如图，锐角三角形ABC中，BE CF分别为三角形的两条高，点P满足∠AFP=∠EBC，∠AEP=∠FCB（有向角），Q为EF关于三角形的垂极点
证明：PQ⊥EF

之前出题得到的另一个版本，既然跟北方撞了就发出来吧

先为看不懂的吧友解释什么是垂极点：本题里作B,C在EF上射影U,V，则UQ⊥AC,VQ⊥AB
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设垂心H，设A在BC射影为D，导角知∠DFP=90°=∠DEP，即P是D在九点圆上的对径点。
作AH中点K，则PK⊥AHD
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向量点乘：
PQ·EF = PQ·(EA+AF) = PU·EA + PV·AF
= -PU·(AD+DE) + PV·(AD+DF)
= -(KU·AD + EU·DE) + (KV·AD + FV·DF)
= UV·AD - EU·DE + FV·DF
=|BC|*cos(C-B)*|AD|*sin(C-B) - |BE|*sinB*|DE|*(cos2B) + |CF|*sinC*|DF|*(cos2C)
=4R²sinAsinBsinCcos(C-B)sin(C-B) - 4R²sinAsinBsinC(cos2BsinCcosC) + 4R²sinAsinBsinC(cos2CsinBcosB)
=4R²sinAsinBsinCcos(C-B)sin(C-B) - 2R²sinAsinBsinCsin(2C-2B)
= 0
好笨的做法

易知图中D即为所求，且它为过O平行于EF直线的垂极点，把它往上平移得到O’，即为EF垂极点，显然有垂直