这题漂亮

相当于以M为圆心作圆，与AB,AC两个交点P,Q的中点X，若X恰好在外接圆上就是无暇点。
直接考虑点X的轨迹。如下图，假设P,Q在AB,AC上且PQ中垂线经过M。设X为PQ中点。
若作M在AB,AC上射影D,E。则 PXDM共圆；QXEM共圆。
∠XDA=∠XMP=∠QMX=∠AEX
也就是说X的轨迹是等轴双曲线（X关于ADE的等角共轭点在DE中垂线上）

给一个圆锥曲线证明：
对无暇的点X，显然MX→AX是射影对应，所以X的轨迹是过A,M的圆锥曲线，分析可知，轨迹过M在AB,AC上的投影F,E，且轨迹的渐近线平行于A的两条角平分线，所以轨迹是等轴双曲线，当X趋近M时，得轨迹在M处切线为BC中垂线，过外心O作BC平行线与外接圆交于X,Y两点，因为AMEF共圆，导角得AX,AY为平行于轨迹的对称轴（AE,MF的方向关于对称轴对称），类似地，因为AUVW共圆，可得AU关于VUW的等角线垂直BC，所以轨迹关于UVW的等角共轭像过O且垂直于BC，与M处切线重合，所以M为一个等心，从位置关系可判断M为内心.

证明费尔巴哈稍微有点费劲，翻了5000

不得不吐槽一下：yfd将本题胡扯地放在4道题的几何练习的P2

在证明外接圆上异于A的好点唯三后可以有初等做法

水一贴
蓝线为以A为密克点，BC中垂线为牛顿线的斜环索线。黄线为过ADL且与BC中垂线相切的等轴双曲线。其中BCLD构成调和点列。
则蓝线与黄线的交点除了二重交点D均在外接圆上！
证明很容易：对蓝线、黄线及无穷远线、外接圆及BC中垂线用Cayley-Bacharach定理即可！