小弟25考研，最近做到一个题百思不得其解。如题所示要求计算弧长，但我怎么算结果都是0😭😭😭。其实刚开始换元一步就发现了端倪，换元后积分上下限竟然都等于1，计算到最后也果不其然的算出了0。但我感觉积分过程应该没什么问题，实际上把结果用二倍角代换一下，就能得到正确答案8。
后来找了答案开头就用了二倍角代换，想问问这道题能用我这样的方法做吗，不能的话为什么不能，可以的话应该怎么修改。如果我看成求不定积分找出原函数带牛顿莱布尼茨公式的话，又应该怎么理解😭实在是想不到为什么要把cost化成cos(t/2)

如果说定积分的几何意义是围成曲边梯形的面积的话，用定积分求弧长的过程又应该怎么理解呢😭

md，这么卷了吗？才暑假就已经开始了

没必要换元，cos2x=1-2（sinx）^2

可能和单调性有关？

我也25，但是还没正式开始，楼主跟谁学的现在

t= arccos a , t的范围（0，2π）,arccos a的范围（0,π）区间没对上，不能换元

25还考个屁啊，读完毕业都28了，先找工作吧

应该是arccos的范围不对吧，一个自变量对应两个因变量了

其实三角公式升次的逻辑很明确呀 就是要去掉根号更好算 没什么想不到的 你要是做一遍三大计算基本上遇到任何积分都不会问为什么 全是肌肉记忆😂

你是令cost=a换元的，但是换元法的定义是t=arccosa。 所以你要看能不能写成t=arccosa。t在π到2π时，arccos(cost)不等于t。所以这样换元是不对的。

不定积分求出来的原函数不一定是定积分上的原函数，比如说我给出的图里的这个不定积分。
你如果用莱布尼茨公式计算他从0到π上的定积分 会发现值为0，这是错误的。
因为这个不定积分求出来的原函数不是0到π上的原函数，在t=π/2的时候这个不定积分求出来是没有定义的。所以要分段使用莱布尼茨公式。

你这道题也可以直接求不定积分用牛顿莱布尼茨公式硬算。用我第二个图的推论二。

图没放全。。用推论二求两个端点的极限值相减。

换元不成立，整个区间上公式是变化的