小学数学总复习知识整理（全）
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第一章 数和数的运算
一   概念
（一）整数
1 整数的意义  
自然数和0都是整数。  
2 自然数  
我们在数物体的时候，用来表示物体个数的1，2，3……叫做自然数。  
一个物体也没有，用0表示。0也是自然数。  
3计数单位  
一（个）、十、百、千、万、十万、百万、千万、亿……都是计数单位。  
每相邻两个计数单位之间的进率都是10。这样的计数法叫做十进制计数法。  
4 数位  
计数单位按照一定的顺序排列起来，它们所占的位置叫做数位。  
5数的整除
整数a除以整数b(b ≠ 0），除得的商是整数而没有余数，我们就说a能被b整除，或者说b能整除a 。  
如果数a能被数b（b ≠ 0）整除，a就叫做b的倍数，b就叫做a的约数（或a的因数）。倍数和约数是相互依存的。
因为35能被7整除，所以35是7的倍数，7是35的约数。  
一个数的约数的个数是有限的，其中最小的约数是1，最大的 约数是它本身。例如：10的约数有1、2、5、10，其中最小的约数是1，最大的约数是10。
一个数的倍数的个数是无限的，其中最小的倍数是它本身。3的倍数有：3、6、9、12……其中最小的倍数是3 ，没有最大的倍数。
个位上是0、2、4、6、8的数，都能被2整除，例如：202、480、304，都能被2整除。。  
个位上是0或5的数，都能被5整除，例如：5、30、405都能被5整除。。  
一个数的各位上的数的和能被3整除，这个数就能被3整除，例如：12、108、204都能被3整除。
一个数各位数上的和能被9整除，这个数就能被9整除。
能被3整除的数不一定能被9整除，但是能被9整除的数一定能被3整除。
一个数的末两位数能被4（或25）整除，这个数就能被4（或25）整除。例如：16、404、1256都能被4整除，50、325、500、1675都能被25整除。
一个数的末三位数能被8（或125）整除，这个数就能被8（或125）整除。例如：1168、4600、5000、12344都能被8整除，1125、13375、5000都能被125整除。  
能被2整除的数叫做偶数。  
不能被2整除的数叫做奇数。  
0也是偶数。自然数按能否被2 整除的特征可分为奇数和偶数。
一个数，如果只有1和它本身两个约数，这样的数叫做质数（或素数），100以内的质数有：2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、47、53、59、61、67、71、73、79、83、89、97。  
一个数，如果除了1和它本身还有别的约数，这样的数叫做合数，例如 4、6、8、9、12都是合数。
1不是质数也不是合数，自然数除了1外，不是质数就是合数。如果把自然数按其约数的个数的不同分类，可分为质数、合数和1。  
每个合数都可以写成几个质数相乘的形式。其中每个质数都是这个合数的因数，叫做这个合数的质因数，例如15=3×5，3和5 叫做15的质因数。  
把一个合数用质因数相乘的形式表示出来，叫做分解质因数。
例如把28分解质因数
几个数公有的约数，叫做这几个数的公约数。其中最大的一个，叫做这几个数的最大公约数，例如12的约数有1、2、3、4、6、12；18的约数有1、2、3、6、***。其中，1、2、3、6是12和1 8的公约数，6是它们的最大公约数。
公约数只有1的两个数，叫做互质数，成互质关系的两个数，有下列几种情况：
1和任何自然数互质。
相邻的两个自然数互质。
两个不同的质数互质。
当合数不是质数的倍数时，这个合数和这个质数互质。
两个合数的公约数只有1时，这两个合数互质，如果几个数中任意两个都互质，就说这几个数两两互质。
如果较小数是较大数的约数，那么较小数就是这两个数的最大公约数。  


如果两个数是互质数，它们的最大公约数就是1。  
几个数公有的倍数，叫做这几个数的公倍数，其中最小的一个，叫做这几个数的最小公倍数，如2的倍数有2、4、6 、8、10、12、14、16、18 ……
