如果用σ(n)表示正整数n的所有因数之和
(1)若偶数n满足σ(σ(n))=2n, 一定存在素数p使得n=2^(p-1), 并且2^p-1是一个素数
(2)不存在偶数n满足σ(σ(σ(n)))=2n

贴一个偶完全数定理本身的证明, 它的充分性可能很早就被欧几里得发现, 必要性最早应该是由欧拉证明
偶数n满足σ(n)=2n, 当且仅当存在素数p使得2^p-1也是素数,并且n=(2^p-1)*2^(p-1)

主楼的推广结论也是在别的地方看到的, 可以用图中的做法证明
其中满足σ(σ(n))=2n的正整数n叫作超完全数(superperfect numbers)
满足σ^m(n)=2n的正整数n叫作m-超完全数(m-superperfect numbers)
更一般满足σ^m(n)=kn的正整数n有时记作(m,k)-superperfect numbers, 是对超完全数和多重完全数的推广