2不完全是实数，根号2是具有实数性质的一个存在。
只要证明，根号2若果是实数的话，它的唯一值性，但是，这个证明假设了根号2是仅有实数性的。
也就是说，不能说明，根号2仅有实数性这个单一性质。
所以，根号2是一个具有实数性的存在，不一定仅有这个属性。
那么，是否有人能证明实数性是根号2这个存在的唯一性质呢？

还有一个说法：
根号2是一个解集，具有单一实数性的实数是该集的一个元素，能否说明这个解集仅有这一个元素呢？是否还存在其他的元素，比如具有多性质的存在（但必具有实数性）？

先来看根号2的定义：x可能是任意一个存在，x*x=2，使得前面的方程成立。
求x，等于是求一个解集，该集的任何一个元素，满足方程x*x=2.
下面假定，m是解集的一个元素，也是一个存在，它可能具有实数性。
可以证明，m在体现实数性的时候，值是唯一的（听说卓里奇分析上有证明，但我不会证明），那么，在假设m有实数性的时候，是可以满足实数性的，也就是说，最简单的一个m，仅具有实数性的存在，是满足方程的。也就是说，实数m，是解集的一个元素。
下面假定，m是解集的一个元素，也是一个存在，它不具有实数性。（这个假定，我就不会了）
因此，我只能求出部分解：具有实数性的一些存在，不一定仅为实数。
所以，题目是不成立的。根号2是一个存在为元素的解集，不仅包含实数，所以，不能说，根号2是实数。
除非，题主的根号2定义，直接限制根号2就是实数，但这就不太对劲了，先定义是实数，怎么再证明是实数呢？
当然，上面还用了一些假设，也就是：
1.一个存在，可能是具有多重属性的。
2.不同的存在，可能具有同一个实数性，而不是同一个存在。

这东西跟集合论有关，能满足实数集的加法，乘法，单位元素和零元素的数就是实数，至于加法乘法之类的是人为定义的

哲学看多了？不要用哲学观点来看数学，没有意义的。
上帝创造了整数,所有其余的数都是人造的。——克隆内克
严格意义上人类天生就知道的数只有计数数，也就是1，2，3，…，这种能用来计数的数，人类天生就能认识它们。
之后为了计算的方便我们扩充出了负数和有理数，这两个扩充都是很平凡的，人类基本都能理解。
实数的扩充就相对而言不是很平凡了，古希腊人就根本不知道实数是什么，毕达哥拉斯教派还认为世界上所有的量都是有理数。
那么实数是什么？实数是人们为了处理极限而生造出来的一个数集，最现代的表达可以这样定义：
如果一个集合满足以下条件：
①是域（对加减乘除运算封闭，满足基本的运算律）
②基数不可数（比自然数集大）
③有全序（任意两个元素都可以比较大小，且这种比较满足传递性）
④在度量空间意义下完备（这个不太好解释，你可以理解为但凡是能无限被该集合中元素逼近的数都∈该集合，比如有理数集不满足这个条件，√2不属于有理数但可以被无限逼近）
可以证明满足上面条件的数域在同构意义下唯一且保持序关系（也就是在加减乘除运算和序关系下都是一样的），我们称其为实数域（集）。
实数定义中最重要的就是④，因为就是因为人们发现有理数对于极限不是完备的，所以才创造了实数域，实数域是完备的，因此是连续的，也就是可以和欧式空间中的直线一一对应起来，这就是它的几何表示。有了几何表示就可以用来表示各种度量关系，也就是现实中的广泛应用。
回到正题：如何证明√2是实数，根据√2的定义（√2并不能直接定义，我们是根据它的反面来定义的，也就是√2是满足平方为2的正数）只要证明在实数域中唯一存在一个数，其平方＝2且为正数即可，由连续性④和保序性③这是平凡的。所以√2是实数。

在复数域内满足形式m+ni且n=0，这样可以吗

实数的构造有序列法和戴德金分割，自己查阅资料即可。

问了ai

这样，你打开拼多多，搜索普林斯顿数学分析读本，十来块，你看完第一二三（如果我没记错的话）章就知道实数是什么，根号二为什么是实数了

先弄清楚实数定义

戴德金分割

1.数学是严谨的，你多次使用“实数性”这个性质却没有具体的定义（比如实数满足是一个域？还是有序性？还是阿基米德性？），这会让大家产生歧义（你认为的实数性和我认为的根本不一样），能否具体说明是什么性质？
2.如果x满足实数的性质P，的确不能说明x就是实数，因为这只是x为实数的一个必要条件。最好用的应该是定义，定义是充要条件。或者其他的充分条件也行。只要x满足实数的定义，就是一个实数了。所以当下要找出实数的定义，而不是看它有没有实数的性质。
3.实数包括有理数和无理数，你知道有理数吗？所有构造实数的方法都是用有理数构造出来的，用有理数构造了无理数，它们一起就称为了实数。例如√2在分割中是这么定义的：有理数可以被分为平方后<2的和平方后>2的，这样有理数就被分成了两个部分。而这个分割本身就是√2，它是存在唯一的，这个就讲得很清楚了。
4.你好像搞混了√2和x*x=2的解集，√2不是x*x=2的解集本身，它就是其中的一个解。只是没法用分数表示，就记成了√2，表示他是一个正的解。实际上应该还有一个-√2。
5.按我看来，你现在应该找一本数学分析的书，比如你说的卓里奇数学分析，花个几天到几个月的时间仔细不跳步地从头开始看到关于实数的部分。一定要看到觉得这个东西就应该是这样很显然很自然为止，数学就是只有非常懂和不懂，不太懂就是没懂。不过其实只要看懂了都不是什么很难的东西。