3的倍数有3、6、9、12、15、18 …… 其中6、12、18……是2、3的公倍数，6是它们的最小公倍数。。  
如果较大数是较小数的倍数，那么较大数就是这两个数的最小公倍数。
如果两个数是互质数，那么这两个数的积就是它们的最小公倍数。  
几个数的公约数的个数是有限的，而几个数的公倍数的个数是无限的。
（二）小数
1 小数的意义  
把整数1平均分成10份、100份、1000份…… 得到的十分之几、百分之几、千分之几…… 可以用小数表示。  
一位小数表示十分之几，两位小数表示百分之几，三位小数表示千分之几……  
一个小数由整数部分、小数部分和小数点部分组成。数中的圆点叫做小数点，小数点左边的数叫做整数部分，小数点左边的数叫做整数部分，小数点右边的数叫做小数部分。  
在小数里，每相邻两个计数单位之间的进率都是10。小数部分的最高分数单位“十分之一”和整数部分的最低单位“一”之间的进率也是10。  
2小数的分类  
纯小数：整数部分是零的小数，叫做纯小数。例如： 0.25 、 0.368 都是纯小数。  
带小数：整数部分不是零的小数，叫做带小数。 例如： 3.25 、 5.26 都是带小数。
有限小数：小数部分的数位是有限的小数，叫做有限小数。 例如： 41.7 、 25.3 、 0.23 都是有限小数。
无限小数：小数部分的数位是无限的小数，叫做无限小数。 例如： 4.33 …… 3.1415926 ……
无限不循环小数：一个数的小数部分，数字排列无规律且位数无限，这样的小数叫做无限不循环小数。 例如：∏
循环小数：一个数的小数部分，有一个数字或者几个数字依次不断重复出现，这个数叫做循环小数。 例如： 3.555 …… 0.0333 …… 12.109109 ……  
一个循环小数的小数部分，依次不断重复出现的数字叫做这个循环小数的循环节。 例如： 3.99 ……的循环节是“ 9 ” ， 0.5454 ……的循环节是“ 54 ” 。  
纯循环小数：循环节从小数部分第一位开始的，叫做纯循环小数。 例如： 3.111 …… 0.5656 ……  
混循环小数：循环节不是从小数部分第一位开始的，叫做混循环小数。 3.1222 …… 0.03333 ……
写循环小数的时候，为了简便，小数的循环部分只需写出一个循环节，并在这个循环节的首、末位数字上各点一个圆点。如果循环 节只有 一个数字，就只在它的上面点一个点。例如： 3.777 …… 简写作   0.5302302 …… 简写作   。
（三）分数
1 分数的意义  
把单位“1”平均分成若干份，表示这样的一份或者几份的数叫做分数。  
在分数里，中间的横线叫做分数线；分数线下面的数，叫做分母，表示把单位“1”平均分成多少份；分数线下面的数叫做分子，表示有这样的多少份。  
把单位“1”平均分成若干份，表示其中的一份的数，叫做分数单位。  
2 分数的分类  
真分数：分子比分母小的分数叫做真分数。真分数小于1。  
假分数：分子比分母大或者分子和分母相等的分数，叫做假分数。假分数大于或等于1。  
带分数：假分数可以写成整数与真分数合成的数，通常叫做带分数。  
3 约分和通分  
把一个分数化成同它相等但是分子、分母都比较小的分数 ，叫做约分。  
分子分母是互质数的分数，叫做最简分数。  
把异分母分数分别化成和原来分数相等的同分母分数，叫做通分。  


先按照整数除法的法则去除，商的小数点要和被除数的小数点对齐；如果除到被除数的末尾仍有余数，就在余数后面添“0”，再继续除。  
7. 除数是小数的除法计算法则：
先移动除数的小数点，使它变成整数，除数的小数点也向右移动几位（位数不够的补“0”），然后按照除数是整数的除法法则进行计算。   
8. 同分母分数加减法计算方法:
同分母分数相加减，只把分子相加减，分母不变。  
9. 异分母分数加减法计算方法:
先通分，然后按照同分母分数加减法的的法则进行计算。  
10. 带分数加减法的计算方法:
整数部分和分数部分分别相加减，再把所得的数合并起来。  
11. 分数乘法的计算法则:
