求助

这里的d条件是正整数, 当d=1时, 只要n+2是大于5的素数, 由威尔逊定理可得n+2整除n!-1, 并且n!-1>n+2, 因此n!-1是合数
当d≥2时, 假设存在正整数N使得当n≥N+1时n!*d-1全都是素数, 设M=∏(n!*d-1) (1≤n≤N)
先证明存在无穷多个正整数m, 使得大于m的最小素数p满足(p-m-1)! > m
比如可以取m=k!-1, 其中k+1是大于3的素数, 这时m+1=k!不是素数, 由威尔逊定理可得m+2=k!+1不是素数, 同时m
+3
, m+4,…,m+k+1分别能被2,3,…,k整除, 也都不是素数, 所以p≥m+k+2, (p-m-1)!≥(k+1)! > k!

从而存在足够大的这样的m>1, 可以满足Md²|m! 且 m!>2d, 则m!/d-(-1)^(m+1)是一个大于1的正整数
设p是m!/d-(-1)^(m+1)的一个素因子, 则p与m!/d互素, 由Md | m!/d可得p与M以及不超过m的素数全都互素, 则p>m, 由m的性质可得(p-m-1)!≥m+1
由威尔逊定理 (p-m-1)!m!≡(-1)^(m+1)≡m!/d (mod p), 其中m!与p互素, 所以d(p-m-1)!≡1(mod p)
令n=p-m-1, 则p | d*n!-1, 由p与M互素可得n≥N+1, 由假设可知d*n!-1一定是素数, 所以p=d*n!-1
则由n!≥m+1可得p≥d*(m+1)-1≥2(m+1)-1 = 2m+1
因此n=p-1-m≥m, p=d*n!-1≥d*m!-1≥2m!-1
同时p| m!/d-(-1)^(m+1), 且m!/d-(-1)^(m+1)是正整数, 则 2m!-1 ≤ m!/d-(-1)^(m+1) ≤ m!/2+1, 与m>1矛盾, 说明假设不成立

这题出自2011年的集训队试题, 是更早之前一道IMO预选题的特例, 在这个贴子的后面有分析过程
威尔逊定理及其相关的几个数论问题

好耶 谢谢

不用谢哈哈哈~ 这题如果改成证明对d≥3, 存在无穷多个n使得d*n!+1是合数的话, 下面这种做法会简单不少
因为对每个足够大的奇数m, d²|m!, 这时m!/d+1至少有一个素因子p满足p≠1(mod d), 否则这些模d余1的素因子乘积m!/d≡1(mod d), m!/d+1≡2(mod d), d|2, 与d≥3矛盾
然后由威尔逊定理得到d(p-1-m)!×(m!/d)= (p-1-m)!m!≡1(mod p), d(p-1-m)!≡-1(mod p)
取n=p-1-m, 则p | d*n!+1, 而且由于p≠1(mod d), d*n!+1≠p, 就证明d*n!+1是合数了
由于p与m!/d互素, 当m足够大时p可以大于任意给定的数, 所以满足p|d*n!+1的n也不可能只有有限多个