rt所示，四条曲线在第一象限围成的面积

本人的思路如下：
仿照下图所示的方式，先换元，然后以x，y分别列出包含u，v的函数，再使用雅可比行列式对其求偏导化简，最后得到换元后的积分，再按照定积分的求法计算即可

以及这里有本人尝试的另一个例子，得出的结果也是
正确的

以上两个例子都能够通过换元后转化，并计算
但是1楼中，带有两个指数函数以后，换元便出现了问题：
在得到xe^(xv)=u这一步后，想继续化简就十分巧妙了，wolfram给出了Lambert W function：
Wolfram是如何给出这个函数的，
lz
暂时不知道；抛开这个不谈，更头疼的是众所周知Lambert W function不是初等函数，它可以写成级数形式；
但如果是一般的级数（lz对这个一般的定义暂时就是不涉及阶乘/Gamma积分），对其求导还是比较容易，对于这样的二元函数，不但要求偏导，甚至因为分母为阶乘形式，需要在积分内求导，因此lz在此便无法继续步骤下去。

本人是个普通高中生，没有系统学过数学分析，但是由于本地的数学大纲比较超前，也因此学习了一些比较高等的数学知识，但是对于他们的推导过程和严谨性，高中考纲没有做要求，因此对于很多东西都有错误和不到位的理解。
希望各位大佬在看到这篇帖子以后，能够给出一些思路，并且严谨地告诉我在什么情况下可以这样使用二重积分换元，以及雅可比行列式的使用条件（wiki的真的看不懂）。

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