分数乘整数，用分数的分子和整数相乘的积作分子，分母不变；分数乘分数，用分子相乘的积作分子，分母相乘的积作分母。  
12. 分数除法的计算法则:
甲数除以乙数（0除外），等于甲数乘乙数的倒数。  
（六） 运算顺序  
1. 小数四则运算的运算顺序和整数四则运算顺序相同。  
2. 分数四则运算的运算顺序和整数四则运算顺序相同。  
3. 没有括号的混合运算:
同级运算从左往右依次运算；两级运算 先算乘、除法，后算加减法。  
4. 有括号的混合运算:
先算小括号里面的，再算中括号里面的，最后算括号外面的。  
5. 第一级运算：
加法和减法叫做第一级运算。  
6. 第二级运算：
乘法和除法叫做第二级运算。
五   应用
（一）整数和小数的应用
1 简单应用题  
（1） 简单应用题：只含有一种基本数量关系，或用一步运算解答的应用题，通常叫做简单应用题。  
（2） 解题步骤：  
a 审题理解题意：了解应用题的内容，知道应用题的条件和问题。读题时，不丢字不添字边读边思考，弄明白题中每句话的意思。也可以复述条件和问题，帮助理解题意。  
b选择算法和列式计算：这是解答应用题的中心工作。从题目中告诉什么，要求什么着手，逐步根据所给的条件和问题，联系四则运算的含义，分析数量关系，确定算法，进行解答并标明
正确的
单位名称。  
C检验：就是根据应用题的条件和问题进行检查看所列算式和计算过程是否正确，是否符合题意。如果发现错误，马上改正。
2 复合应用题  
（1）有两个或两个以上的基本数量关系组成的，用两步或两步以上运算解答的应用题，通常叫做复合应用题。  
（2）含有三个已知条件的两步计算的应用题。  
求比两个数的和多（少）几个数的应用题。  
比较两数差与倍数关系的应用题。  
（3）含有两个已知条件的两步计算的应用题。  
已知两数相差多少（或倍数关系）与其中一个数，求两个数的和（或差）。  
已知两数之和与其中一个数，求两个数相差多少（或倍数关系）。  
（4）解答连乘连除应用题。  
（5）解答三步计算的应用题。  
（6）解答小数计算的应用题：小数计算的加法、减法、乘法和除法的应用题，他们的数量关系、结构、和解题方式都与正式应用题基本相同，只是在已知数或未知数中间含有小数。
d答案：根据计算的结果，先口答，逐步过渡到笔答。  
( 3 ) 解答加法应用题：  
a求总数的应用题：已知甲数是多少，乙数是多少，求甲乙两数的和是多少。  
b求比一个数多几的数应用题：已知甲数是多少和乙数比甲数多多少，求乙数是多少。  
(4 )   解答减法应用题：  


a求剩余的应用题：从已知数中去掉一部分，求剩下的部分。  
   -b求两个数相差的多少的应用题：已知甲乙两数各是多少，求甲数比乙数多多少，或乙数比甲数少多少。  
c求比一个数少几的数的应用题：已知甲数是多少，，乙数比甲数少多少，求乙数是多少。  
(5 ) 解答乘法应用题：  
a求相同加数和的应用题：已知相同的加数和相同加数的个数，求总数。  
b求一个数的几倍是多少的应用题：已知一个数是多少，另一个数是它的几倍，求另一个数是多少。  
( 6) 解答除法应用题：  
a把一个数平均分成几份，求每一份是多少的应用题：已知一个数和把这个数平均分成几份的，求每一份是多少。  
b求一个数里包含几个另一个数的应用题：已知一个数和每份是多少，求可以分成几份。  
C 求一个数是另一个数的的几倍的应用题：已知甲数乙数各是多少，求较大数是较小数的几倍。  
d已知一个数的几倍是多少，求这个数的应用题。  
（7）常见的数量关系：  
总价= 单价×数量  
路程= 速度×时间  
工作总量=工作时间×工效  
总产量=单产量×数量   
3典型应用题  
具有独特的结构特征的和特定的解题规律的复合应用题，通常叫做典型应用题。  
（1）平均数问题：平均数是等分除法的发展。  
解题关键：在于确定总数量和与之相对应的总份数。  
算术平均数：已知几个不相等的同类量和与之相对应的份数，求平均每份是多少。数量关系式：数量之和÷数量的个数=算术平均数。  
