求解微分方程
DSolve[2*k[x]*Derivative[2][k][x] - Derivative[1][k][x]^2 == 0, k[x], x]
得到一个通解
{k[x]->x*c[1]+x^2*c[1]^2/(4*c[2])+c[2]}.
可是
k[x]->x^2
的确是方程的一个特解,为什么不包含在通解中呢?

其实,通解应该写成这样:
k[x]->(c1*x-c2)^2

直觉上又是开根号惹出来的问题（在Stackexchange类似的问题被发现过多次），如果手动把这个方程改写成一阶方程组的话，DSolve倒是可以找到你说的这个解：
sys = {2 k[x] u'[x] - u[x]^2 == 0, u[x] == k'[x]};
sol = DSolve[sys, {u, k}, x]
(*
{{u -> Function[{x}, 1/2 C[1] Sqrt[x^2 C[1]^2 + 2 x C[1] C[2] + C[2]^2]],
k -> Function[{x}, 1/4 (x^2 C[1]^2 + 2 x C[1] C[2] + C[2]^2)]}}
*)
这个问题不妨向WRI报告一下。