我一直有一个疑问不太懂，泰勒在 0 处展开，和在其他点展开有什么区别，通俗点来说就是，假设我要算一个函数的值，估算当 x 等于 100 时的值，那么我代入 100 到 0 处展开式和代入 100 到其他点展开式有什么区别，能力有限想不明白，能否解释一下

真的很想知道，在 B站上找不到相关资料

我是看的这个【【官方双语】微积分的本质 - 10 - 泰勒级数-哔哩哔哩】 https://b23.tv/RDrRQvX

泰勒展开的本质是用一个多项式函数g逼近被展开的函数f
逼近的方法是要求在我们指定的某个点，f和g的0阶/1阶/.../n阶导数值全部相同
在不同点展开自然就对应不同的g了
捏

多看看常用Taylor展开式

这里给你举个例子。下面的图片是ln(1+x)的图像和它用泰勒公式近似展开后函数的图像(画图软件不能画无限次展开的图像，这里取到9次)。你可以看到在x<1的时候两者是非常贴近的，但当x>1后两个图像直接分道扬镳。为什么会这样？
在皮亚诺余项的泰勒公式中，定理的描述是“存在xo的某个邻域”。比如你在x=0展开，那么就只在x=0附近的一个范围内皮亚诺余项的泰勒才成立，一旦出了这个范围，公式就不成立了。这个邻域大小是根据函数定的(如果你学过级数就知道这个范围怎么来的)，有的函数比如sinx,e^x,它的范围是(-∞，+∞)，而ln(1+x)范围只有(-1,1)。只要在邻域范围内，那么展开的误差就不会太大。但如果出了范围，公式不再成立，误差就大的离谱。所以你的问题，代入 100 到 0 处展开式和代入 100 到其他点，区别就在于100是否在展开的点0或者其它点的邻域范围内，在的话就没事，不在的话就不行

ln(1+x)带皮亚诺余项的泰勒公式在(-1，+∞）都成立的，它和泰勒展式不同。事实上泰勒公式描述的是f(x)＝p(x)＋r(x),其中r(x)不是别的就是f(x)-p(x)，不同类型的余项是从不同方面展现这个r(x)的性质。皮亚诺余项表现r(x)在极限过程中的性质，而拉格朗日型余项用于r(x)的大小的估计，这就可以用于得出f(x)泰勒级数收敛点。

代入泰勒多项式去近似得出函数值，误差要用拉格朗日余项去估计，在不同点处的泰勒公式余项也长得不一样，泰勒多项式的函数值不同，相应的误差估计（拉格朗日余项）也会不同。有些情况像7楼给出的那样的函数如果用在泰勒多项式在100处的值去估计ln(1＋x)在100处的值，拉格朗日型余项会给出相当大的误差下界。

把泰勒的推导过程自己写一遍，就明白许多了

27岁才in信念感开窍：极限存在必单一！
缺项=缺斤少两，in省略号代替佩亚诺余项
+更高阶等价无穷小量(必斤斤计较jiou)...
十年易错题泰勒公式不过是纯运算，
麦克劳林展开式乘法天下第一。
Lnx，先写勿问。
。

越靠近这个点的展开估值越精确

如果你能展开无穷多项(即标准的泰勒展开，而不是你背的只有几项的那种)，那么在任何一点展开的结果都是同样
正确的
。但是多数情况下你只会展开两三项，那么就是越靠近展开点处的结果越准确，越远的越不准确

纯理论上没区别，都是同一个函数。实际数值计算的时候收敛速度不一样

学复变函数的时候注意过这个问题，我的观点是如果函数在复平面内解析，那么这两个代入是没区别的，甚至求别的点都能用在原点展开来代入，如果有奇点就不一样，当时就思考到这里

泰勒在0展开是在0点的一个范围内才能展开，超出这个收敛区域就用不了，所以应在其他点展开