加权平均数：已知两个以上若干份的平均数，求总平均数是多少。  
数量关系式 （部分平均数×权数）的总和÷（权数的和）=加权平均数。  
   差额平均数：是把各个大于或小于标准数的部分之和被总份数均分，求的是标准数与各数相差之和的平均数。  
数量关系式：（大数－小数）÷2=小数应得数     最大数与各数之差的和÷总份数=最大数应给数       最大数与个数之差的和÷总份数=最小数应得数。  
例：一辆汽车以每小时 100 千米 的速度从甲地开往乙地，又以每小时 60 千米的速度从乙地开往甲地。求这辆车的平均速度。  
分析：求汽车的平均速度同样可以利用公式。此题可以把甲地到乙地的路程设为“ 1 ”，则汽车行驶的总路程为“ 2 ”，从甲地到乙地的速度为 100 ，所用的时间为   ，汽车从乙地到甲地速度为 60 千米 ，所用的时间是   ，汽车共行的时间为   +   =   , 汽车的平均速度为 2 ÷   =75 （千米）
（2） 归一问题：已知相互关联的两个量，其中一种量改变，另一种量也随之而改变，其变化的规律是相同的，这种问题称之为归一问题。  
根据求“单一量”的步骤的多少，归一问题可以分为一次归一问题，两次归一问题。  
根据球痴单一量之后，解题采用乘法还是除法，归一问题可以分为正归一问题，反归一问题。  
一次归一问题，用一步运算就能求出“单一量”的归一问题。又称“单归一。”  
两次归一问题，用两步运算就能求出“单一量”的归一问题。又称“双归一。”  
正归一问题：用等分除法求出“单一量”之后，再用乘法计算结果的归一问题。  
反归一问题：用等分除法求出“单一量”之后，再用除法计算结果的归一问题。  
解题关键：从已知的一组对应量中用等分除法求出一份的数量（单一量），然后以它为标准，根据题目的要求算出结果。


数量关系式：单一量×份数=总数量（正归一）   
总数量÷单一量=份数（反归一）  
例 一个织布工人，在七月份织布 4774 米 ， 照这样计算，织布 6930 米 ，需要多少天？  
分析：必须先求出平均每天织布多少米，就是单一量。 693 0 ÷（ 477 4 ÷ 31 ） =45 （天）
（3）归总问题：是已知单位数量和计量单位数量的个数，以及不同的单位数量（或单位数量的个数），通过求总数量求得单位数量的个数（或单位数量）。  
特点：两种相关联的量，其中一种量变化，另一种量也跟着变化，不过变化的规律相反，和反比例算法彼此相通。  
数量关系式：单位数量×单位个数÷另一个单位数量 = 另一个单位数量         单位数量×单位个数÷另一个单位数量= 另一个单位数量。  
例 修一条水渠，原计划每天修 800 米 ， 6 天修完。实际 4 天修完，每天修了多少米？  
分析：因为要求出每天修的长度，就必须先求出水渠的长度。所以也把这类应用题叫做“归总问题”。不同之处是“归一”先求出单一量，再求总量，归总问题是先求出总量，再求单一量。 80 0 × 6 ÷ 4=1200 （米）  
（4） 和差问题：已知大小两个数的和，以及他们的差，求这两个数各是多少的应用题叫做和差问题。  
解题关键：是把大小两个数的和转化成两个大数的和（或两个小数的和），然后再求另一个数。  
解题规律：（和＋差）÷2 = 大数    大数－差=小数  
（和－差）÷2=小数        和－小数= 大数  
例 某加工厂甲班和乙班共有工人 94 人，因工作需要临时从乙班调 46 人到甲班工作，这时乙班比甲班人数少 12 人，求原来甲班和乙班各有多少人？  
分析：从乙班调 46 人到甲班，对于总数没有变化，现在把乙数转化成 2 个乙班，即 9 4 － 12 ，由此得到现在的乙班是（ 9 4 － 12 ）÷ 2=41 （人），乙班在调出 46 人之前应该为 41+46=87 （人），甲班为 9 4 － 87=7 （人）  
（5）和倍问题：已知两个数的和及它们之间的倍数 关系，求两个数各是多少的应用题，叫做和倍问题。  
