level 14
已知:
❶正整数N既不含因数2也不含因数5。
❷Q₀₁=10101……01
Q₀₀₁=1001001……001
Q₀₀₀₁=100010001……0001
……
“全01数”={Q₀₁，Q₀₀₁，Q₀₀₁，……}
求证:
N丨“全01数”
2023年09月02日 02点09分
2
笔误更正:“全01数”={Q₀₁，Q₀₀₁，Q₀₀₀₁，……}
2023年09月02日 06点09分
level 14
证明
根据欧拉定理1，如果m是大于0的整数，(a，m)=1，则
a^Φ(m)≡1 (modm)
∵N与10互素 (已知)
∴(10，99N)=1，且99N﹥1
根据欧拉定理1，
10^φ(99N)≡1 (mod99N)
两边-1得:10^(99N)-1≡0(mod99N)
即 99N丨10^Φ(99N)-1
2023年09月02日 02点09分
4
笔误更正:如果m是大于1的整数，
2023年09月02日 02点09分
笔误更正:两边-1得:10^φ(99N)-1≡0 (mod99N)
2023年09月02日 05点09分
level 14
∵N足够大，Φ(99N)足够大，
∴10^Φ(99N)-1=999999……99
于是:99N|999999……99
两边÷99得:N|10101……01
即 N丨Q₀₁ 。
2023年09月02日 03点09分
5
level 14
用同样的方法，令a=10，依次令
m=999N，9999N，……
还可以用欧拉定理1证明
N丨Q₀₀₁，Q₀₀₀₁，……
2023年09月03日 00点09分
7
level 14
∵“全01数”={Q₀₁，Q₀₀₁，Q₀₀₀₁，……}
∴N丨“全01数” 。
2023年09月03日 00点09分
9
level 14
附:
“全1数”因数定理推论
不含因数2和5的所有正整数，都是“全01数”的因数。
2023年09月03日 01点09分
10
