【实变函数】一些集合论的笔记 - fin3574吧

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伊卡慕斯小愛楼主

2024年12月26日 22点12分 19

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伊卡慕斯小愛楼主

2024年12月26日 22点12分 20

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伊卡慕斯小愛楼主

全域关系:
定义：
{<x, y> | x∈A∧y∈A}=A×A为A上的全域关系。
例子：A={a,b,c}
则全域关系是A×A＝{<a,a>,<a,b>,<a,c>,<b,a>,<b,b>,<b,c>,<c,a>,<c,b>,<c,c>}

2024年12月27日 00点12分 21

伊卡慕斯小愛

就是全部元素之间都满足关系（含自身与自身的关系）

2024年12月27日 00点12分

伊卡慕斯小愛

集合中的所有元素是一个等价类

2024年12月27日 00点12分

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伊卡慕斯小愛楼主

恒等关系:
集合A上的恒等关系指的是元素为所有的<x,x>的关系
IA={(x,x)|x∈A}，自反、对称、传递。自反性是显然的，根据对称性、传递性的定义，IA也满足对称性、传递性。

2024年12月27日 00点12分 22

伊卡慕斯小愛

恒等关系，是满足且只满足自身与自身的关系

2024年12月27日 00点12分

伊卡慕斯小愛

集合中的每个元素都是一个等价类

2024年12月27日 00点12分

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伊卡慕斯小愛楼主

空关系，是元素之间都不满足关系。
如果是空集合，则是空矩阵
如果是非空集合，则是零矩阵

2024年12月27日 00点12分 23

伊卡慕斯小愛

空关系不是集合A上的等价关系

2024年12月27日 00点12分

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伊卡慕斯小愛楼主

映射:

映射是函数在集合上的推广.

2024年12月27日 00点12分 24

伊卡慕斯小愛

存在一个法则f, 使得对X中每个x, 在Y中有唯一确定的y与之对应(X,Y非空), 称f为从X到Y的映射: f:X→Y. 其中y称为x的像, 而x称为y的一个原像. X为f的定义域, X中所有元素的像所组成的集合为f的值域.

2024年12月27日 01点12分

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伊卡慕斯小愛楼主

Y中任一元素y都是X中某个元素的像时, f为X到Y的满射.
所有Y都有X对应, 可以多个X对应同一个Y, 多出一个X.
若对于X中的任意两个不同的元素x1和x2, 当x1≠x2时, 总有f(x1)≠f(x2), f为X到Y的单射.
Y填不满, 有Y空着.
既是满射又是单射, f为X到Y的双射.
X完美对应Y, 没有落空.
非满射非单射: 有X对应一个Y 和 2个X对应一个Y.

2024年12月27日 01点12分 25

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伊卡慕斯小愛楼主

f是X到Y的映射
g: Y→X
规定g(y)=x, x满足f(x)=y时, 称g为f的逆映射, 即f^(-1)
f^(-1)的定义域为Y
f^(-1)的值域为X
::只有单射满足逆映射::

2024年12月27日 01点12分 26

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伊卡慕斯小愛楼主

假设有两个映射,
g:X→Y1
f:Y2→Z
其中Y2包含Y1
称为复合映射:
f○g:X→Z
(f○g)(x)=f[g(x)]

2024年12月27日 01点12分 27

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伊卡慕斯小愛楼主

直观一点的说明:
EX1:

EX2.1:

EX2.2:

2024年12月27日 04点12分 29

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伊卡慕斯小愛楼主

集合列:

2024年12月27日 09点12分 30

伊卡慕斯小愛

交集的元素: 在::全部的无穷个::集合中出现过, 并且, 在::0个::集合中没有出现过.

2024年12月27日 09点12分

伊卡慕斯小愛

并集的元素: 上限集+{尚未入选的所有元素|在::有限个::集合中出现过}.

2024年12月27日 09点12分

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伊卡慕斯小愛楼主

集合的大小
难以直观理解的一大原因是：集合和实数不同，实数能比较大小。比如你给出3和5，我们马上有一个直观理解：“5比3大一点儿，但是又不超过3的两倍”。你给一个集合A和集合B，我们的理解仅仅是“字母A和字母B”。
不能比较就创造特殊条件。我们马上发现，有些集合是能够比较大小的。设A={0,1}，B={0,1,2}，我们定义：A包含于B。类比于3＜5。

2024年12月27日 09点12分 31

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伊卡慕斯小愛楼主

上确界/下确界:
研究数学分析的数学家又研究出了一个概念：上界。意思是你给出一堆数，称为数列。大于等于这些数的数就是这个数列的上界。在上界中最小的那个数就叫上确界。