解题关键：找准标准数（即1倍数）一般说来，题中说是“谁”的几倍，把谁就确定为标准数。求出倍数和之后，再求出标准的数量是多少。根据另一个数（也可能是几个数）与标准数的倍数关系，再去求另一个数（或几个数）的数量。  
解题规律：和÷倍数和=标准数    标准数×倍数=另一个数  
例:汽车运输场有大小货车 115 辆，大货车比小货车的 5 倍多 7 辆，运输场有大货车和小汽车各有多少辆？  
分析：大货车比小货车的 5 倍还多 7 辆，这 7 辆也在总数 115 辆内，为了使总数与（ 5+1 ）倍对应，总车辆数应（ 115-7 ）辆 。  
列式为（ 115-7 ）÷（ 5+1 ） =18 （辆）， 18 × 5+7=97 （辆）  
（6）差倍问题：已知两个数的差，及两个数的倍数关系，求两个数各是多少的应用题。  
解题规律：两个数的差÷（倍数－1 ）= 标准数   标准数×倍数=另一个数。  
例 甲乙两根绳子，甲绳长 63 米 ，乙绳长 29 米 ，两根绳剪去同样的长度，结果甲所剩的长度是乙绳 长的 3 倍，甲乙两绳所剩长度各多少米？ 各减去多少米？  
分析：两根绳子剪去相同的一段，长度差没变，甲绳所剩的长度是乙绳的 3 倍，实比乙绳多（ 3-1 ）倍，以乙绳的长度为标准数。列式（ 63-29 ）÷（ 3-1 ） =17 （米）…乙绳剩下的长度， 17 × 3=51 （米）…甲绳剩下的长度， 29-17=12 （米）…剪去的长度。


（7）行程问题：关于走路、行车等问题，一般都是计算路程、时间、速度，叫做行程问题。解答这类问题首先要搞清楚速度、时间、路程、方向、杜速度和、速度差等概念，了解他们之间的关系，再根据这类问题的规律解答。  
解题关键及规律：  
同时同地相背而行：路程=速度和×时间。  
同时相向而行：相遇时间=速度和×时间  
同时同向而行（速度慢的在前，快的在后）：追及时间=路程速度差。
同时同地同向而行（速度慢的在后，快的在前）：路程=速度差×时间。
例 甲在乙的后面 28 千米 ，两人同时同向而行，甲每小时行 16 千米 ，乙每小时行 9 千米 ，甲几小时追上乙？  
分析：甲每小时比乙多行（ 16-9 ）千米，也就是甲每小时可以追近乙（ 16-9 ）千米，这是速度差。  
已知甲在乙的后面 28 千米 （追击路程）， 28 千米 里包含着几个（ 16-9 ）千米，也就是追击所需要的时间。列式 2 8 ÷ （ 16-9 ） =4 （小时）
（8）流水问题：一般是研究船在“流水”中航行的问题。它是行程问题中比较特殊的一种类型，它也是一种和差问题。它的特点主要是考虑水速在逆行和顺行中的不同作用。  
船速：船在静水中航行的速度。  
水速：水流动的速度。  
顺水速度：船顺流航行的速度。  
逆水速度：船逆流航行的速度。  
顺速=船速＋水速  
逆速=船速－水速  
解题关键：因为顺流速度是船速与水速的和，逆流速度是船速与水速的差，所以流水问题当作和差问题解答。 解题时要以水流为线索。  
解题规律：船行速度=（顺水速度+ 逆流速度）÷2
流水速度=（顺流速度逆流速度）÷2
路程=顺流速度× 顺流航行所需时间  
路程=逆流速度×逆流航行所需时间  
例 一只轮船从甲地开往乙地顺水而行，每小时行 28 千米 ，到乙地后，又逆水 航行，回到甲地。逆水比顺水多行 2 小时，已知水速每小时 4 千米。求甲乙两地相距多少千米？  
分析：此题必须先知道顺水的速度和顺水所需要的时间，或者逆水速度和逆水的时间。已知顺水速度和水流 速度，因此不难算出逆水的速度，但顺水所用的时间，逆水所用的时间不知道，只知道顺水比逆水少用 2 小时，抓住这一点，就可以就能算出顺水从甲地到乙地的所用的时间，这样就能算出甲乙两地的路程。列式为 284 × 2=20 （千米） 2 0 × 2 =40 （千米） 40 ÷（ 4 × 2 ） =5 （小时） 28 × 5=140 （千米）。  
（9） 还原问题：已知某未知数，经过一定的四则运算后所得的结果，求这个未知数的应用题，我们叫做还原问题。  
解题关键：要弄清每一步变化与未知数的关系。  
解题规律：从最后结果 出发，采用与原题中相反的运算（逆运算）方法，逐步推导出原数。