我一下子没搞出来……谁来试试？

a[1]=1,差点漏了...

A1=1,所以S1=A1=1-bA1-1/(b+1)^2=1
所以b(b+1)^2=-1.
Sn=1-bAn- 1/(b+1)^(n+1)
所以S(n-1)=1-bA(n-1)- 1/(b+1)^n (n≥2)
两式相减得到：
An=b[A(n-1)-An]+ 1/(b+1)^n -1/(b+1)^(n+1)
(1+b)An=bA(n-1)+ 1/(b+1)^n -1/(b+1)^(n+1) (n≥2)
等式两边同乘(1+b)^n得到：
(1+b)^(n+1)*An=b*(1+b)^n*A(n-1)+1- 1/(b+1)
设Bn=(1+b)^(n+1)*An,则：
Bn=bB(n-1)+1-1/(b+1) (n≥2)
利用不动点法得到：
Bn+ b/(b^2-1)=b[B(n-1)+ b/(b^2-1)] (n≥2)
所以{Bn+ b/(b^2-1)}是以b为公比的等比数列。
Bn+ b/(b^2-1)=[B1+ b/(b^2-1)]*b^(n-1).
             =[(1+b)^(n+1) + b/(b^2-1)]*b^(n-1).(n∈N*)
Bn=[(1+b)^(n+1) + b/(b^2-1)]*b^(n-1)- b/(b^2-1)
An=Bn/(1+b)^(n+1)={[(1+b)^(n+1) + b/(b^2-1)]*b^(n-1)- b/(b^2-1)}/(1+b)^(n+1).
n=1代入时亦符合题意，所以
An={[(1+b)^(n+1) + b/(b^2-1)]*b^(n-1)- b/(b^2-1)}/(1+b)^(n+1).(n∈N*)
至于b，只要解出方程b(b+1)^2=-1的根，往通项公式里代入就可以了。

注意1+b是不为0的，所以可以同乘。
再就是注意各项变换时n的范围……(其实不注意也无所谓)

n=1时代入是符合通项而不是题意……嘛，无所谓了……

记错了，上题“a[1]=1”这个条件是多余的，悲剧中……
那么“S[n]=1-ba[n]-1/(b+1)^n”这个能构造吗？

吧主还是把2楼删了吧……太悲剧了。

我是用待定系数法做的，令我郁闷的是：我求出了通项公式(形式很繁杂)，但是不知道在什么地方运算有问题，通项总是化简化错……O__O"

这个通项好像没什么可化简的了吧……